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正方形的旋轉(zhuǎn)變換
方法要點(diǎn)
解決與正方形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題目,需要將旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)相結(jié)合,借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知識(shí)尋找解題思路.
典型例題




例題1.如圖,在正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在BC,CD,且∠EAF=45°,將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E',連接EE',則下列判斷不正確的是  (  )
A.AEE'是等腰直角三角形
B.AF垂直平分EE'
C.FE'E=DAF
D.AE'F是等腰三角形
答案:.D [解析] ∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E',∴AE'=AE,E'AE=90°.
AEE'是等腰直角三角形.A正確.
將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E',∴E'AD=BAE.
四邊形ABCD是正方形,∴DAB=90°.
EAF=45°,∴BAE+DAF=45°.
E'AD+DAF=45°.∴E'AF=EAF.
∵AE'=AE,∴AF垂直平分EE'.B正確.∵AF⊥E'E,ADF=90°,∴FE'E+AFD=AFD+DAF.∴FE'E=DAF.C正確.
由已知條件不能推出△AE'F是等腰三角形.D錯(cuò)誤.故選D.





例題2.如圖2,在正方形ABCD,AB=3,點(diǎn)MCD邊上,DM=1,AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對稱,將△ADM繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF,連接EF,則線段EF的長為       (  )
A.3       B.2
       C.
       D.
答案:C 
[解析] 如圖,連接BM.由題意可得△ADM≌△AEM≌△ABF,∴BAF=EAM,AF=AM,AB=AE.∴BAF+BAE=EAM+BAE,即∠EAF=BAM.在△EAF和△BAM,∵AF=AM,EAF=BAM,AE=AB,∴EAF≌△BAM.∴EF=BM.在正方形ABCD,AB=3,∵DM=1,∴CM=3-1=2.RtBCM,BM=
=
=
.∴EF=BM=
.故選C.




例題3.如圖,正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn),而且這兩個(gè)正方形的邊長相等.無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),兩個(gè)正方形重疊部分的面積總等于一個(gè)正方形面積的
.想一想,這是為什么?

     答案:

:在正方形ABCD,OB=OA,AOB=90°,OAE=OBF=45°.
在正方形A1B1C1O,A1OC1=90°,
AOE=BOF.
在△AOE和△BOF,
OAE=OBF,OA=OB,AOE=BOF,
AOE≌△BOF(ASA).
重疊部分的面積等于△AOB的面積.
AOB的面積等于正方形ABCD面積的
,
重疊部分的面積總等于一個(gè)正方形面積的
.




例題4.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個(gè)公共頂點(diǎn)A,點(diǎn)G,E分別在線段AD,AB,若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于90°),連接DG,BE,如圖,在旋轉(zhuǎn)的過程中,你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等?并說明理由.

 答案:[解析] 觀察DG的位置,找包含DG的三角形,只要找到與之全等的三角形,即可找到與DG相等的線段.
:,BE=DG.
理由如下:
四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90°.
BAD-BAG=EAG-BAG,即∠DAG=BAE.
在△BAE和△DAG,
∵AB=AD,BAE=DAG,AE=AG,
BAE≌△DAG(SAS).
∴BE=DG.




例題5.如圖①,四邊形ABCD是正方形,GCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與點(diǎn)C,D不重合),CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.
(1)猜想圖中線段BG和線段DE的數(shù)量關(guān)系及其所在直線的位置關(guān)系;
(2)將圖中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖、如圖的情形.請你通過觀察、測量等方法判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖證明你的判斷.
                              
答案:.[解析] (1)根據(jù)正方形的性質(zhì),顯然△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到△DCE,從而判斷兩條線段之間的關(guān)系;
(2)結(jié)合正方形的性質(zhì),根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE,從而證明結(jié)論.
:(1)BG=DE,BG⊥DE.理由如下:
四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,BCD=ECG=90°.
在△BCG和△DCE,
∵BC=DC,BCG=DCE,CG=CE,
BCG≌△DCE(SAS).
∴BG=DE.
延長BGDE于點(diǎn)H,如圖所示.
BCG≌△DCE,
CBG=CDE.
CBG+BGC=90°,BGC=DGH,
CDE+DGH=90°.
DHG=90°.
∴BH⊥DE,BG⊥DE.
(2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立.
利用題圖證明如下:
四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,BCD=ECG=90°.
BCG=DCE.
BCG≌△DCE.
∴BG=DE,CBG=CDE.
BHC=DHO,CBG+BHC=90°,
CDE+DHO=90°.
DOH=90°.
∴BG⊥DE.




例題6.已知正方形ABCD與正方形CEFG,MAF的中點(diǎn),連接DM,EM.
(1)如圖①,點(diǎn)ECD,點(diǎn)GBC的延長線上,請判斷DM,EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論,不用證明;
(2)如圖②,點(diǎn)EDC的延長線上,點(diǎn)GBC,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論;
(3)將圖中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使D,E,F三點(diǎn)在一條直線上,AB=13,CE=5,請畫出圖形,并直接寫出MF的長.
                                      
答案:
:(1)結(jié)論:DM⊥EM,DM=EM.
證明:如圖①,延長EMAD于點(diǎn)H.
四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形,
ADE=DEF=90°,AD=CD.
∴AD∥EF.
MAH=MFE.
∵AM=FM,AMH=FME,
AMH≌△FME.
∴MH=ME,AH=EF=EC.∴DH=DE.
EDH=90°,
∴DM⊥EM,DM=EM.
(2)仍成立.
證明:如圖②,延長EMDA的延長線于點(diǎn)H.
四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形,
ADE=DEF=90°,AD=CD.
∴AD∥EF.
MAH=MFE.
∵AM=FM,AMH=FME,
AMH≌△FME.
∴MH=ME,AH=EF=EC.
∴DH=DE.
EDH=90°,
∴DM⊥EM,DM=EM.
(3)如圖③,過點(diǎn)MMR⊥DE于點(diǎn)R.
RtCDE,DE=
=12.
可證DM=EM,DM⊥EM.
∵M(jìn)R⊥DE,∴MR=
DE=6,DR=RE=6.
RtFMR,MF=
=
=
.
如圖④,過點(diǎn)MMR⊥DE于點(diǎn)R.
同理,RtMRF,MF=
=
.
故滿足條件的MF的長為
.




例題7.【問題解決】
一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了一個(gè)這樣的問題:如圖①,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度數(shù)嗎?
小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP'A,連接P'P,求出∠APB的度數(shù);
思路二:將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CP'B,連接P'P,求出∠APB的度數(shù).
請你參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.
【類比探究】
如圖②,P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=
,求∠APB的度數(shù).

    答案:

:【問題解決】如選思路一:如圖①,將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP'A,連接P'P.

∵P'B=PB=2,P'BP=90°,
∴P'P=2
,BPP'=45°.
P'A=PC=3,PA=1,∴P'P2+PA2=P'A2.
APP'=90°.∴APB=45°+90°=135°.
【類比探究】如圖②,將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP'A,連接P'P.
∵P'B=PB=1,P'BP=90°,
∴P'P=
,BPP'=45°.
P'A=PC=
,PA=3,
∴PA2+P'P2=9+2=11=P'A2.
APP'=90°.∴APB=90°-45°=45°.
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