所謂分類討論，就是當題目所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每個類別級別進行研究，得出每一類的結(jié)論，最后將各類結(jié)果進行綜合，得到整個問題的解答。

分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法，其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。

分類討論，是一種重要的數(shù)學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略。在高中數(shù)學中，分類討論時非常重要的一種解題思路，每次高考的數(shù)學試卷中，必然會有需要用到這種思想方法的題目。

一、分類討論的要求及其意義

1、分類討論的要求：

首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

2、分類討論的因素：

(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等。

(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項和公式等。

(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等。

(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等。

(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等。

二、分類討論思想的原則

為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則進行，在中學階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則：

(1) 同一性原則：分類應(yīng)按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)。

(2) 互斥性原則：分類后的每個子項應(yīng)當互不相容，即做到各個子項相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

(3) 相稱性原則：分類應(yīng)當相稱，即劃分后子項外延的總和（并集），應(yīng)當與母項的外延相等。

(4) 層次性原則：分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止。

三、分類討論思想的應(yīng)用與例題詳解

（一）分類討論思想在集合中的應(yīng)用

在集合運算中常常需要結(jié)合元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系分類討論，尤其是對一些含參數(shù)的集合問題，常需要進行分類討論求解。

（二）分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

1. 用分段函數(shù)來分類討論

2．函數(shù)中含參數(shù)的分類討論

（三）分類討論思想在不等式中的應(yīng)用

1．涉及運算要求的分類討論

我們在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個式子來進行解題和運算，很多變形和運算是受條件限制的，如解不等式當兩邊同時乘（除）以一個代數(shù)式時，要考慮代數(shù)式的值是否為負；解無理不等式時，去掉根號要考慮兩邊是否都大于0等等。

2．含參數(shù)不等式的分類討論

（四）分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用

分類討論思想在排列組合中也常見，尤其是解含有約束條件的排列組合問題時，運用分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題化為簡單的問題。

（五） 分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

在有些數(shù)列問題中存在不確定的因素，如等比數(shù)列的公比q 是否為1；數(shù)列的項的個數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等，就那樣的數(shù)列問題，我們要進行分類討論。

（六） 分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用

（七）分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用

點，線，面是組成幾何圖形的三個要素，有些立體幾何題中，這三者的位置關(guān)系是不確定的，因此要對每種情況進行分類討論求解，這樣防止漏解。下面一題是涉及點與線的位置關(guān)系不確定的分類討論。

四、避免和簡化分類討論

分類討論時一種重要的解題策略，但它不是萬能的。對于分類討論的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認真審查題目的特點，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡化分類討論過程，從而提高分類討論的效果。

(1) 通過逆向思維避免分類討論

當問題不易直接求解時，可考慮它的反面，通過對其反面情況的分析研究，使問題得到解決。

(2) 有的討論題，若用化參數(shù)為函數(shù)的方法求解，則可簡化討論。