倪紅升
數(shù)字是人類生活的工具,但我國的數(shù)學教學特別是高中數(shù)學教學仍未真正跳出應試教育的模式,教學中,重“知識”輕“能力”, 重“考試”輕“實踐應用”. 新課程標準倡導發(fā)展學生的應用意識,強調(diào)自主探索、合作學習,力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用,數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系,把研究性學習又提到了新的高度. 為此我和本校的教師一起承擔了寧波市基礎教學研究立項課題———在生活中“尋找”數(shù)學. 在本課題的實施過程中發(fā)現(xiàn):現(xiàn)代學生數(shù)學實踐的應用意識,應用能力,應用現(xiàn)狀相當薄弱,特別是如何從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題并歸結(jié)為數(shù)學模型,即在研究性學習中如何選題,如何提出問題方面尤為薄弱. 在實施課題中,我們通過問卷調(diào)查,交流對話,開設講座,系列板報,網(wǎng)絡查尋,閱讀自學,合作交流,自主探索,動手實踐,知識競賽,數(shù)學建摸等各種生活中“尋找”數(shù)學的活動,發(fā)展學生的數(shù)學應用意識,體會數(shù)學的應用價值,逐步幫助學生認識到:數(shù)學與我有關, 與實際生活有關,數(shù)學是有用的,我要用數(shù)學,我能用數(shù)學. 發(fā)現(xiàn)了大量數(shù)學應用的事例,開闊了學生的視野. 為新課程高中數(shù)學研究性學習如何選題,提供了大量的素材,現(xiàn)將“尋找”數(shù)學的結(jié)果整理如下.
1 高中數(shù)學研究性學習課題的類型及來源
1．1 社會生活實踐方面
(1) 我們喝易拉罐的時候 , 有沒有想過怎樣制作,容積大且用料省,根據(jù)你的研究,可以向易拉罐生產(chǎn)廠提何建議 ?類似的有無蓋盒子的最大容積問題:用一張邊長為 a的正方形鐵皮,如何制作一個無蓋長方體盒子,使其容積最大 ?
(2) 當你在陽臺曬太陽時有沒有想到商品房樓高,樓間距與光照的關系,能用數(shù)學和地理知識推導出公式來表示嗎 ?從而得出對 n 層商品房而言后排一層,二層的陽臺要照到太陽,陽臺到前排樓房最小距離嗎 ?
(3) 在開、關窗戶時 ,想過窗戶的面積與采光量的問題嗎 ?烈日下,你想過遮陽棚搭建方式與遮擋太陽光線的效果有關嗎 ?糖水中為什么糖放的越多糖水就越甜 ?能用數(shù)學知識解釋嗎 ?
(4) 我們早晨起床刷牙用的牙膏的包裝有大有小. 其價格也不相同,你想過大小包裝與其價格之間的關系嗎 ?除了牙膏以外,其它商品都有大小包裝之分,如餅干、瓜子、食油等等. 你吃東西時,想過營養(yǎng)成份的搭配嗎 ?它們都與數(shù)學有關系.
(5) 現(xiàn)在很多人家都安裝了太陽能熱水器 , 請你用所學的數(shù)學等知識說明在各個不同季節(jié),熱水器太陽能接受器安放的傾斜角多大時,可使正午時陽光直射熱水器,從而取得最大熱效率. 根據(jù)你的研究,你可以向熱水器生產(chǎn)廠提何建議 ?
(6) 洗衣服是我們生活中最平常不過的事情 ,但從中可得出一個研究性課題. 探討全自動洗衣機在洗衣時用水設計中的數(shù)學原理: ①為什么設計成等量注水 ?②分 3 次注水的合理性是什么 ?
(7) 在公路的一側(cè)從 A 至 B 有一排樓房 , 想在公路 L 上的任何一處拍一張正面照,如何選擇公路上的點,使拍攝的一排樓房的取景最大 ?(點 A 與點B 與直線 L 的各種位置關系討論. )
(8) 調(diào)查電 , 煤氣 , 煤的價格 , 使用電和煤氣 ,煤,到底哪個更合算 ?
(9) 十字路口交通流量與紅綠燈時間設置關系,根據(jù)你的調(diào)查向公路交通部門提合理化建議.
(10) 正弦、余弦定理在日常生活中的應用 , 如小河對岸兩點間長度, 樓房, 電視塔等高度測量問題.
(11) 衣服的價格、質(zhì)地、品牌 , 左右消費者觀念多少 ?
(12) 日常生活中的悖論問題.
(13) 水庫的來水量如何計算 , 統(tǒng)計本地區(qū)的月降水量。
(14) 調(diào)查各鎮(zhèn)中學生生活學習情況 , 向?qū)W校等教育部門提合理化建議.
(15) 調(diào)查城鎮(zhèn) / 農(nóng)村消費、飲食構(gòu)成及優(yōu)化設計.
(16) 出租車車費的合理定價.
(17) 數(shù)學中的最優(yōu)化問題應用.
