Time is not composed of indivisible nows any more than any other magnitude is composed of indivisibles.
—— Aristotle. Physics VI. Part 9 verse: 239b5
一個(gè)人和一個(gè)烏龜賽跑，人的速度是烏龜?shù)?0倍，但是由于烏龜跑得慢，所以讓烏龜在他前面100米處，然后人和烏龜同時(shí)開(kāi)跑。
請(qǐng)問(wèn)人能追上烏龜么？
這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)這樣的情景：當(dāng)人向前跑了100米時(shí)，人到達(dá)了烏龜原來(lái)所在的位置，然而烏龜已經(jīng)爬出去了10米，烏龜還在人的前面；當(dāng)人又繼續(xù)向前跑了10米時(shí)，又到達(dá)了烏龜所在的位置，而這時(shí)烏龜又向前爬了1米，烏龜還是在人的前面！而這樣的過(guò)程可以無(wú)止境地進(jìn)行下去，這樣一來(lái)，這個(gè)人就永遠(yuǎn)也無(wú)法追上這只烏龜了！
此時(shí)此刻，即使刷過(guò)再多的題目，內(nèi)心也是蒼白無(wú)力的。這個(gè)問(wèn)題怎么解釋給小學(xué)生聽(tīng)呢？【請(qǐng)翻至文末參與討論】
在《生活大爆炸》的衍生劇《小謝爾頓》里我們的天才科學(xué)家9歲就上了高中，就此展開(kāi)了一系列別人家的孩子秀智商、斗社會(huì)的故事。老實(shí)說(shuō)，像小謝耳朵這樣高智商的孩子，注定在大部分時(shí)候都是高處不勝寒，而且往往這樣的孩子還不一定能獲得和他的能力或智力相匹配的教育資源。
天才兒童的高智商其實(shí)不一定體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)上，而更多地是體現(xiàn)在思維方式和理解能力上。如果僅僅是以普通學(xué)校的普通課程去對(duì)他們進(jìn)行教學(xué)，很有可能會(huì)磨滅他們對(duì)自己特長(zhǎng)學(xué)科的熱情。在這點(diǎn)上國(guó)外不少機(jī)構(gòu)做了很多嘗試，比如美國(guó)有著名的三大天才青少年培養(yǎng)項(xiàng)目（約翰霍普金斯大學(xué)的CTY，西北大學(xué)的CTD和杜克大學(xué)的TIP），還有很多STEM學(xué)科類(lèi)的夏令營(yíng)會(huì)特地請(qǐng)來(lái)美國(guó)名校的大學(xué)教授來(lái)給孩子們上課。
在美國(guó)的一些數(shù)學(xué)營(yíng)里，老師往往會(huì)先教一個(gè)基本的定理，然后引導(dǎo)學(xué)生們自己去設(shè)計(jì)求證。這樣的好處是讓學(xué)生擺脫通過(guò)刷題知道如何使用定理，而是真正理解定理背后的邏輯。而像美國(guó)著名的天才數(shù)學(xué)訓(xùn)練營(yíng)Epsilon Camp這樣的營(yíng)都會(huì)找來(lái)專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)家或者名校教授來(lái)給孩子們上課，連輔導(dǎo)員都是來(lái)自像MIT、耶魯、西北大學(xué)這樣的名校本科生、甚至是博士生。
最近我們聽(tīng)說(shuō)美國(guó)著名的天才數(shù)學(xué)夏令營(yíng)Epsilon Camp今年要在國(guó)內(nèi)第一次開(kāi)營(yíng)，所以特地跟Epsilon國(guó)內(nèi)招生負(fù)責(zé)人進(jìn)行了一次訪(fǎng)談。今天我們就帶大家一窺這個(gè)美國(guó)著名的天才數(shù)學(xué)兒童夏令營(yíng)。
Epsilon Camp簡(jiǎn)介
由數(shù)學(xué)家和教育專(zhuān)家創(chuàng)辦于2012年，Epsilon Camp旨在為7-11歲具有數(shù)學(xué)天賦的青少年和家長(zhǎng)打造專(zhuān)業(yè)的成長(zhǎng)環(huán)境。該營(yíng)已在美國(guó)成功舉辦6年，挖掘出不少在數(shù)學(xué)方面有天賦的孩子。今年將是Epsilon第一次在中國(guó)開(kāi)營(yíng)。
