本文內(nèi)容選自2021年資陽中考數(shù)學幾何壓軸題。本題等腰直角三角形為背景,考查幾何求值問題。
【中考真題】
(2021·資陽)已知,在中,,.
(1)如圖1,已知點在邊上,,,連結(jié).試探究與的關系;
(2)如圖2,已知點在下方,,,連結(jié).若,,,交于點,求的長;
(3)如圖3,已知點在下方,連結(jié)、、.若,,,,求的值.
【分析】
(1)觀察可以發(fā)現(xiàn)BD與CE既相等又垂直,根據(jù)SAS進行證明全等即可。
(2)本題解法多樣,可以考慮過點A作BC的垂線,進而得到一組蝴蝶型相似。求出各邊長,再設未知數(shù)表示邊長,用相似求解即可。
如上圖,先求出BF與AF的長,然后設BG的長表示AG,然后再用相似求解。
(3)如下圖,補全手拉手模型,構(gòu)造等腰直角三角形ADE,連接EC并延長交BD的延長線于點H。易得CH與BH的長。設BD的長為x,則CE=x,表示出DH和EH,用勾股定理可以得到x的值。
再過點D作DN垂直BC,求出ND與CN的長。
【答案】解:(1),,
,
,,
,
,,
,
且;
(2)延長和交于點,
由(1)知,即,,
而,,
故四邊形為矩形,
而,
故四邊形為正方形,
在中, ,
則,,
在中,,
在中,,
故;
(3)作,使,連結(jié),延長和交于點,連接,
由(1)且,即,
由作圖知,為等腰直角三角形,
設,
在中,,,
則,,
則,,
則,
即,
解得(舍去)或1,
即,
過點作于點,
在中,,,,
則,,
則,
則,
則.
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