作者 | 李尚志
來源 | 《數(shù)學通報》2004年第12期，好玩的數(shù)學獲作者授權(quán)轉(zhuǎn)載，在此感謝。
快樂足球與快樂數(shù)學
我們的學生，從小學到中學再到大學，都要學數(shù)學。
不妨去問一個學生：“你為什么要學數(shù)學？”他會怎樣回答？
假如他實話實說，答案很有可能是這樣的簡單：“學校里要考數(shù)學，所以我只好學數(shù)學?！彼麄兊募议L會告誡：“小學生學不好數(shù)學就考不上中學，中學生學不好數(shù)學就考不上大學，那以后就找不到好的工作。”
假如你再問他：“學數(shù)學快樂嗎？”他會怎樣回答？
如果是為了應付考試而被迫學數(shù)學，他能快樂嗎？學習有困難的學生覺得不快樂。即使是那些數(shù)學尖子，比如參加數(shù)學競賽得了獎、進了冬令營的姣姣者，也有很多人覺得學數(shù)學不快樂，甚至咬牙切齒發(fā)誓一輩子不再學數(shù)學。一個“數(shù)學尖子”，假如是在家長和老師的逼迫下，為了獲得保送上大學的資格而接受痛苦的訓練，終于如愿以償進了大學的門，好不容易從數(shù)學的魔掌下解放出來，他仇恨數(shù)學、不愿意再學數(shù)學，難道不是很自然的嗎?
為了應付考試而學數(shù)學，不可能快樂！也不可能學好數(shù)學。
假如這個問答再繼續(xù)下去：
“學數(shù)學不快樂, 干什么快樂呢？”
“玩！”
“玩什么？”
“玩足球?！?/p>
“那些以玩足球為職業(yè)的人快樂嗎？比如，被媒體吹捧為‘超白金’的足球隊員們, 他們快樂嗎？”
“不快樂。他們玩的是‘出線足球’。輸了球，出不了線，隊員不能發(fā)財，官員不能升官，當然不快樂?！?/p>
出線足球不快樂。應試數(shù)學不快樂。
米盧提倡“快樂足球”。我理解，他說的“快樂足球”就是要熱愛足球本身，從足球本身享受快樂。什么時候不是為了利益玩足球，而是為足球本身的魅力所傾倒了， 什么時候足球也就能出線了。
數(shù)學也是這樣。如果一個學生體會到了數(shù)學的魅力，從數(shù)學本身享受到了快樂，而不是為了考試學數(shù)學，他的數(shù)學就能學好了，考試當然也就能考好了。
學生學數(shù)學不快樂，不能怪他們，只能從我們的數(shù)學教育找原因。數(shù)學本來天生麗質(zhì)、美麗動人，可是我們的教育卻將她涂脂抹粉變成了一個丑八怪，一個令人恐怖的惡魔，怎么能怪學生不喜歡數(shù)學呢？
應當將數(shù)學這個美人臉上的污垢洗干凈，還她的本來面目。
這次湖南教育出版社邀請張景中院士與我一起編寫高中數(shù)學新課程標準實驗教材，使我們有機會實現(xiàn)這一愿望：讓學生從數(shù)學中享受快樂。這也就是我們編寫這套教材的首要的指導思想。如果一套數(shù)學教材能使學生喜歡數(shù)學，從數(shù)學中享受快樂。這就是很大的成功。
我們?yōu)榱诉_到這個目標作了很大努力。是否成功，要靠實踐來檢驗。
數(shù)學的美
我們的數(shù)學教材，希望能讓學生喜歡數(shù)學，從數(shù)學中享受快樂。學生對數(shù)學有興趣了, 甚至被數(shù)學的魅力迷住了, 他就會自覺地努力去學習數(shù)學。學習過程中當然會經(jīng)歷艱苦, 甚至經(jīng)歷痛苦, 但他再苦再累也心甘情愿, 并且在痛苦中享受快樂。這樣學習, 才能真正領(lǐng)會數(shù)學的本質(zhì), 真正學好數(shù)學, 學到真正的數(shù)學。
靠什么去引起學生對數(shù)學的興趣？不是靠數(shù)學以外的東西，而是靠數(shù)學自身的美，自身的魅力。
我們不可能在這里全面論述數(shù)學的美。就本套教材而言，我們著力從以下兩方面去展示數(shù)學的美。
1. 數(shù)學的自然美
我們提倡真善美。作為一門科學，數(shù)學本身無所謂善惡，善的人可以用它為善，惡的人可以用它作惡。但作為一門科學，數(shù)學的最大特點就是它的真。如果不真, 就不稱其為科學。同時，數(shù)學也是美，并且真本身就包含著美。
