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知識解讀

角平分線所在直線是所在角的對稱軸，因此角平分線的性質(zhì)都是以軸對稱為基礎(chǔ)的，其輔助線作法也應(yīng)多從軸對稱的角度來考慮，其常用的輔助線構(gòu)造方法有：（1）過角平分線上一點(diǎn)作到角的兩邊的垂線段，如圖1－4－1①.（2）以頂點(diǎn)為圓心，在角兩邊截取兩條相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如圖1－4－1②.（3）利用三線合一定理構(gòu)造等腰三角形，如圖1－4－1③.（4）過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，如圖1－4－1④.

典例示范

一、過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段.

例1如圖1－4－2，AB//CD，E為AD上一點(diǎn)，且BE，CE分別平分∠ABC，∠BCD.求證：AE＝ED.

【提示】由于角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而點(diǎn)E是兩條角平分線的交點(diǎn)，因此我們可以過點(diǎn)E，分別作AB，BC，CD的垂線段，如圖1－4－3.

【解答】

【技巧點(diǎn)評】

過一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，構(gòu)造的是一對全等的直角三角形，可以得到一些相等的線段和相等的角，但利用角平分線的性質(zhì)，可以省去證明全等這一環(huán)節(jié)，直接證得線段相等。同樣由“距離”相等，也能直接得到角平分線.讓證明來得更簡捷。

二、角平分線＋高＝全等三角形

例2如圖1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求證：CE＝BD.

【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考慮過點(diǎn)D作BC的垂線或延長CE從而構(gòu)造全等三角形。

【解答】

【技巧點(diǎn)評】

當(dāng)一根線段同時(shí)滿足“是角平分線”、“是中線”和“是高”中兩個(gè)時(shí)，可考慮將圖形補(bǔ)成一個(gè)等腰三角形解決問題。

三、借助角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形

例3如圖1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求證：AB＝AC＋CD.

【提示】可考感以AD為對稱軸構(gòu)造全等三角形，可在AB邊上截取AE＝AC，也可以延長AC到點(diǎn)E，使得AE＝AB.

【解答】

【技巧點(diǎn)評】

角平分線所在直線是角的對稱軸，可以對稱著構(gòu)造全等三角形。

四、角平分線十平行線＝等腰三角形

例4  如圖1－4－9，在△ABC（AB≠AC）中，D，E在BC上，且DE＝EC，過D作DF//AB，交AE于點(diǎn)F，DF＝AC.求證：AE平分∠BAC.

【提示】要說明∠BAE＝∠CAE，可尋找一個(gè)角等于這兩個(gè)角，可過點(diǎn)D作DM/AC，與角平分線AE固成一個(gè)等腰三角形，從而尋找到這個(gè)角。

【解答】

【技巧點(diǎn)評】

當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形。如圖1－4－10①中，若AD平分∠BAC，AD//EC，則△ACE是等腰三角形；如圖1－4－10②中，若AD平分∠BAC，DE∥AC，則△ADE是等腰三角形；如圖1－4－10③中，若AD平分∠B4C，CE/∥AB，則△ACE是等腰三角形；如圖1－4－10④中，若AD平分∠BAC，EF//AD，則△AGE是等腰三角形。

拓展延伸

例5  如圖1－4－12，在△ABC中，證明：

（1）若AD為角平分線，則S_△ABD：S_△ACD＝BD:CD；

（2）設(shè)D為BC上一點(diǎn)，連接AD，若S_△ABD：S_△ACD＝AB:AC，則AD為∠BAC的平分線.

【提示】（1）△ABD，△ACD，BD，CD邊上的高相同，面積比等于底邊長之比；（2）由這兩個(gè)三角形的面積之比可看出點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等.

【解答】

【技巧點(diǎn)評】

通過這道題目可以看出，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，S_△ABD: S_△ACD＝BD:CD，S_△ABD: S_△ACD＝AB:AC，可以得出結(jié)論BD:CD＝AB:AC.