昨天午飯時(shí)，看了4月3號這一期的“王牌對王牌”，節(jié)目中出現(xiàn)了這樣一道關(guān)于路線的思維題（奧數(shù)題），題目是這樣的：
從A點(diǎn)到B點(diǎn)一共有多少條不同的路？（不許走冤枉路）
（分析：也就是我們不能來回走、繞圈走，說直白點(diǎn)就是只能向右或向上走。）
節(jié)目里給出的解釋如圖
典型的機(jī)構(gòu)解題方法，但節(jié)目里解釋的時(shí)間短，看完不一定明白為什么這樣做。很多孩子學(xué)會了這樣的方法，但問孩子為什么這樣做？背后的原理是什么？孩子可能就蒙了。咱們一點(diǎn)點(diǎn)來分析。
大部分孩子，初次見到這個(gè)題圖最自然的想法就是一條條數(shù)。
雖然麻煩，但我們要引導(dǎo)孩子學(xué)會有序思考。
我是按照這樣的順序來數(shù)的：
1. 向上走，考慮不同情況；
2. 向右走1格，再向上考慮不同情況；
3. 向右走2格，再向上考慮不同情況；
4. 向右走3格，再向上走；
（思考的順序不一定象上述這樣，但一定要有自己的順序，保證不重復(fù)不遺漏。）
還可以從哪些角度思考呢？
為了方便說明，我們給交點(diǎn)標(biāo)上字母。
從A出發(fā)有兩條路（兩個(gè)方向）可以選擇，
a、e兩點(diǎn)出發(fā)各有兩個(gè)方向的選擇，
同理，繼續(xù)延伸
利用樹形圖思路可以解決，
但是面對2×3的方格就已經(jīng)很復(fù)雜了，
要是方格更多，利用樹形圖就會很復(fù)雜。
現(xiàn)在我們來試著理解，節(jié)目中的做法。到哪一點(diǎn)，對應(yīng)這一點(diǎn)有幾種走法我們標(biāo)上數(shù)。
到a、e點(diǎn)各有一種走法，我們分別在a、e兩點(diǎn)標(biāo)記數(shù)字1。
到j(luò)點(diǎn)，只有A→e→j一條路，所以標(biāo)記1。同理b點(diǎn)標(biāo)記1。到f點(diǎn)有兩條路
A→e→f; A→a→f。
所以在f點(diǎn)標(biāo)記2?？梢园l(fā)現(xiàn)
每一點(diǎn)標(biāo)記的數(shù)=它左側(cè)點(diǎn)的數(shù)+下側(cè)點(diǎn)的數(shù)。
因此有
繼續(xù)相加得
每一個(gè)點(diǎn)標(biāo)記的數(shù)字，恰恰就是樹形圖中每點(diǎn)對應(yīng)字母出現(xiàn)的次數(shù)。
可以看到樹形圖中f出現(xiàn)2次，k出現(xiàn)3次。這種標(biāo)數(shù)的做法本質(zhì)上就是樹形圖的思路。
用推理找規(guī)律的方法，可以這樣想
先考慮簡單的情況，發(fā)現(xiàn)答案本別為1、3、6。
再觀察結(jié)果，我推理出答案為10。
這樣的方法雖然不是非常嚴(yán)格，但是運(yùn)用了從特殊到一般的想法。
節(jié)目中，國民閨女很快就給出了答案10條路。
她很可能使用了排列組合的方法，這是怎么回事呢？
仔細(xì)觀察我們最開始給出的答案。可以發(fā)現(xiàn)無論哪一種走法，都是向右走了3格，向上走了2格，只是順序不同。例如
第一條： 上→上→右→右→右；
第二條： 上→右→上→右→右；
第三條： 上→右→右→上→右；
也就是說，我們可以把題目轉(zhuǎn)化為：一共有5個(gè)位置，我們要放上去3個(gè)“右”，2個(gè)“上”，一共有多少種放法？典型的組合問題。
( )→ ( ) → ( )→ ( )→ ( )
我們要從5個(gè)空里選2個(gè)位置放入“上”，其余的放“右”。所以答案是
總的來看我們現(xiàn)在有5種方法來解決這個(gè)問題
1. 有序思考（直接數(shù)）；
2. 樹形圖；
3. 標(biāo)記數(shù)；
4. 找規(guī)律（從特殊到一般）；
5. 排列組合；
針對這道題答案并不是最重要的，思考探究的過程對孩子最有幫助。
當(dāng)然到這還沒有結(jié)束，我們試著繼續(xù)思考......
推廣1：3×3的方格，有多少條路？
推廣2：不規(guī)則的方格，有多少條路？
推廣3：立體方格（長方體），有多少條路？
完成一道題目后，先鼓勵(lì)孩子仿照出題，再嘗試讓孩子們來推廣、改編問題，不一定要解答出來。
END
圖文：小修
排版：歪歪
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