當(dāng)火箭在前進時，其實是一部分在燃燒的燃料，在推動箭體以及那些沒有在燃燒的燃料前進。燃料越多，用于推動燃料本身的消耗就越大。這是一種巨大的浪費，但我們沒辦法把它減少。所以無怪乎，讓火箭加速一點所需的燃料會指數(shù)增長。
現(xiàn)在一提到航天，默認(rèn)的工具就是火箭，但這絕不是個顯而易見的發(fā)現(xiàn)。在火箭之前，人們努力地想過其他辦法。例如被稱為“航天之父”的俄羅斯科學(xué)家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基（Konstantin Eduardovich Tsiolkovski，1857-1935）在16歲的時候，就想到了利用離心力。這使他極度興奮，以為發(fā)現(xiàn)了通向星際空間的道路。他后來回憶說：
“當(dāng)時我簡直高興得發(fā)狂，那一晚我整夜都無法入睡。我慢慢地在莫斯科的大街上徘徊，一直思考著這一發(fā)現(xiàn)的偉大意義。但到了第二天黎明，我終于認(rèn)識到我的推理是錯誤的?！?/em>
齊奧爾科夫斯基
為什么航天這么困難呢？為什么平時用的汽車、輪船、飛機都不能用呢？因為航天要解決的是在真空中運動的問題，而真空中沒有介質(zhì)可以利用，無處著力。作為對比，汽車、輪船、飛機可以利用地面、水和空氣的摩擦力和浮力，前進是很容易的。我小時候非常愛看科幻小說，尤其是被稱為“科幻小說之父”的凡爾納（Jules Gabriel Verne，1828-1905）的作品。他的一部小說《從地球到月球》，說的是美國在南北戰(zhàn)爭后，一個“大炮俱樂部”發(fā)射了一顆巨大的炮彈，帶著三位勇敢的探險家從地球飛到了月球。《從地球到月球》
在此書的續(xù)作《環(huán)繞月球》中，這顆炮彈沒有在月球著陸，只是環(huán)繞了月球，然后又飛回了地球，在太平洋墜落。三位旅行家被一艘軍艦救起，并受到了美國人民的熱烈歡迎。咦，你有沒有覺得這個場景很眼熟？是的，阿波羅計劃登月歸來的航天員們，就是乘坐返回艙在海里墜落的，有美國的軍艦打撈他們。海上降落比陸上安全，因為減緩了沖擊。在這個意義上，凡爾納的書真是非常具有預(yù)見性。不過，用炮彈登月實際上是不可行的，因為能量全都來自初始的發(fā)射，這意味著最初的加速度非常之大，超出了人類的生理極限，乘員會當(dāng)場死亡。如果乘員是機器人，也許還可以考慮。因此，我們需要尋找能夠在真空中持續(xù)加速的辦法。武俠小說中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的描寫：“他的左腳一踩右腳，又上升了一丈！”這當(dāng)然是違反力學(xué)原理的笑話，因為在你的左腳上升的同時，你的右腳卻下降了，所以你的整體不可能上升。用專業(yè)術(shù)語來說，就是動量守恒定律的一個著名推論：內(nèi)力不做功。同樣的道理，提著自己的頭發(fā)不可能脫離地面，即使你的力氣再大也不行。不過，這樣的分析也給了我們一個啟示：如果把上升的部分和下降的部分分開，上升的部分就確實可以上升。當(dāng)然，這不是讓你把右腳砍掉或者把頭發(fā)以下的部分都砍掉，而是說，你可以通過噴射物質(zhì)來向反方向運動。這就是火箭的基本原理，它的強大之處在于不依賴任何介質(zhì)，可以在真空中推進。在火箭推進方面，中國也許還是世界的先驅(qū)。據(jù)說明朝有一位官員叫做萬戶，當(dāng)然這也可能是他的官位，總之大家把他稱為萬戶。萬戶先生勇敢地想飛向天空。他坐在綁著47支火箭的椅子上，手里拿著風(fēng)箏，但在起飛后就爆炸犧牲了。萬戶飛天