數(shù)學來源于現(xiàn)實。學生學習的所有的數(shù)學內(nèi)容，包括概念、思想、方法，都來源于現(xiàn)實，它的美是從現(xiàn)實世界與生俱來的。但如果我們的數(shù)學教育、數(shù)學教材將這些數(shù)學內(nèi)容與現(xiàn)實割裂開來，只剩下一堆為應付考試而死記硬背的條文，那怎么能讓學生喜歡呢？
比如，你去問學生為什么要學習集合、函數(shù)、三角函數(shù)、幾何，學生怎么回答？也許他的回答就是：“書上有這些內(nèi)容, 你要考這些內(nèi)容，所以我只好學?！?/p>
我們的教材，努力在一定程度上讓學生體會到這些數(shù)學知識是怎樣從現(xiàn)實世界中來的——它們都是為了解決現(xiàn)實世界中的某一方面的問題而建立的數(shù)學模型。為此，我們在引入這些知識的時候不是從定義出發(fā)，盡量從現(xiàn)實世界出發(fā)，從問題出發(fā)。不是將這些知識“教”給學生，而是與學生一起嘗試在解決問題的過程中建立模型，包括引入適當?shù)母拍詈投x，“發(fā)明”適當?shù)姆椒?。因此，在很多章的開始，都設(shè)立了數(shù)學建模欄目，這不是貼標簽走形式，而是提供給學生一個從現(xiàn)實出發(fā)走向數(shù)學的起點。在學會這些知識的過程中以及學習之后，還要不斷地利用這些知識解決更多的現(xiàn)實問題，這又是每章設(shè)置的問題探索、數(shù)學實驗等欄目的目的。
當學生親眼看見數(shù)學知識怎樣從他們身邊生動活潑的現(xiàn)實中誕生并大顯神通，他們自然就會體會到數(shù)學的美，引起對數(shù)學的興趣和以至于熱愛，愿意終生與數(shù)學交朋友。
2. 數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一美
數(shù)學有很多分支，很多方向，很多內(nèi)容。但這些內(nèi)容不是互不相干的堆積起來的，而是互相聯(lián)系成一個有機的整體。好比一個人是由很多器官組成的，有頭有身體有手有腳，但如果將頭、身體、手、腳砍下來，人就死了，失去了靈魂，這些器官也就都是一堆肉和骨頭而不是人體的一部分了。數(shù)學的各部分之間的相互聯(lián)系也是數(shù)學的靈魂之所在，數(shù)學的美的一個重要方面。學生在學習的時候固然需要分別學習各部分知識，但是如果將它們割裂成互不聯(lián)系的眾多的“知識點”去分別死記硬背，而且以“知識點”越多越光榮，那不但大大加重學生負擔，而且丟掉了數(shù)學的靈魂，學到的根本不是真正的數(shù)學。
我們的教材努力體現(xiàn)各個部分之間的有機聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一美。而且，通過這種聯(lián)系和統(tǒng)一，使得整個數(shù)學內(nèi)容顯得線條清晰，結(jié)構(gòu)簡潔，體現(xiàn)了一種簡潔的美，讓學生有可能體會到華羅庚所提倡的學習數(shù)學“由厚而薄”的絕妙境界。
數(shù)學研究的兩大主要對象是形與數(shù)，兩大主要部分是幾何與代數(shù)。我們努力將形與數(shù)的統(tǒng)一與聯(lián)系貫穿于所有的章節(jié)。函數(shù)與圖象是數(shù)與形的統(tǒng)一，解析幾何中的方程與圖象當然也是數(shù)與形的統(tǒng)一。而且，我們還用向量這個工具作為形與數(shù)的橋梁，將數(shù)與形更加緊密地聯(lián)系起來。不但在講了向量之后盡量發(fā)揮向量的威力來處理三角恒等變換、解析幾何的問題，而且在向量這部分內(nèi)容之前引入三角函數(shù)的時候，通過解決現(xiàn)實世界中方向和距離與直角坐標的相互轉(zhuǎn)化來引入三角函數(shù)，也已經(jīng)暗中包含了向量的思想，埋下了伏筆。
以下我們分別就各具體章節(jié)簡要介紹我們怎樣從上述兩方面展示數(shù)學的美。
