之前和學(xué)生談到了“少多少，薄厚薄”。有的學(xué)生不理解什么是薄與厚，還有的學(xué)生不明白如何對(duì)知識(shí)做簡(jiǎn)單的總結(jié)，看書(shū)如何從厚到薄。

因?yàn)椴簧瓶偨Y(jié)，初一不少學(xué)生在學(xué)到實(shí)數(shù)這一章節(jié)，就因概念多而開(kāi)始混淆知識(shí)。這里以趣味邏輯這本書(shū)做演示，談?wù)勅绾握砜偨Y(jié)。

該書(shū)303頁(yè)，全書(shū)內(nèi)容總結(jié)為4頁(yè)。

看完一遍后，再花一晚上整理后的結(jié)果如下：

趣味邏輯

邏輯學(xué)：研究人們的思維形式及其規(guī)律。包括形式邏輯，數(shù)理邏輯，和辯證邏輯。

形式邏輯研究的是：

①思維形式:概念，判斷，命題，推理等；

②正確思維的基本規(guī)律：同一律，矛盾律，排中律，充足理由律；

③簡(jiǎn)單的邏輯方法：概括，定義和劃分等。

特點(diǎn)：高度抽象，實(shí)踐性極強(qiáng)。

一、概念

概念構(gòu)成命題，命題構(gòu)成推理，推理構(gòu)成論證。

概念是反映對(duì)象的本質(zhì)屬性和特有屬性的一種思維形式。

屬性指各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)。

屬性分為特有屬性和非特有屬性，本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。

本質(zhì)屬性指決定該對(duì)象之所以為該對(duì)象的那些屬性，本質(zhì)屬性必定是該類(lèi)對(duì)象的特有屬性，但一類(lèi)對(duì)象的特有屬性并不都是該類(lèi)對(duì)象的本質(zhì)屬性。

概念是人們?cè)诟行哉J(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，借助于分析，綜合，比較，抽象，概括等方法，認(rèn)識(shí)了對(duì)象的本質(zhì)屬性與特有屬性而形成的。概念和客觀對(duì)象的關(guān)系，是反映與被反映的關(guān)系。

概念是通過(guò)詞語(yǔ)來(lái)表達(dá)的，但是概念與詞語(yǔ)不是一一對(duì)應(yīng)的。不同的詞語(yǔ)可以表達(dá)同一個(gè)概念，而同一個(gè)詞語(yǔ)也可以表達(dá)不同的概念。在日常言語(yǔ)中，有的詞語(yǔ)的含義是不確定的，因此混淆同一詞語(yǔ)所具有的不同含義，就會(huì)帶來(lái)詭辯。

概念包括內(nèi)涵與外延。

內(nèi)涵：所反映對(duì)象的特點(diǎn)與本質(zhì)。  外延：指概念所反映的一個(gè)個(gè)，一類(lèi)類(lèi)對(duì)象。

如，人的內(nèi)涵是指能夠制造和使用勞動(dòng)工具的動(dòng)物，外延是古往今來(lái)的一切人。

未知數(shù)X的內(nèi)涵是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的任何數(shù)，外延包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。

集合概念：反映集合體的概念，如森林，艦隊(duì)，它所具有的性質(zhì)，不一定為每個(gè)分子所具有。

非集合概念：反映一類(lèi)對(duì)象，如樹(shù)木，軍艦。

概念關(guān)系主要是從外延關(guān)系做區(qū)分。

在外延上相互排斥，即毫無(wú)重合的，稱(chēng)為不相容關(guān)系。

在外延上至少有一部分重復(fù)的兩個(gè)概念稱(chēng)為相容關(guān)系。

相容關(guān)系包括：同一關(guān)系，類(lèi)種關(guān)系，交叉關(guān)系。

同一關(guān)系：指概念在外延上完全重合的兩個(gè)概念之間的關(guān)系。如北京與中華人民共和國(guó)首都。

同一關(guān)系的兩個(gè)概念雖然外延一致，但內(nèi)涵有所不同，不然就不是兩個(gè)概念了。

類(lèi)種關(guān)系：指一個(gè)概念的外延包含另一個(gè)概念的全部外延這樣的兩個(gè)概念間的關(guān)系。如工人和中國(guó)工人。

外延大的稱(chēng)為類(lèi)概念，外延小的稱(chēng)為種概念。類(lèi)種概念在外延和內(nèi)涵上存在反向關(guān)系，外延上，類(lèi)概念大于種概念：內(nèi)涵上，類(lèi)概念卻小于種概念。

