專題05 全等之手拉手模型精練
一．手拉手之等邊類
1．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，點B、D、E在一條直線上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝（ ）
A．55° B．50° C．45° D．60°
2．如圖，△ABC，△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm，3cm，B，C，D三點在同一條直線上，下列結論：①AD＝BE；②△CFG為等邊三角形；③CMcm；④CM平分∠BMD．其中正確的有（ ?。?/span>
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖，在?ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個結論一定正確的是（ ?。?/span>
①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
4．已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC＝∠ADE＝α，線段BD、CE交于點M．
（1）如圖1，若AB＝AC，AD＝AE
①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；
②求∠BMC的大?。ㄓ?/span>α表示）；
（2）如圖2，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE，則線段BD與CE的數(shù)量關系為 ，∠BMC＝ （用α表示）；
（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉180°，在備用圖中作出旋轉后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M．則∠BMC＝ （用α表示）．
5．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）求證：AC＝BD．
（2）求∠APB的度數(shù)．
6．圖1是邊長分別為a和b（a＞b）的兩個等邊三角形紙片△ABC和△CDE疊放在一起（C與C′重合）的圖形．
（1）操作：固定△ABC，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉20°，連結AD，BE，如圖2，則可證△CBE≌△CAD，依據(jù) ，進而得到線段BE＝AD，依據(jù) ．
（2）操作：若將圖1中的△CDE，繞點C按順時針方向旋轉120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結AD、BE，如圖3．
①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數(shù)量關系；
②求∠APB的度數(shù)．
（3）若將圖1中的△CDE，繞點C按逆時針方向旋轉一個角度α（0＜α＜360°），當α等于多少度時，△BCD的面積最大？請直接寫出答案．
二．手拉手之等腰類
7．如圖，已知D為等腰Rt△ABC的腰AB上一點，CD繞點D逆時針旋轉90°至ED，連接BE，CE，M為BE的中點．則當tan∠EDA時， ．
8．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠DOC＝50°，連接AC，BD交于點P，且AC交OB于點E．①的值為 ；②∠APB的度數(shù)為 ；
（2）類比探究：如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝30°，連接BD，交AC的延長線于點P，且AC交OB于點E．請計算的值及∠APB的度數(shù)；
（3）拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉，AC，BD所在直線交于點P，若OC＝1，OA，請直接寫出點D與點P重合時BD的長．
9．小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；
（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為 ；線段BE與AD之間的數(shù)量關系是 ；
（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關系并說明理由．
10．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．點D是BC邊上一動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉90°到AE，連接CE．
（1）求證：CD+CECA．
（2）如圖2，連接DE，交AC于點F．
①求證：CD·CE＝CF·CA；
②當△CEF是等腰三角形時，請直接寫出BD的長．
11．綜合與實踐
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出∠AEB的度數(shù)及線段AD，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（2）類比探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
填空：①∠AEB的度數(shù)為 ；
②線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系為 ．
（3）拓展延伸
在（2）的條件下，若BE＝4，CM＝3，則四邊形ABEC的面積為 ．
三．手拉手之四邊形
12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．
（1）探究猜想
如圖1，當點D在線段BC上時，
①BC與CF的位置關系為： ；
②BC、CD、CF之間的數(shù)量關系為： ；
（2）深入思考
如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，正方形ADEF對角線交于點O．若已知AB＝2，CDBC，請求出OC的長．
13．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
14．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正確結論是 （填序號）
15．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是（ ?。?/span>
A．2.5 B． C． D．2
16．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AB邊的中點，以AE為邊作正方形AEFG，連接DE，BG．
（1）發(fā)現(xiàn)
①線段DE、BG之間的數(shù)量關系是 ；
②直線DE、BG之間的位置關系是 ．
（2）探究
如圖2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）應用
如圖3，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一周，記直線DE與BG的交點為P，若AB＝4，請直接寫出點P到CD所在直線距離的最大值和最小值．
四．手拉手之綜合 類
17．如圖，等邊△ABC的邊長為6，點D在邊AB上，BD＝2，線段CD繞C順時針旋轉60°得到線段CE，連接DE交AC于點F，連接AE．下列結論：①四邊形ADCE面積為9；②△ADE外接圓的半徑為；③AF：FC＝2：7；其中正確的是（ ?。?/span>
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
18．已知菱形ABCD，E、F是動點，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結論正確的有幾個（ ?。?/span>
①△BEC≌△AFC；
②△ECF為等邊三角形；
③∠AGE＝∠AFC；
④若AF＝2，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
19．【特例感知】
（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．
【方法運用】
（3）如圖3，若AB＝8，點C是線段AB外一動點，AC＝3，連接BC．
①若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是 ；
②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點按順時針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當∠CBD＝∠DAB＝30°時，直接寫出AD的值．
20．在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直線AC與BD交于點M．
（1）如圖1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；
（2）如圖2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；
（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，將三角形OCD繞著點O在平面內(nèi)旋轉，直接寫出當點A、C、D在同一直線上時，線段BD的長．
21．【問題探究】
如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，不需要證明．
【深入探究】
（1）如圖2，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD、CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由；
【拓展應用】
（2）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB為直角邊，A為直角頂點向外作等腰直角△ABD，連接CD，若AC，BC＝3，則CD長為 ；
（3）如圖4，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A（0，3）、P（3，0），過點P作直線l⊥x軸，點B是直線l上的一個動點，線段AB繞點A按逆時針方向旋轉30°得到線段AC，則AC+PC的最小值為 ．
22．如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在線段BC上（不與點B、點C重合）運動，以AP為腰在AB上方作等腰直角△PAD，DE⊥AC于點E，且與AB交于點M．
（1）求證：△AMD≌△PCA；
（2）如圖2，DM交AP于點N，連接PM，證明：PM+2AE＝DM；
（3）當PC＝2BP時，猜想PM與EN的數(shù)量關系并證明．
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