本題是與二次函數(shù)有關(guān)的面積問題，特別是第（3）問，求面積比和的最大值，最終通過轉(zhuǎn)化為線段的比來求。這是近兩年以來出現(xiàn)的比較多的問題。一般就是考查兩個(gè)共邊三角形面積的比的最值，利用A字型或者X字型的相似轉(zhuǎn)化為求線段的最值。
本題的難度明顯比以往幾年福建省中考數(shù)學(xué)的壓軸題的難度降了不少。
【題目】
在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．是拋物線上一點(diǎn)，且在直線的上方．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若面積是面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．記，，的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）本題考查待定系數(shù)法，把點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可。
依題意，得
，解得。
拋物線的解析式為。
（2）三角形OAB與三角形PAB具有公共邊，如果△OAB的面積是△PAB面積的2倍，那么以AB為底的高，也具有倍半關(guān)系。
本題可以考慮的思路有比較多，最直接的莫過于分別表示出兩個(gè)三角形的面積，建立等量關(guān)系即可。
當(dāng)然，另一方面，根據(jù)面積比可以轉(zhuǎn)化為求高的比，進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為線段PC與OC的長度之比，再適當(dāng)轉(zhuǎn)化一下，就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)了。
下面對第二種方法進(jìn)行介紹。
先過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，PF與AB交于點(diǎn)E。延長AB與y軸交于點(diǎn)G。再分別過點(diǎn)P、O作AB的垂線，垂足分別為M、N。
設(shè)AB的解析式，代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到AB的解析式為：
。
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，．
因?yàn)椤鱋AB的面積為△PAB面積的2倍，則ON=2PM，再根據(jù)△OCN∽△PCM，可以得到OC=2PC。然后根據(jù)△OGC∽△PEC，可以得到OC=2PE。
由直線AB的解析式可以得到點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為16/3，那么PE的長就是8/3。
然后根據(jù)PN=8/3，建立等量關(guān)系，解方程即可。
，
解得，。
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或。
接下來從另外的思路出發(fā)，取OA的中點(diǎn)M（2，0），連接BM，再過點(diǎn)B作OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AB的平行線交拋物線點(diǎn)P′。
可以發(fā)現(xiàn)△ABM的面積是△OAB面積的一半。而四邊形AMBP為平行四邊形，所以此時(shí)△PAM的面積等于△ABM的面積，也就是△OAB面積的一半。此時(shí)的點(diǎn)P滿足要求，坐標(biāo)為（3，4）。那么再求點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可。
因?yàn)橹本€AB的解析式為，那么就可以設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的解析式為。
再與拋物線的解析式聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)。
，解得，。
所以點(diǎn)。
求出來的結(jié)果也上一種方法是類似的。
（3）如圖，標(biāo)記三個(gè)三角形的面積在圖中，題目要求S1/S2+S2/S3的最大值。根據(jù)面積公式可以轉(zhuǎn)化為CD/BC+PC/OC的最大值。
又因?yàn)镻D與OB平行，所以可以得到CD/BC=PC/OC，那么其實(shí)就是求PC/OC的2倍的最大值。根據(jù)相似即可求得結(jié)論。
由（2）的結(jié)論得PC/OC=PE/OG，而OC為定值，當(dāng)PE最大的時(shí)候即可得到結(jié)論。
。
所以可以得到當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5/2時(shí)，最大值為9/8。
【總結(jié)】
兩個(gè)共邊三角形的面積比常轉(zhuǎn)化為線段的比。
如上圖，兩個(gè)共邊三角形△ABD與△ACD，它們的面積比等于BD與CD的比。
針對線段的比例問題與面積的比例問題，專門有一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行介紹，具體請看《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析·解答題》P323頁的12.4比例問題。
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