為了讓學生更能體會到數(shù)學的美，我們在教材的語言方面也盡量做了努力，努力不板著面孔講數(shù)學。恰如其分地應用生動活潑、年輕人喜聞樂見的口語講數(shù)學，并引導學生體會怎樣將生動而不太嚴格的口語轉(zhuǎn)化為嚴謹?shù)臄?shù)學語言。并且還在每章前面用一首詩來概述本章的主要精神，為本章內(nèi)容的展開營造一種氣氛，也讓學生在一種令人心曠神怡的人文氣氛中享受快樂。語言是用來交流思想、傳遞信息的，自然語言、文學語言都是人們喜聞樂見的好形式。既然我們的數(shù)學是講給人聽的，特別是講給年輕人的，為什么不能用年輕人喜歡的語言而非要用他們討厭的語言來講呢？我們講數(shù)學的老師也是人，寫教材的作者也是人，我們自己在聽別人講話的時候都喜歡聽生動的話而不喜歡聽枯燥的官腔，那我們?yōu)槭裁从忠獙⑽覀冇憛挼恼Z言強加給學生，強加給這些最富有青春活力的年輕人呢？
因此，我們在下面展示數(shù)學的美的時候，也從每章開始的詩講起。
數(shù)學的自然美
我們這套教材的各章是這樣開始的：
集合與函數(shù)
日落月出花果香，物換星移看滄桑。
因果變化多聯(lián)系，安得良策破迷茫。
日出月落，花果飄香，物換星移，滄桑變化，多美的意境！這些都是現(xiàn)實世界中變化的事物，而這些變化都包含了因果關(guān)系。函數(shù)就是描述現(xiàn)實世界因果關(guān)系的一種數(shù)學模型，是破除迷茫的良策之一，它能不美嗎？
指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)
晨霧茫茫礙交通，蘑菇核云蔽長空。
化石歲月巧推算，文海索句快如風。
光線在晨霧中按指數(shù)函數(shù)快速衰減，所以“晨霧茫茫礙交通”。鈾核裂變時放出的中子數(shù)和能量都按指數(shù)函數(shù)快速增長，引起核爆炸。由化石的放射性碳含量與化石年齡之間的對數(shù)函數(shù)關(guān)系可以推算出化石的年齡。將海量數(shù)據(jù)經(jīng)過合理編排，可以使搜索資料所需的工作量是數(shù)據(jù)量的對數(shù)函數(shù)，當數(shù)據(jù)大量增長時工作量增長很少，因此能做到“文海索句快如風”。指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實生活中的這些現(xiàn)象密切相關(guān)，是我們身邊活生生的數(shù)學。
立體幾何
錐頂柱身立海天，高低大小也渾然。
平行垂直皆風景，有角有棱足壯觀。
本教材每章一開始都有一幅章頭圖。本章的章頭圖是一幅海邊的風景畫，建筑物與碧海藍天交織成美麗的風景。
這首詩描寫的就是對這幅畫的“看圖寫詩”。現(xiàn)實的建筑物呈現(xiàn)出各種形狀、大小不同的幾何體，有錐體，有柱體。幾何體中又進一步蘊含了立體幾何中的直線、平面等基本圖形，呈現(xiàn)出平行、垂直等基本的位置關(guān)系。立體幾何就是這樣自然地從現(xiàn)實世界中抽象出來的。在敘述數(shù)學的同時，這首詩也包含了一些哲理：事物是豐富多彩的，有大有小，有平行有垂直，并非只有一種形態(tài)而排斥另一種形態(tài)。大自然中處處有風景, 處處有美, 就看你能否體會得到。
解三角形
近測高塔遠看山，量天度海只等閑。
古有九章勾股法，今看三角正余弦。
測塔看山，量天度海，好大的氣派！可以想象一個頂天立地的巨人，拿著無比巨大的尺子和量角器在那里量天度海。我們不必長成那樣的巨人。我們只要利用解三解形的知識就能做到量天度海。數(shù)學知識可以使我們成為巨人。
數(shù)列
玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天。
壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環(huán)。
這里講的都是歷史上有關(guān)數(shù)列的著名例子?！坝裢米訉O”講裴波拉契的兔子數(shù)列?！捌灞P麥塔”講古印度國際象棋發(fā)明者向國王要獎賞的故事：他所要獎賞的麥子總數(shù)是2的0到63次冪所組成的等比數(shù)列的和，這樣多的麥子堆成的“麥塔”可以從地球一直堆到太陽上去，所以說“棋盤麥塔上摩天”一點都不夸張！堆垛和連環(huán)都是中國古代數(shù)列的著名例子。這些歷史故事都很有趣，當然數(shù)列也就很有趣。