進(jìn)入Epsilon訓(xùn)練營(yíng)的孩子需經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)測(cè)試，通過(guò)測(cè)試的孩子將由家長(zhǎng)陪伴在寄宿學(xué)院進(jìn)行兩周的封閉學(xué)習(xí)。課程教授導(dǎo)師主要由美國(guó)大學(xué)教授、全美數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)老師、及數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的博士或博士后教師組成。小班教學(xué)，10-15人，每班配有全程輔導(dǎo)老師; 全程輔導(dǎo)老師將由數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)博士生及高年級(jí)學(xué)生擔(dān)任。
2018 Epsilon 中國(guó)營(yíng)教師團(tuán)隊(duì)介紹
Reiter教授是夏洛特市北卡羅來(lái)納大學(xué)夏洛特分校的數(shù)學(xué)教授。在30多年的時(shí)間里，他為各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ，包括美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（AMC)和中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（MATHCOUNTS)，設(shè)計(jì)了許多題目。他曾擔(dān)任過(guò)AMC委員會(huì)的主席，還是中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（MATHCOUNTS)的評(píng)委。
Goodman-Strauss是一名數(shù)學(xué)家。他與普林斯頓大學(xué)的Conway教授共同著有《The Symmetries of Things》一書(shū)。同時(shí)他也是阿肯色大學(xué)的教員。
Thomas博士是一名獨(dú)立的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)訓(xùn)練營(yíng)中有極為豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了大批數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生。他創(chuàng)建了加拿大/美國(guó) 數(shù)學(xué)訓(xùn)練營(yíng)（Mathcamp）、數(shù)學(xué)之路（Mathpath) 和Epsilon訓(xùn)練營(yíng) （Epsilon Camp)。托馬斯的研究涵蓋了半群和極值圖論，并在分析數(shù)論中進(jìn)行了嘗試。
Lora是美國(guó)加州希爾斯博勒市努埃瓦學(xué)校一至四年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)家，專(zhuān)門(mén)服務(wù)于天才學(xué)生。她同時(shí)兼任朱利亞羅賓遜數(shù)學(xué)節(jié)理事。她最近贏得約翰霍普金斯天才青年中心的國(guó)家教學(xué)獎(jiǎng)薩拉· D ·巴得獎(jiǎng)學(xué)金。她在服務(wù)天賦社區(qū)的需求方面有著長(zhǎng)期和豐富的經(jīng)驗(yàn)。
Shubin是San Jose State University的數(shù)學(xué)系教授。2012年她發(fā)動(dòng)了一個(gè)印第安人數(shù)學(xué)圈的項(xiàng)目 - Navajo Nation Math Circle，這個(gè)項(xiàng)目已被拍成了紀(jì)錄片。
Epsilon Camp 課程
課程將根據(jù)營(yíng)員的年齡分組：
1. 7-8歲：畢達(dá)哥拉斯LEVEL
這一年齡段的課程背景要求比較低，但仍然會(huì)向?qū)W生們介紹廣泛和深度數(shù)學(xué)想法, 包括:
數(shù)字理論: 質(zhì)數(shù)、可除性、在不同的基礎(chǔ)上的算術(shù)，等等。
計(jì)算數(shù)學(xué): 形數(shù)的遞歸、斐波那數(shù)、概括和二進(jìn)制信息編碼的遞歸。
幾何形狀: 多邊形角度、平面傾斜、多面體和不規(guī)則形。
計(jì)數(shù): 排列和組合，Pascal的三角形，包括排斥，和其他計(jì)數(shù)方法。
2. 9-11歲：按照難易程度分為3個(gè)級(jí)別
A. 初級(jí) - 歐幾里得LEVEL
歐幾里德幾何元素：通過(guò)使用尺子和指南針將幾何學(xué)與物理聯(lián)系起來(lái)。通過(guò)遵循元素給出的公理和命題的結(jié)構(gòu)，我們可以看到一個(gè)復(fù)雜的行為世界是如何通過(guò)一個(gè)非常簡(jiǎn)單的規(guī)則集合(公理)來(lái)理解和探索的。這個(gè)想法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心。