(18) 黃金數(shù)的廣泛應用.
(19) 氣象學中的數(shù)學應用問題.
(20) 教育儲蓄與教育保險比較.
1．2 體育活動方面
(1) 姚明在 NBA 的投藍命中較高 ,為什么跳得越高投籃就越準,怎樣用數(shù)學知識來解釋.
(2) 足球運動員在射門時 ,面對對方守門員 , 射門時的角度、球速與守門員撲球時的移動速度有何關系,怎樣能將球射入球門 ?足球運動員在何處射門最好(不考慮其它因素) ?類似問題有燈的位置與照明度的關系,上課時,坐在什么位置才能最清楚的看到黑板的問題.
(3) 推鉛球 ,扔實心球 ,拋壘球時什么樣的角度出手最好,用數(shù)學知識來驗證.
1．3 商業(yè)經(jīng)濟問題
(1) 轎車已進入很多家庭 , 調(diào)查各種家用轎車價格,養(yǎng)路費,保險費,燃料費,維修費等費用,計算轎車的最佳使用年限,及在家庭開支中的比例,如何優(yōu)化家庭消費結(jié)構(gòu).
(2) 調(diào)查報亭賣報情況(進價、售價及賣不出去而退回每份報紙賠錢多少) 統(tǒng)計一個月的銷售情況,為報亭主人決策,使之收益最大.
(3) 調(diào)查保險公司養(yǎng)老保險險種及分紅方法 ,某人在 40 歲時參加保險,或?qū)槐ｎ~逐年存入銀行,假設此人預期壽命為 75 歲,請你對這兩種投資方式進行比較,確定此人是投保收益大,還是存銀行收益大.
(4) 購房貸款決策問題. ( 通過調(diào)查銀行利率 ,利稅及房價決定哪種方式購房劃算.)
(5) 調(diào)查附近工廠或商店進貨,生產(chǎn),銷售情況,運用線性規(guī)劃知識進行合理調(diào)派,使之利潤最大化?
(6) 投資人壽保險和設資銀行的分析比較
(7) 通訊網(wǎng)絡收費調(diào)查統(tǒng)計 , 選擇什么手機服務會更合適 ?家里使用市內(nèi)電話,小靈通選擇什么服務最省錢,設計一個方案.
(8) 證券投資中的數(shù)學.
(9) 用數(shù)學眼光看“養(yǎng)老金”問題.
(10) 中國體育彩票 ,電腦福利彩票中的數(shù)學問題.
(11) 如何合理抽稅.
(12) 環(huán)境規(guī)劃與數(shù)學.
(13) 調(diào)查某種商品的銷量與它的利潤的關系 ,并決策如何可使其獲利最大 ?
(14) 銀行存款利息和利稅的調(diào)查 , 怎樣存款能獲利最多.
1．4 函數(shù)建模方面問題
一個例子:某工廠今年 1 月、2 月、3 月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為 1 萬件,1.2 萬件,1.3 萬件,為估測以后每月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 y 與月份 x 的關系,模擬函數(shù)選用二次函數(shù)或函數(shù)(其中a, b, c 為常數(shù)) ,已知 4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 1. 37 萬件,請問:用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好,說明理由 ?
(1) 調(diào)查當?shù)馗孛娣e的變化情況 , 預測今后的耕地面積.
(2) 以本班期中考試的數(shù)學和物理成績?yōu)闃颖?/span>,研究同學們物理成績與數(shù)學成績間是否存在一定的關系,并用我們學過的函數(shù)進行擬合.
(3) 對當?shù)鼗驀医陙砣丝谠鲩L的情況調(diào)查,預測今后人口數(shù)量,給政府提出幾點建議.
(4) 建立“肯德基”(或其它) 商標的函數(shù)關系式(可用分段函數(shù)表示) .
(5) 氣象學中的數(shù)學問題 (溫度、濕度、空氣污染指數(shù)、臭氧層的變化) .
(6) 驗證物體在常溫下溫度變化的冷卻模型 ，( 其中θ1 為物體的初始溫度 ,θ0是環(huán)境溫度,θ為時間t 后物體的溫度,其中 k為正的常數(shù)) . 再探索以下問題: ①一杯開水冷卻到常溫大約需要的時間 ?②冰箱里的肉拿出來解凍要多少時間 ?③在寒冷的冬季,是冷水容易結(jié)冰,還是熱水容易結(jié)冰 ?