不等式
天不均勻地不平，風云變幻大江東。
入水光路改方向，露珠圓圓看晶瑩。
這首詩的氣派也很大。天地之間，到處是不相等的例子。天不均勻，地不平坦，這才是常態(tài)。風云變幻，大江東流，萬物都在變化，變化前后就不相等。這里不但舉出不等式的具體實例，而且指出不相等才是普遍的、絕對的，而相等反而是特殊的、相對的、近似的。后兩句舉的是極大極小值的著名例子， “入水光路改方向”說的是光的折射，光在入水后改變方向，發(fā)生折射，所花的時候反而最短。“露珠圓圓”，球形的露珠在保持體積不變的情況下表面積最小。極小值小于其他值，這也是不等式問題。
數(shù)學的統(tǒng)一美
三角函數(shù)
東升西落照蒼穹，影短影長角不同。
晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮。
這里依然是說的自然現(xiàn)象。太陽每天東升西落，在蒼穹中運轉(zhuǎn)。運轉(zhuǎn)過程中光線照射地面的角度變化，地面物體的影子的長短也就隨之變化。同一物體的影子長度與光線角度之間的關(guān)系由三角函數(shù) (正切函數(shù)) 描述。除此之外，太陽東升西落，晝夜循環(huán)，潮漲潮落，冬去春來 (四季更替)，草枯草綠，都是自然界重要的周期現(xiàn)象，三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型。
圖1
在這一章引入三角函數(shù)之前的“問題探索”中，我們從研究一個幾何問題開始：
如圖1所示，已經(jīng)知道一個點 相對于坐標原點 的方向 (由 表示) 和距離，怎樣求的坐標這個問題有強烈的實際背景：在現(xiàn)實生活中，方向和距離比較便于直接測量，而坐標不便于直接測量。但用坐標來進行計算比較方便，而用角度和距離就沒有這么方便。這就引出了由
就能解決這個問題。我們知道, 解三角形也離不開三角函數(shù)。而解三角形也是由一些便于直接測量的量去計算不便于直接測量的量。這既說明了三角函數(shù)來源于現(xiàn)實世界, 展示了它的自然美。也說明了三角函數(shù)作為一個代數(shù)工具與幾何對象之間的密切聯(lián)系, 展示了數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一美。
向量
方向距離一筆揮，茫茫大海系安危。
展開合并等閑算，勾股余弦未足奇。
向量一章的開始就是一個數(shù)學建模：一艘在海上航行的船遇到危險，需要派直升機救助。直升機怎樣才能找到這艘船？這可不是紙上談兵，而是性命攸關(guān)的事情，所以說是“茫茫大海系安?！薄Ｈ鐖D2所示，要找到船，需要知道從已知點 (碼頭) 到船的方向和距離，也就是知道向量。從這個實例自然引出了向量的概念：具有方向和距離兩要素。 這條有向線段“大筆一揮”，向量的方向和距離都表示出來了。
圖2
還是在這個實例里，船從到再到，最后的位置向量。這就自然引入了向量的加法。而在本章第4節(jié)中，再次處理這個“茫茫大海系安?！眴栴}，通過將位移向量分解成東西方向和南北方向位移的合成的方法引入了坐標，通過坐標計算給出了這個問題的一個完整解答。當然，這個問題還可以用解三角形的方法來求解。一個實際問題多次出現(xiàn)，引出一系列知識，就好比一本小說里一個主要人物引起一大堆故事那樣，具有引人入勝的效果。
如果說通過“茫茫大海系安?！钡膶嶋H問題引出向量概念是體現(xiàn)數(shù)學的自然美，那么“展開合并等閑算，勾股余弦不足奇”則體現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一美?！罢归_合并等閑算”是說向量的運算可以與數(shù)的“展開合并”同樣來運算。多項式的“展開合并”是初中學的內(nèi)容，當然是“等閑算”。比如，
就是我們熟悉的乘法公式。這個公式對于向量是否成立？也就是說，當是向量時，