白馬非馬：馬包括了白馬，黃馬，黑馬，但是白馬并不包括黃馬和黑馬，因此白馬不是馬。錯(cuò)誤在于否認(rèn)種概念包含與類(lèi)概念之中的錯(cuò)誤。

交叉關(guān)系：兩個(gè)概念在外延上有一部分是重合的，如工人和黨員。

二、命題（重難點(diǎn)）

感覺(jué)到的東西，你不一定能理解，只有理解了的東西，才能更深刻地感受到。

符號(hào)和公式是常識(shí)的精微化。

命題：是對(duì)思維對(duì)象作出判斷的一種思維形式。它通過(guò)對(duì)思維形式的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等所作的斷定，表現(xiàn)出人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的一定認(rèn)識(shí)（即反映）。命題總有真假。

一個(gè)命題并非只表達(dá)一個(gè)特定的判斷，或一個(gè)判斷就只能由一個(gè)特定的命題來(lái)表達(dá)。

人們可以利用句子的語(yǔ)詞歧義，或者句子結(jié)構(gòu)的松散，對(duì)語(yǔ)句做不同的解釋?zhuān)拐Z(yǔ)句具有不同的意義，從而表達(dá)不同的判斷。因此，不同的語(yǔ)句可以表達(dá)同一個(gè)判斷，同一個(gè)語(yǔ)句也可以表達(dá)不同的判斷。

命題按本身是否包含其他命題，分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題兩類(lèi)。

簡(jiǎn)單命題是本身不再包含其他命題的一種命題。分為兩類(lèi)：

①性質(zhì)命題（即直言命題），它是斷定對(duì)象具有或不具有某種性質(zhì)的命題。它又分為六類(lèi)：

  單稱(chēng)肯定命題，單稱(chēng)否定命題，

全稱(chēng)肯定命題，全稱(chēng)否定命題，

特稱(chēng)肯定命題，特稱(chēng)否定命題，

性質(zhì)命題必須把握項(xiàng)的周延情況。（關(guān)鍵）

組成：量項(xiàng)+主項(xiàng)+聯(lián)項(xiàng)+謂項(xiàng)。

②關(guān)系命題：它是斷定對(duì)象和對(duì)象之間關(guān)系的命題。

復(fù)合命題是本身包含其他命題的命題。它分為三類(lèi)：①聯(lián)言命題：是斷定事物若干情況同時(shí)存在的命題。如：小王不僅很聰明，而且很努力。

邏輯連接詞：和。

②選言命題：是斷定事物若干可能情況的命題。如：小王要么聰明，要么很努力。

邏輯連接詞：或。

③假言命題：是斷定某一事物情況為另一事物情況條件的命題。如：如果小王很聰明，那么小王會(huì)取得好成績(jī)。

假言命題又分為充分條件假言命題和必要條件假言命題。

如果p存在，則q存在，那么p是q的充分條件。

如果p不存在，q就不存在，那么p是q的必要條件。

負(fù)命題（非P）：是否定某個(gè)命題的命題。它與性質(zhì)命題的否定命題是不一樣的。

如：并非一切水生生物都是用鰓呼吸。

三、演繹推理

只有通過(guò)邏輯推理，我們才能發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的高度簡(jiǎn)明性、嚴(yán)格性和抽象性。

推理同概念，命題一樣，也是一種最基本的思維形式。推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知命題出發(fā)，而推出一個(gè)新命題的思維形式。

人們的知識(shí)，大部分是通過(guò)推理得到的，因此推理是人們獲取新知識(shí)的重要手段。

推理由前提和結(jié)論兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知前提，即前提，一部分是推出的新命題，即結(jié)論。

進(jìn)行推理，必須遵循各種不同推理形式所固有的邏輯規(guī)律和規(guī)則。只有具有一定推論關(guān)系的命題組合起來(lái)，才能構(gòu)成一個(gè)推理。

