理論的力量在于其徹底性，對理論最簡潔和透徹的闡述工具是數(shù)學(xué)。本文以最簡單的企業(yè)成長模型為公設(shè)，從一個(gè)基本公式出發(fā)，通過對幾個(gè)估值指標(biāo)間關(guān)系的推算，試圖找到純理論公式與投資原則之間的邏輯關(guān)系。批評請主要針對文中的邏輯錯(cuò)誤。
公式：
公設(shè)：ROE、PB、PE都維持不變，企業(yè)利潤增長僅靠凈資產(chǎn)增加推動，若企業(yè)不分紅，則每年利潤增長ROE%。
理由：企業(yè)增長的核心是將留存的收益再投資實(shí)現(xiàn)復(fù)利增長，從長遠(yuǎn)看超過ROE的利潤增長是不可持續(xù)的，ROE是增長之源，也是增長的極限。
全文公式及推導(dǎo)過程匯總?cè)缦拢?/b>
公式1：
從長期看，對于相同PE的股票，高PB、高ROE的企業(yè)更值得買入，因?yàn)楦逺OE的企業(yè)會享受更快的增長。
啟示1：盡量選擇未來一段時(shí)間能長期維持高ROE的企業(yè)，只要企業(yè)ROE能維持高位，高估值溢價(jià)就是合理的。發(fā)現(xiàn)長期高ROE的企業(yè)是價(jià)值投資的精髓。
復(fù)利思維：ROE是復(fù)利的核心，只有靠ROE推高凈資產(chǎn)的內(nèi)生式增長才是真正的可持續(xù)增長；沒有高ROE的外延式增長從長遠(yuǎn)看不會持久。
公式2：
從短期看，高ROE可以被高PB攤薄，所以即使是ROE高達(dá)30%的股票，若是PB高達(dá)10，則每年為股東創(chuàng)造的收益只有3%。
啟示2：選擇高ROE、高PB(低PE)的企業(yè)，意味著放棄眼前的利益，去博取企業(yè)高ROE帶來的成長性，前提是企業(yè)的高ROE真的可持續(xù)。
逆向思維：企業(yè)提高ROE的增長才是真正的增長，不過ROE的提高存在一個(gè)天花板。壞企業(yè)可以通過提高ROE變成好企業(yè)，好企業(yè)卻只有用ROE推高凈資產(chǎn)的方式增長。若企業(yè)的高ROE不可持續(xù)，反倒不如選擇ROE稍低、PB更低(低PE)的股票(如當(dāng)下破凈的銀行股)。
公式3：
所謂PEG，是用市盈率PE除以利潤增長率G，此處仍假設(shè)企業(yè)利潤增長僅靠凈資產(chǎn)增加推動，則每年企業(yè)利潤增長G=ROE。通常PEG=1時(shí)，表示股票的估值剛好反映其未來業(yè)績的成長性；PEG>1時(shí)股票高估，PEG<>
啟示3：企業(yè)的合理PE=ROE，這意味著企業(yè)有多高的ROE，則享受多高的PE。再進(jìn)一步可得出，企業(yè)的股價(jià)與企業(yè)未來ROE的平方成正比。
動態(tài)思維：企業(yè)ROE的變化將從利潤和估值兩個(gè)維度影響股價(jià)，這就是我們常說的“戴維斯雙擊/雙殺”。比較而言，ROE恒定時(shí)，股價(jià)是長期穩(wěn)定加速的指數(shù)增長，其中的關(guān)鍵是時(shí)間；ROE變化時(shí)，股價(jià)是短期劇烈的大幅波動，其中的關(guān)鍵是變化。
公式4：
由此可得出PB和股息率的大小如何影響投資收益率：
啟示4：分紅是將凈資產(chǎn)以PB=1的價(jià)格分配給投資者，不會考慮市場給企業(yè)PB的溢價(jià)或折價(jià)，所以，PB>1時(shí)股價(jià)高于凈資產(chǎn)，分紅無法全額買回減少的凈資產(chǎn)；相反，PB<>
套利思維：溢價(jià)時(shí)分紅投資者損失；折價(jià)時(shí)分紅投資者受益。此外，分紅還自帶“馬太效應(yīng)”，當(dāng)PB=1時(shí)，分紅不改變PB；當(dāng)PB>1時(shí)，分紅增大PB；當(dāng)PB<>
公式5：