數(shù)字系統(tǒng)：我們考慮在不同的奇異基中(如3/2、-4和斐波那奇)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的表示，以及由此產(chǎn)生的算術(shù)，以及可除性屬性、分?jǐn)?shù)和模組算術(shù)。
數(shù)學(xué)邏輯和證據(jù)：由三個(gè)經(jīng)典邏輯思維法則(identity、non-contradiction和 excluded middle)開(kāi)始, 從命題演算和演繹推理法, 到直接證據(jù)法, 間接證據(jù)法, 良序原則,皮亞諾的第五個(gè)公理, 數(shù)學(xué)歸納法的基本定理(FTMI)、良序的等價(jià)和FTMI, 及各種證明方法。
B. 中級(jí) - 高斯 LEVEL
數(shù)學(xué)運(yùn)算：這門(mén)課是計(jì)算機(jī)科學(xué)中程序運(yùn)算的中心思想和導(dǎo)論。我們把自己當(dāng)成離線(xiàn)的計(jì)算機(jī), 按照計(jì)算機(jī)程序的步驟解決問(wèn)題, 并驗(yàn)證解決問(wèn)題的正確性和有效性。
數(shù)學(xué)函數(shù)和集：本課程使用nave集合理論，闡述有序?qū)?、關(guān)聯(lián)和函數(shù)的概念和性質(zhì)。也包括:數(shù)字，基數(shù)，和序數(shù); 羅素悖論;選擇公理和公理集合論的公理。它的結(jié)論是由cantor-bernstein-bernstein定理得出的。
C. 高級(jí) - 康威 LEVEL
Epsilon為營(yíng)員開(kāi)設(shè)與高級(jí)數(shù)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)的課程，如GROUP理論、KNOT理論、拓?fù)鋵W(xué)和有限幾何。最后的課題由當(dāng)年教師的專(zhuān)長(zhǎng)所決定。
Epsilon Camp 父母課程
Epsilon與其他數(shù)學(xué)營(yíng)的不同之處在于，它還會(huì)邀請(qǐng)父母一起參與討論對(duì)天才兒童的培養(yǎng)。父母需要同時(shí)入駐營(yíng)地。每天營(yíng)地會(huì)組織上午和下午的研討會(huì)，將有包括了Epsilon營(yíng)地的教員在內(nèi)的一系列演講，讓家長(zhǎng)們得以一瞥夏令營(yíng)的全部課程。其他的主題包括教育計(jì)劃的選擇和策略，對(duì)適合父母上的課程的建議等。
Epsilon Camp 課外活動(dòng)
除了有趣的數(shù)學(xué)訓(xùn)練外，營(yíng)員們還會(huì)參加一些戶(hù)外活動(dòng)，如國(guó)際象棋，足球，城市觀光游覽等。由于此次2018中國(guó)營(yíng)將在西安舉辦，營(yíng)地還會(huì)安排參觀西安的一系列古跡。到時(shí)候用英文給你的美國(guó)同學(xué)介紹一下中國(guó)的悠久歷史吧~
Epsilon Camp 2018 中國(guó)
時(shí)間：2018年8月1日至8月14日
地點(diǎn)：西安
教學(xué)語(yǔ)言：英語(yǔ)（今年?duì)I地也會(huì)為中國(guó)孩子配備中文輔導(dǎo)）
年齡：7-11歲
如何申請(qǐng)
營(yíng)員將需要通過(guò)一定的數(shù)學(xué)測(cè)試：
1. 代數(shù)測(cè)試(9歲+) / 基礎(chǔ)測(cè)試(7-8歲)
2. 數(shù)學(xué)解題能力測(cè)試(9+ 和7-8歲各一份)
3. 一封學(xué)生數(shù)學(xué)教授或老師的推薦信
4. 一篇學(xué)生自寫(xiě)的短文陳述對(duì)數(shù)學(xué)的看法，可列舉看過(guò)的數(shù)學(xué)書(shū)籍、參加過(guò)的數(shù)學(xué)活動(dòng)或游戲等，還有他們?cè)跇I(yè)余時(shí)間如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
5. 一封對(duì)學(xué)生品行、社交及獨(dú)立生活能力的推薦信(非學(xué)生家長(zhǎng)或親屬)
6. 一份家長(zhǎng)或監(jiān)護(hù)人的網(wǎng)上（Email）問(wèn)卷
歡迎掃描下方的二維碼添加“雞娃快跑”并注明“Epsilon”，加入2018Epsilon討論群，屆時(shí)負(fù)責(zé)該營(yíng)的招生老師也會(huì)入群回答大家的疑問(wèn)。