推理按前提的個(gè)數(shù)分為直接推理和間接推理。

直接推理：由一個(gè)前提推出結(jié)論的推理，稱(chēng)為直接推理。它包括:①根據(jù)命題間對(duì)當(dāng)關(guān)系的推理。有的，所有，個(gè)別。

②根據(jù)命題變形而進(jìn)行的推理。換質(zhì)法與換位法。

間接推理：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的命題作為前提推出一個(gè)新結(jié)論的推理，稱(chēng)為間接推理。它包括演繹推理和歸納推理。

演繹推理是由一般性知識(shí)的前提推出某種特殊性知識(shí)的結(jié)論的推理。在演繹推理中，只要前提為真，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是符合邏輯規(guī)則的，其結(jié)論必然真實(shí)。因此，演繹推理是一中必然性的推理。

演繹推理按照作為其前提的命題種類(lèi)的不同，可分為六類(lèi)。

直言推理（即三段論），關(guān)系推理，聯(lián)言推理，選言推理，假言推理，二難推理。（重難點(diǎn)）

四、歸納推理

這部分內(nèi)容涉及歸納推理，類(lèi)比推理和假說(shuō)。

歸納推理是由一些反映個(gè)別或特殊知識(shí)的前提，而推出一般性知識(shí)的結(jié)論的推理。它分為完全歸納推理和不完全歸納推理。

完全歸納推理：在前提中對(duì)某類(lèi)事物的全部個(gè)體對(duì)象都做了考察，然后才在結(jié)論中做出有關(guān)這一類(lèi)事物全部的一般結(jié)論。局限明顯。

不完全歸納即對(duì)某類(lèi)事物的部分對(duì)象做考察。它分為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。

簡(jiǎn)單枚舉歸納推理：研究所碰到的某些事物的部分對(duì)象，都具有某種性質(zhì)，而沒(méi)有發(fā)現(xiàn)與之相反的情況，以此為根據(jù)而進(jìn)行的不完全歸納推理。結(jié)論具有或然性。

科學(xué)歸納推理：有計(jì)劃有選擇地對(duì)某類(lèi)事物的部分對(duì)象做考察時(shí)，不僅沒(méi)有碰到相反情況，還進(jìn)一步分析和發(fā)現(xiàn)了考察對(duì)象之所以具備某種性質(zhì)的原因和內(nèi)在必然性，建立在這種對(duì)事物進(jìn)行科學(xué)分析基礎(chǔ)上的不完全歸納推理稱(chēng)為科學(xué)歸納推理。結(jié)論有一定的程度的必然性。

科學(xué)歸納推理最重要的是要發(fā)現(xiàn)事物中現(xiàn)象之間的因果關(guān)系，揭示某種現(xiàn)象產(chǎn)生和存在的必然性。

類(lèi)比推理：根據(jù)倆個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象在某些性質(zhì)上的相同，推出他們?cè)诹硗庑再|(zhì)上也相同的推理。

結(jié)論是否可靠，取決于進(jìn)行類(lèi)比的兩類(lèi)事物所具有的共同性質(zhì)與類(lèi)比推出的結(jié)論所反映的性質(zhì)之間，是否有必然關(guān)系。

如果將兩個(gè)本質(zhì)不同的事物，按其表面的相似來(lái)機(jī)械加以比較而提出某些結(jié)論，就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤。

假說(shuō)：是人們根據(jù)已經(jīng)掌握的事實(shí)材料和科學(xué)發(fā)現(xiàn)，對(duì)某一事物或現(xiàn)象的存在與否及其原因、規(guī)律性所做的一種推測(cè)性的說(shuō)明。

假說(shuō)的形成分兩個(gè)階段：假說(shuō)的提出和驗(yàn)證。提出需以一定的事實(shí)材料為依據(jù)，驗(yàn)證必須廣泛運(yùn)用各種推理形式，使之在實(shí)踐中獲得驗(yàn)證。一旦得到驗(yàn)證，假說(shuō)就上升為理論了。