許多科學(xué)家把萬戶稱為世界航天第一人，國際天文聯(lián)合會還將月球背面的一座環(huán)形山命名為“萬戶”。其實這個人是否存在并不重要，重要的是這種精神。人類，永遠都不能失去夢想！有些人認(rèn)為登月是騙局的一個理由就是：月球上沒有空氣，航天員怎么起飛？現(xiàn)在你知道答案了，火箭不需要月球上有空氣，只需要向月球表面噴射物質(zhì)就行了。具體而言，人類到目前為止用的火箭都是化學(xué)火箭，即能量來自化學(xué)反應(yīng)。火箭自帶燃料，又稱為推進劑，包括氧化劑和還原劑，讓它們發(fā)生反應(yīng)。常用的燃料包括液氫、液氧、煤油、偏二甲肼、四氧化二氮等等。燃燒的產(chǎn)物向后高速噴射，推動火箭前進。因此，月球上沒有空氣不但不影響火箭起飛，甚至還是一個優(yōu)點，因為沒有了空氣阻力。順便說一句，我大學(xué)上的科大化學(xué)物理系最初的兩個專業(yè)之一叫做高速化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)，用大白話說就是火箭推進劑。首任系主任是中國科學(xué)院力學(xué)研究所副所長郭永懷（1909-1968）院士，他是“兩彈一星”元勛中唯一的一位烈士，1968年為了保護核試驗數(shù)據(jù)壯烈犧牲。再順便說一句，郭永懷的同門師兄、宗師級的航天科學(xué)家錢學(xué)森（1911-2009）是科大近代力學(xué)系的首任系主任。所以，你明白科大這兩個系是干什么的了吧？郭永懷和錢學(xué)森在中國科學(xué)院力學(xué)研究所火箭的定性原理很容易理解，不過要定量理解火箭的能力，就需要一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)了。這里需要的數(shù)學(xué)也不難，到常微分方程就夠了。看不懂推導(dǎo)的同學(xué)可以跳過，直接看結(jié)果也能理解個八九不離十。把某個時刻t火箭的質(zhì)量記為m，火箭的速度記為v。值得注意的是，火箭的質(zhì)量是在變化的，因為它在噴出物質(zhì)。我們想求的，就是火箭速度v和質(zhì)量m之間的關(guān)系。在從t到t dt的一段短暫的時間里，火箭的質(zhì)量從m變成了m dm，速度從v變成了v dv。請注意這里的dv是正的，因為速度在增加，而dm是負的，因為質(zhì)量在減小。在這段時間里，噴射物的質(zhì)量是-dm，這是一個正值。為了方便推導(dǎo)，我們忽略重力和空氣阻力。那么能夠把前后兩個時刻聯(lián)系起來的關(guān)系，是動量守恒，即：火箭在t dt時刻的動量 dt時間內(nèi)噴射物的動量 = 火箭在t時刻的動量。火箭在t時刻的動量就是mv，在t dt時刻的動量就是(m dm) (v dv)。這兩個很容易表示，不過在這段時間里噴射物的動量是什么呢？它的質(zhì)量等于-dm，但它的速度等于多少？因此，我們需要引入一個新的符號vr，用來表示噴射物相對于火箭的速度，即噴射速度，它基本上是一個常量。所以，噴射物的速度就等于v vr。如果把火箭前進的方向定義為正方向，vr就是負的，而v是正的。現(xiàn)在，我們需要的所有元素都齊了，這個微分方程可以完整地寫出來了：把這個等式展開化簡，左右兩邊都消掉mv，再忽略二階無窮小量dm dv，就得到剩下的一階無窮小量dv與dm之間的關(guān)系：移項，再在兩邊都除以m，就得到了一個簡單的微分關(guān)系式：給定邊界條件，就可以把這個等式積分出來。