公式5的潛臺詞是ROE決定PB，ROE=10%剛好對應(yīng)PB=1，與公式4的結(jié)果一致。由PEG=1的假設(shè)，可推導(dǎo)出ROE超過10%創(chuàng)造價(jià)值，不分紅有利，ROE低于10%毀滅價(jià)值，分紅有利。
啟示5：對企業(yè)來講，ROE恒定時(shí)，分紅和凈利潤增長是一個(gè)此消彼長的關(guān)系，簡單點(diǎn)說，若企業(yè)將年利潤全部分紅，次年的凈利潤增長只有提高ROE一條路。由ROE=凈利潤/凈資產(chǎn),若企業(yè)永不分紅，則每年凈資產(chǎn)增長ROE%，則次年利潤必須也要增長ROE%，才能維持ROE不變。在PB>1時(shí)，若企業(yè)能維持高ROE，則最佳策略是不分紅，持續(xù)將利潤再投資，此時(shí)可完全實(shí)現(xiàn)ROE%的利潤增長。但實(shí)際上，任何行業(yè)在逼近天花板后，超高ROE都是不可持續(xù)的。
舍得思維：若利潤不能持續(xù)做大，唯一可行的辦法就是減小凈資產(chǎn)。通過加大現(xiàn)金分紅，將企業(yè)運(yùn)營不需要的現(xiàn)金分給股東(或回購股票)。分紅最重要的是使企業(yè)最高效地使用資金，占用最少凈資產(chǎn)的利潤增長才是最好的增長方式。
關(guān)于分紅：
大家對分紅問題爭議甚多、分歧巨大，主要原因是正反雙方不在一個(gè)維度上討論問題。個(gè)人覺得至少應(yīng)該區(qū)分4個(gè)維度具體分析，詳見下表：
1.理論上，只要看公式4：年化投資回報(bào)率=ROE+(1-PB)×股息率，就能得出理論上的最優(yōu)解。
2.實(shí)際上，最優(yōu)方案是企業(yè)要考慮：①分紅對未來ROE的影響，②ROE變化對企業(yè)估值PB的影響，將變化后的ROE和PB代入公式4，可求得對股東利益最大化的最優(yōu)股息率【個(gè)人覺得此標(biāo)準(zhǔn)對企業(yè)經(jīng)營者過于苛刻】。
3.實(shí)踐中，企業(yè)經(jīng)營者應(yīng)根據(jù)經(jīng)營情況決定是否分紅，簡單說就是保證企業(yè)長期ROE的最大化【能以此為目標(biāo)決定分紅率，即可認(rèn)定為優(yōu)秀的企業(yè)經(jīng)營者】。
4.現(xiàn)實(shí)中，企業(yè)經(jīng)營者(或大股東)與小股東在利益上經(jīng)常是不一致的。企業(yè)經(jīng)營者往往會因盲目擴(kuò)張沖動、或占有支配小股東資產(chǎn)的欲望，而扭曲自己的行為方式。
5.潛規(guī)則，當(dāng)前許多企業(yè)的分紅，更多的是向證監(jiān)會和市場遞交的“投名狀”。招搖撞騙型企業(yè)分紅是為了能夠繼續(xù)行騙；急于套現(xiàn)型企業(yè)分紅是為了坐高股價(jià)減持；資金饑渴型企業(yè)分紅是為了融入更多資金。更復(fù)雜的是，真正優(yōu)秀和假裝優(yōu)秀的企業(yè)都會以成長為理由不分紅，如何分辨至關(guān)重要。
免責(zé)聲明：
①本文試圖以簡單的公設(shè)出發(fā)，印證常見的投資原則，故借用牛頓經(jīng)典命名《投資哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。受能力所限簡化處理，批評時(shí)請勿拿現(xiàn)實(shí)標(biāo)準(zhǔn)生搬硬套。
②全文未考慮折現(xiàn)率的動態(tài)變化。文中以PEG=1，ROE=10%推導(dǎo)所得公式，可視為包含折現(xiàn)率的公式在折現(xiàn)率為10%時(shí)的簡化。
③ROE本身是百分?jǐn)?shù)，為表述直觀，文中有時(shí)用ROE%，其中包含百倍乘數(shù)。
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