往期評(píng)論 在訓(xùn)練營(yíng), 我的孩子遇到很多志同道合的小伙伴們, 一起分享, 交流, 并互相欣賞他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣愛(ài)好。 我很感激父母本身的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)被整合到父母項(xiàng)目中。這樣父母就能彼此分享他們的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。我真的很珍惜今年我從別人那里學(xué)到的東西……教授講話(huà)，家長(zhǎng)討論，外部專(zhuān)家，等等。我從不后悔參加任何一個(gè)討論會(huì)。 - Chris L. (Lakewood, OH, USA) 我們的期望和好奇心都很高，但都完美實(shí)現(xiàn)甚至超過(guò)預(yù)期了。孩子們，父母?jìng)儯瑢嬍疑?，校園……所有的人都融合在一起創(chuàng)造了一種偉大的體驗(yàn)。 - Jeff H., Davie, FL 作為Epsilon家族第一年的成員，我們真的不知道該期待什么。我們不能再高興，再?gòu)氐椎叵硎芩蟹矫媪恕獢?shù)學(xué)課程和教授，父母項(xiàng)目，以及露營(yíng)者和父母之間的社會(huì)聯(lián)系。這是無(wú)價(jià)的! - Epsilon Camp Parent 寫(xiě)在后面 —— 芝諾悖論
芝諾悖論的一種解釋
這個(gè)過(guò)程其實(shí)是一個(gè)將距離無(wú)限分割的過(guò)程，每次人和烏龜?shù)木嚯x都變?yōu)榱松洗蔚氖种?，一次次接近于零，卻永遠(yuǎn)不會(huì)為零。相通于中國(guó)的：道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物，無(wú)窮匱也啊。
但是，我們必須在任何時(shí)候都應(yīng)遵循一條基本定律，就是“無(wú)限”—— ∞在現(xiàn)實(shí)中不可能存在。既不會(huì)有無(wú)限大，如無(wú)限大的宇宙；也不會(huì)有無(wú)限小，如每次都可以切為兩半的方塊。“無(wú)限”僅僅在數(shù)學(xué)理論中存在，而無(wú)法在現(xiàn)實(shí)世界找到。這樣想來(lái)，物質(zhì)是由不可再分的基本粒子組成，以及宇宙是量子化的，成為一種必然。
那么，回到本問(wèn)題。我們來(lái)看看人到底是怎樣追上烏龜?shù)哪兀?/span>
每次人追上烏龜原來(lái)的位置，人與烏龜?shù)木嚯x都變?yōu)榱松弦淮蔚氖种唬欢?，這個(gè)過(guò)程卻不是可以無(wú)限進(jìn)行下去的。以量子理論的視角來(lái)看待世界，世界的基本組成元素之一空間也是量子化的，即具有一個(gè)不可再分的普朗克長(zhǎng)度。這個(gè)長(zhǎng)度是極小極小的，以至于空間看起來(lái)就如同平滑連續(xù)的一樣，但這個(gè)最小單元卻是真實(shí)存在的。
這樣，人追逐烏龜?shù)倪^(guò)程就變成了這樣一幅景象：當(dāng)人跑過(guò)了10的30次方個(gè)普朗克長(zhǎng)度時(shí)，烏龜就跑過(guò)了10的29次方個(gè)普朗克長(zhǎng)度；然后人又跑過(guò)了10的29方個(gè)普朗克長(zhǎng)度，烏龜跑過(guò)了10的28次方個(gè)普朗克長(zhǎng)度……如此反復(fù)20多次以后，最終，關(guān)鍵的一刻終于來(lái)了，人用極短的時(shí)間跑過(guò)了10個(gè)普朗克長(zhǎng)度，烏龜跑過(guò)了1個(gè)普朗克長(zhǎng)度。然后呢？下一輪來(lái)了，烏龜沒(méi)法跑十分之一個(gè)普朗克長(zhǎng)度了，這個(gè)數(shù)必須是整數(shù)！無(wú)限的分割到達(dá)了終點(diǎn)！它只能又跑了1個(gè)普朗克長(zhǎng)度，這是最短的移動(dòng)距離了，然后人呢？人跑了10個(gè)普朗克長(zhǎng)度，超過(guò)了烏龜9個(gè)。
人在這一刻超越了烏龜！
然后，人和烏龜就漸行漸遠(yuǎn)了。
也許作為成人，我們可以從微積分收斂、極限去挑戰(zhàn)該悖論。但芝諾悖論核心在于“阿基里斯怎么超過(guò)烏龜”，也就是要從實(shí)際的微觀物質(zhì)層面上證明“極限是有盡頭的”，這是很難做到的。
反觀芝諾悖論，一定就是詭辯么？也許未必......
芝諾悖論引發(fā)的思考
我們從芝諾悖論上也看到一種現(xiàn)代人的尷尬，部分人習(xí)慣將生活切割為一個(gè)一個(gè)細(xì)小的碎片，對(duì)每個(gè)碎片采取錙銖必較的態(tài)度，為的是達(dá)到“最優(yōu)”。然而，對(duì)人生的整體意義和價(jià)值卻缺乏思考。遺憾的是，即使很多個(gè)優(yōu)秀的碎片組合到一起，并不能構(gòu)成一個(gè)有意義或者有價(jià)值的人生。
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