是否成立？許多教材在講到向量的運算時都強調(diào)向量運算與數(shù)的運算的不同點，在證明向量等式 (2) 時都回避了數(shù)的相應等式 (1) ，而是利用向量的運算律一步一步重新證明等式 (2) 。我們則反其道而行之，強調(diào)向量運算與數(shù)的運算的共同點，先將數(shù)的等式 (1) 一步一步重新證明一遍：
將數(shù)分別換成向量，數(shù)的加法和乘法分別換成向量的加法與數(shù)量積時，上面的每一步推理中的所用的運算律仍然成立，因此推理的過程及其結(jié)果仍然成立，這就得到了向量等式 (2) 。這里為什么不肯對向量等式 (2) 直接進行證明，而要轉(zhuǎn)彎抹角從數(shù)的等式 (1) 的證明得出來？這是不是多此一舉？其實，這里強調(diào)的是，數(shù)的乘法公式 (1) 為什么成立？是因為加法交換律、乘法交換律、乘法對于加法的分配律成立。而不是因為是數(shù)。既然如此，將這兩個數(shù)換成兩個別的東西，比如換成兩個向量，只要這些運算仍然成立，相應的乘法公式就仍然成立。這實際上暗中體現(xiàn)了近世代數(shù)的思想，將學生不知不覺地帶到了一個更高的思想境界，為大學的學習埋下了伏筆。
圖3
向量乘法公式 (2) 與數(shù)的乘法公式 (1) 雖然形式上相同，證明方法也相同，但所代表的意義卻不同。比如，如圖3所示，當向量不平行時，它們可以分別代表一個三角形的兩邊
這就是余弦定理。而當為直角時，這就是勾股定理
由一個熟知的乘法公式居然如此容易就得到了兩個重要的幾何定理。向量的威力何其大也！“展開合并等閑算，勾股余弦未足奇”。不是說勾股定理、余弦定理本身很平常，未足奇, 而是說得到它們的過程很容易，未足奇。這兩個定理的重要性是不言而喻的。用向量來得到它們越容易，就說明向量的威力越不尋常，越神奇。如此貌不驚人的公式居然有如此不尋常的幾何意義，代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系如此神奇，這難道不是數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一美的一次光彩奪目的表演嗎？
為什么從向量的“展開合并”中能得出如此重要的幾何定理？這其實是因為“展開合并”所依據(jù)的運算律本身就暗藏了幾何定理。正如我們在教材中指出的，向量加法的交換律暗藏了平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，數(shù)與向量相乘的分配律以及向量數(shù)量積的交換律都暗藏了相似三角形的判定和性質(zhì)定理。因此，利用向量的運算進行推理，實際上是在利用這些基本的幾何定理推出更高級的幾何定理。比如，可以逐字逐句將上述乘法公式的代數(shù)證明過程翻譯成幾何推理過程，得到的就是利用相似三角形證明勾股定理的幾何證法。向量代數(shù)與幾何的聯(lián)系和統(tǒng)一，在這里表現(xiàn)得淋漓盡致。
三角恒等變換
三角莫愁公式多，幾何妙筆畫婀娜。
展開和角星空轉(zhuǎn)，加減正弦明暗波。
這一章需要記憶的公式很多，這些公式看起來沒有什么實際背景，也沒有任何趣味可言。本章的主要內(nèi)容是將這些公式變來變?nèi)サ贸鲂碌娜呛愕仁健＿@是令人厭煩的。
然而，本套教材多次通過向量將三角公式與幾何圖形聯(lián)系起來，向量的“妙筆”讓令人厭煩的三角公式搖身一變?yōu)殒鼓榷嘧说膸缀螆D形，起到了化腐朽為神奇的效果。比如：
如圖4所示, 單位向量
將平面上的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為求和角 的正弦與余弦。這當然也可以用來描述宇宙萬物的旋轉(zhuǎn), 這就是“展開和角星空轉(zhuǎn)”。
如圖5所示，由單位向量
再通過計算上述單位向量的和
可以得出將和差 化為乘積
的公式中，圖5中
這些都是“幾何妙筆畫婀娜”的生動實例。
正弦的和差化積與光的干涉密切相關(guān) (參照第二冊第5章數(shù)學實驗)。光的干涉圖案是明暗相間的條紋。這就是“加減正弦明暗波”的意思。
解析幾何
代數(shù)幾何熔一爐，乾坤變幻坐標書。
圖形百態(tài)方程繪，曲線千姿計算求。