1．5 深入研究教材 ,從教材中取得課題 (1) 人教社最新出版的教材中幾乎在每一章節(jié)后都安排了閱讀材料或?qū)嵙曌鳂I(yè)或研究性課題,其中閱讀材料往往是對本章知識的產(chǎn)生和發(fā)展作簡要的介紹,可以要求學生通過網(wǎng)絡、圖書館、專家訪談等方式,收集資料,作出一個詳細的報告;實習作業(yè)往往給一種思路,要求同學根據(jù)這個思路,自己提出一個問題,設計解決方案,調(diào)查收集數(shù)據(jù),分析解決問題;而研究性課題給出了研究內(nèi)容,要求學生展開研究并得出結(jié)論. 這些都是開展研究性學習的很好的內(nèi)容. (2) 從拓寬知識面選擇內(nèi)容 : ( a) 函數(shù) f ( x) = ax + b/x ( a, b為待定常數(shù)) 的性質(zhì)研究. (可利用幾何畫板結(jié)合研究.) ( b) 斐波那契數(shù)列研究 ( 從免子的繁殖等實際問題建立遞推數(shù)列問題) ,通過對遞推數(shù)列的相關知識進行研究性學習,不僅可以鞏固等差等比數(shù)列的相關知識,更能學會變換、轉(zhuǎn)化等思想方式,培養(yǎng)創(chuàng)新思維和能力. ( c) 研究等“和”數(shù)列與等“積”數(shù)列 (其定義與等差、等比數(shù)列類似) 的通項與性質(zhì). ( d) 課本定義球面距離為“:在球面上, 兩點間的最短距離,就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度, 我們把這個弧長叫做這兩點的球面距離.”兩點的球面距離為何最短,教材并沒有說明,這一問題也是進行研究性學習可選擇的較好內(nèi)容. (3) 從平時習題 ,例題 ,及高考試題的推廣和變式選擇內(nèi)容. ( a) (2001 年全國高考試題改編) 設 f ( x) 是定義在 R上的偶函數(shù),其圖象關于直線 x = 1 對稱,證明 f ( x) 是周期函數(shù). 讓學生進行多方面的研究來發(fā)現(xiàn)抽象函數(shù)周期性,奇偶性,對稱性之間的關系. ( b) 在學完圓錐曲線這一章后 , 可提出研究性課題“:拋物線的焦點弦的性質(zhì)研究”和“圓錐曲線的焦點弦的性質(zhì)研究”. 1．6 其他方面 (1) 向量在物理中的應用. (2) 地理中的大氣環(huán)流 ,風向中的數(shù)學知識. (3) 圓錐曲線光學性質(zhì). (4) 多媒體輔助教學在數(shù)學教學中的作用調(diào)查. (5) 編程中的優(yōu)化算法問題. (6) 利用“幾何畫板”對函數(shù)的性質(zhì)的研究. (7) 用“幾何畫板”研究最值問題. (8) 用“幾何畫板”研究動點的軌跡問題. (9) 編程解一元二次方程. (10) 數(shù)學對計算機發(fā)展的貢獻. (11) 對我們學習數(shù)學有幫助的電腦軟件及其特點. (12) 制作較為復雜的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表格與分析軟件. (13)“開放型題”及其思維對策. (14) 直角三角形在實際中的應用. (15) 天氣預報、臺風警報、空氣質(zhì)量狀況預報的數(shù)學知識. (16) 多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn). (17) 編程關于組合購房貸款等額還款計算. (18) 數(shù)學的發(fā)展歷史. (19) 關于數(shù)學知識在物理上的應用探索. (20) 零件供應站(最省問題) . 設在一條流水線上有 5 臺機器工作,我們要在流水線上設立一個檢驗站,經(jīng)檢驗合格后才能進行下一道工序,若 5 臺機器的工作效率相同,問檢驗臺放在何處可使移動零件所走的距離之和最小 ?(所花的總費用最省) 如果是 n臺呢 ?(可以用平面幾何知識,也可以建立函數(shù)關系式,作出圖象討論得出) 若5 臺機器的效率不同又如何呢 ? (21) 高中數(shù)學的學習活動 ———解題后的反思———開發(fā)解題智慧. (22) 如何計算一份試卷的難度與區(qū)分度. 2 高中數(shù)學研究性課題選題的原則 (1) 問題性原則 ,問題是科學思維的起點 , 通過數(shù)學建?；顒右龑W生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題,并歸結(jié)為數(shù)學問題,嘗試用數(shù)學知識和方法去解決問題. (2) 價值性原則 , 價值性主要表現(xiàn)為它的科學性、需要性和創(chuàng)造性,能否促進學生數(shù)學應用能力的發(fā)展和提高. (3) 可操作性原則 , 選擇的課題要適合中學生的知識水平和能力及相關物質(zhì)條件.從科學研究的意義上講,發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要,它是學得真知的關鍵一步,一個人在學習的過程中,假如提不出問題,那么就很難想像他真正地學到了什么. 生活中處處留心皆數(shù)學,關鍵是我們怎么去發(fā)現(xiàn)它,讓我們發(fā)現(xiàn)并研究這些數(shù)學問題吧 !相信你會其樂無窮. 參考文獻 1 蘭永勝主編. 數(shù)學思想方法與建模技巧. 青島 :青島海洋大學出版社 2 戴再平主編. 高中數(shù)學開放題集. 3 秋森著. 數(shù)學問題與模式探求. 上海 :華東理工大學出版
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