五、邏輯思維的基本規(guī)律

形式邏輯所研究的最基本的邏輯規(guī)律有：同一律，矛盾律，排中律和充足理由律。

同一律：在思辨與論辯過(guò)程中，必須保持概念和命題的確定與統(tǒng)一。否則就會(huì)犯變換論點(diǎn)或偷換概念的錯(cuò)誤。

矛盾律：在同一思維過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象不能同時(shí)給出兩個(gè)互相矛盾的命題。如矛與盾。

排中律：在思維與論辯過(guò)程中，對(duì)兩個(gè)互相矛盾的命題，必須承認(rèn)其中有一個(gè)是真的，不能同時(shí)對(duì)兩者都加以否定。否則就會(huì)犯模棱兩可的錯(cuò)誤。

充足理由律：在論證過(guò)程中，作為論證根據(jù)的理由必須是真實(shí)的，理由與其推出的論斷之間應(yīng)當(dāng)是有邏輯的推論關(guān)系。否則就會(huì)犯虛假理由或者預(yù)期理由的錯(cuò)誤。

六、邏輯論證

整章都為實(shí)例分析。

所謂論證即邏輯論證是一種通過(guò)斷定一些命題的真實(shí)性來(lái)判明另一種命題真實(shí)性的思維過(guò)程。論證由論題（真假待確定命題）、論據(jù)（自身真實(shí)性已經(jīng)斷定的命題）、論證方式（用論據(jù)確定論題真假時(shí)所采用的推理形式）三部分組成。

如果一個(gè)論證是為了判明論題為真，那么該論證稱(chēng)之為證明，如果是為了判明論題為假，那么該論證稱(chēng)為反駁。

論證總是借助于推理來(lái)進(jìn)行。論題、論據(jù)、論證方式，分別相當(dāng)于推理的前提、結(jié)論和推理形式。論證必須遵守的基本邏輯原則是充足理由原則，他要求人們?cè)谌魏我粋€(gè)論證當(dāng)中，都必須為論題提供充足理由。

論證按其所運(yùn)用的推理形式不同分為演繹論證和歸納論證，按其論據(jù)用以判明論題真假方式的不同而分為直接論證和間接論證。

論證的邏輯規(guī)則分三個(gè)方面：

①關(guān)于論題的規(guī)則：一、論題必須明確，二、在同一論證過(guò)程中論題必須保持統(tǒng)一。

②關(guān)于論據(jù)的規(guī)則：一、論據(jù)應(yīng)當(dāng)是真實(shí)的，二、論據(jù)的真實(shí)性不能依賴論題，否則在同一論證過(guò)程中論據(jù)的真實(shí)性又依賴問(wèn)題的真實(shí)性，那么會(huì)使論據(jù)論題互為論據(jù)，那就會(huì)什么也不會(huì)得到證明。違反這條規(guī)則的常見(jiàn)錯(cuò)誤是循環(huán)論證或者惡性循環(huán)。

③關(guān)于論證方式的規(guī)則：論據(jù)必須有效地推出論題，即論證過(guò)程中必須遵守有關(guān)的推理結(jié)論。

七、悖論

Paradox。很有趣的一章。比如理發(fā)師悖論。GEB，一條永恒的金帶。

八、綜合

整章都為較復(fù)雜的實(shí)例分析。

到此結(jié)束。以上總結(jié)并未包括檢查筆誤的部分。

有心的同學(xué)可以對(duì)照這本書(shū)，看看我的歸納和書(shū)中內(nèi)容的差異。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，我的歸納99%都是直接摘抄書(shū)里的內(nèi)容，并且參考了每章的小結(jié)。

數(shù)學(xué)課本上的概念遠(yuǎn)比這本書(shū)來(lái)的少，整理的方法完全是一樣的。因此，只要你認(rèn)真去對(duì)照完課本后的某個(gè)單元小結(jié)，再把這個(gè)單元的一個(gè)個(gè)概念、定理抄放在一兩張A4紙上，一次簡(jiǎn)單的總結(jié)就成功了。

接著，當(dāng)你能在一張紙上一眼看到全部的這些概念和定理，即第一次從整體的視角去對(duì)比這些知識(shí)，原本疏散的它們會(huì)有了關(guān)聯(lián)，當(dāng)能夠逐漸理解它們是按何順序編排在一起，知識(shí)體系自然就建立了。

最后欣賞一部分書(shū)本的內(nèi)容：