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一、角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定

1、定義：如圖2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB這樣，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫作這個(gè)角的角平分線(xiàn)．

2、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理

①如果一條射線(xiàn)是一個(gè)角的平分線(xiàn)，那么它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，

②在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．

3、角平分線(xiàn)的判定定理

①在角的內(nèi)部，如果一條射線(xiàn)的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且把一個(gè)角分成兩個(gè)等角，那么這條射線(xiàn)是這個(gè)角的平分線(xiàn)，

②在角的內(nèi)部，到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上，

二、與角平分線(xiàn)有關(guān)的常用輔助線(xiàn)作法，即角平分線(xiàn)的四大基本模型，

已知P是∠MON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，

1、若PA⊥OM于點(diǎn)A，如圖(a)，可以過(guò)P點(diǎn)作PB⊥ON于點(diǎn)B，則PB=PA.可記為“圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)”．

2、若點(diǎn)A是射線(xiàn)OM上任意一點(diǎn)，如圖(b)，可以在ON上截取OB=OA，連接PB，構(gòu)造△OPB≌△OPA.可記為“圖中有角平分線(xiàn)，可以將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)”．

3、若AP⊥OP于點(diǎn)P，如圖(c)，可以延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造△AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn)，可記為“角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看”．

4、若過(guò)P點(diǎn)作PQ∥ON交OM于點(diǎn)Q，如圖(d)，可以構(gòu)造△POQ是等腰三角形，可記為“角平分線(xiàn) 平行線(xiàn)，等腰三角形必呈現(xiàn)”．

一、連接兩點(diǎn)

二、截取線(xiàn)段（取點(diǎn)）

三、延長(zhǎng)線(xiàn)段

四、作角平分線(xiàn)

已知：如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D，在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE的中點(diǎn)。求證：BD=CE

分析：有中點(diǎn)條件出現(xiàn)，可考慮作平行線(xiàn)(形內(nèi)添輔助線(xiàn))，構(gòu)造全等三角形

方法一：解：過(guò)點(diǎn)D作DG//AC,交BC于點(diǎn)G∴∠DGB=∠ACB（兩直線(xiàn)平行，同位角相等） ∠DGF=∠FCE（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠ACB（等邊對(duì)等角）∴∠B=∠DGB （等量代換）∴BD=DG（等角對(duì)等邊）∵F是DE的中點(diǎn)（已知）∴DF=EF（中點(diǎn)的意義） 在△DFG 和△EFC中

∴△DFG ≌ EFC（A.A.S）∴DG=CE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ∴BD=CE（等量代換）