其余的詩基本上都涉及到現(xiàn)實世界與數(shù)學概念之間的關(guān)系，涉及到數(shù)學的自然美。只有這一首詩是專門講數(shù)學的統(tǒng)一美，講代數(shù)和幾何的密切聯(lián)系。大千世界，蕩蕩乾坤，都由點構(gòu)成。點可以由坐標表示，點的變化也就是坐標的變化，因此可以用坐標的變化來描述乾坤的變幻。這就是“乾坤變幻坐標書”的意思，其中的“書”是動詞, 表示“書寫”，也就是描述。圖形可以由方程來描述，曲線的幾何形狀可以通過代數(shù)計算的方法來求出。這些就是解析幾何的基本思想方法。
圖6
充分利用向量作為橋梁來溝通圖形的幾何性質(zhì)和坐標的代數(shù)運算之間的轉(zhuǎn)化, 這是本套教材在數(shù)學內(nèi)容上最突出的特色。特別是在研究直線方程時將傳統(tǒng)的以斜率為中心大膽改革為以法向量為中心，是本教材在數(shù)學內(nèi)容上力度最大的改革。以法向量來描述直線的方向，似乎顯得不如斜率自然。但是，我們不從直線到方程而是由二元一次方程 找出它的圖象，如圖6所示, 在圖象上取定了一點 之后，
圖象上任一點 滿足的條件 就變?yōu)?/p>
即
后面一個等式可以解讀為向量 與 的數(shù)量積等式 , 其幾何意義就是 。
滿足這個條件的所有的點組成過 且垂直于 的直線, 原來的二元一次方程 的一次項系數(shù) 就是直線法向量的坐標。
直線的方程有多種形式：點斜式, 斜截式, 兩點式, 截距式, 一般式等。我們的教材只強調(diào)了一般式 , 只補充了一條需要記住的關(guān)鍵性的知識：一般式方程的一次項系數(shù)A, B組成法向量坐標。就這一招就可以橫掃天下, 囊括直線方程的所有各種類型。不論遇到什么直線, 先找它的法向量 , 然后就可以立即由此寫出直線方程的 , 再利用直線上一個點的坐標求出待定常數(shù)項 。如若不信, 請看：
如果直線平行于向量，那么 是法向量：因為 。如果直線過兩點，那么它平行于向量，從而有法向量 。
如果直線有斜率，那么它平行于向量 ，從而有法向量 。
如果直線在 軸、 軸上的截距分別是 ，那么它過 ， 平行于 ，有法向量 。
看！是否一招打遍天下？是否簡單易行？是否減輕了負擔？
還不止這些。比如還有：
如果直線與某已知圓 相切于某已知點 ，則過這點的半徑 就是法向量。
數(shù)學實驗
數(shù)學實驗，也是本套教材與眾不同的特色之一。
數(shù)學實驗，是生活中的數(shù)學，活的數(shù)學。是讓學生借助于計算機等現(xiàn)代技術(shù)手段，自己動手做數(shù)學。
實驗成功與否，完全由實踐來檢驗。實驗結(jié)果是圖形，就要眼見為實，如果是聲音，就要耳聽為實。
以下是第四冊第9章的一個實驗：樂音的頻率比。
物理課程中學過：聲音由振動產(chǎn)生。聲音的高低由振動的頻率決定：聲音越高，頻率越高。
既然如此，你可曾想過：樂音的音階 中的音一個比一個高, 它們的頻率各是多少?
首先, 鋼琴或者電子琴上任何一個鍵的音都可以作為1, 可見1的頻率是不固定的, 不同的調(diào)有不同的1。
但是, 別的音與1的頻率的比是固定的。比如高八度的 的頻率就是1的2倍。從1到 ，總共經(jīng)過12個琴鍵，也就是12個“半音”。假定每兩個相鄰的半音的頻率比相同，則從1到 的各個琴鍵所發(fā)的聲音的頻率成等比數(shù)列，公比。適當給定1的頻率，由等比數(shù)列的通項公式可以算出其余各音的頻率。
在計算機上將這些音產(chǎn)生和播放出來，或者再將它們編成樂曲播放出來，聽一聽是否是你所期待的效果。
本教材安排的實驗還有：在“電子琴為什么能模擬不同樂器的聲音”中，利用正弦曲線迭加出不同形狀的波形來說明合成不同音色的聲音的原理；在“光的干涉”中，利用和差化積計算出各點的光的強度，模擬出光的干涉圖象；在“凹面鏡的反射”中根據(jù)光的反射定律畫出反射光線圖，研究凹面鏡反射的特性;等等。
數(shù)學實驗，將數(shù)學轉(zhuǎn)化為活生生的形象或聲音，從另一個方面展示了數(shù)學的自然美。
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