邊界條件是什么呢？在火箭的最初狀態(tài)，速度等于0，質(zhì)量是最大值，包括燃料、箭身與載荷的全部質(zhì)量，我們可以把它記為mmax。在火箭的最終狀態(tài)，速度達到最大值，我們可以把它記為vm，而質(zhì)量達到最小值，即燃料都燒完了，只剩箭身和載荷的質(zhì)量，我們可以把它記為mmin。因此我們得到結(jié)論，火箭能夠達到的最高速度是：為什么會出現(xiàn)一個負號呢？別忘了，噴射速度和火箭前進速度是反向的。所以在計算速率的時候，只需要把正值代進去就行了。舉個例子，假如一種火箭的噴射速度是4公里每秒，初始質(zhì)量和最終質(zhì)量的比值是e，也就是自然對數(shù)的底，約等于2.718，那么它能達到的最高速度就是4公里每秒。而如果噴射速度不變，把質(zhì)量比提高到e的平方即7.39，那么最高速度就是8公里每秒。這個公式是齊奧爾科夫斯基在1903年提出的，所以叫做齊奧爾科夫斯基公式，它是現(xiàn)代所有的導(dǎo)彈、衛(wèi)星等航天科技的基礎(chǔ)。你看，了解這樣高深的科技并不困難，只需要大學(xué)程度的數(shù)學(xué)就夠了！首先，它告訴我們，決定火箭最高速度的因素很簡單，只有兩條，就是噴射速度和最初與最終的質(zhì)量比。因此，我們努力的方向，就是提高噴射速度和質(zhì)量比。其次，它告訴我們，火箭速度沒有上限，例如完全可以超過噴射速度，只要質(zhì)量比超過e就行了。這是一個好消息。但緊接著就有一個壞消息：最高速度與質(zhì)量比之間的關(guān)系是對數(shù)函數(shù)。為什么這是一個壞消息？因為對數(shù)函數(shù)是一種增長極慢的函數(shù)。慢到什么程度呢？比任意的多項式都慢，例如比x的0.001次方都慢。因此，火箭速度越高，想讓火箭速度再提高一點所需要增加的燃料就越多。用經(jīng)濟學(xué)的術(shù)語說，增加燃料的邊際收益是指數(shù)下降的。所以，火箭速度雖然沒有上限，但越到后來提升得越困難。即使把整個地球的化學(xué)燃料都燒掉，也提升不了太多。對于這個結(jié)論，不通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)也很容易理解。當(dāng)火箭在前進時，其實是一部分在燃燒的燃料，在推動箭體以及那些沒有在燃燒的燃料前進。燃料越多，用于推動燃料本身的消耗就越大。這是一種巨大的浪費，但我們沒辦法把它減少。所以無怪乎，讓火箭加速一點所需的燃料會指數(shù)增長。作為一個類比，政府的官僚體系和企業(yè)的管理體系都往往有指數(shù)增長的趨勢。比如說增加了一個地區(qū)的業(yè)務(wù)，那么需要增加人手來管理這個地區(qū)，然后在上一層又需要增加人來管理這些增加的人，然后在再上一層又需要增加人來管理這些增加的人……這樣惡性循環(huán)下去，機構(gòu)很快就膨脹得不成樣子，王朝衰亡和大企業(yè)病就是這樣造成的。以上這些，是單純觀察齊奧爾科夫斯基公式就能看出來的。對火箭內(nèi)行來說，還有一件哭笑不得的事：雖然燃料的質(zhì)量在整個火箭的質(zhì)量中占了很大一部分，但燃料的成本在整個火箭的成本中卻只占微不足道的的比例（火箭為什么要分級，單級火箭可以入軌嗎？）。在這方面，火箭跟核電站一樣，燃料的成本都可以忽略不計。火箭各部分價格與質(zhì)量分布
這是為什么呢？因為火箭的絕大部分成本是在發(fā)動機、機體和電子器件上，這些部件需要極其精密的加工。而燃料不需要特定的形狀，一股腦兒加進去就行，所以比那些固定件便宜太多了。這說明，火箭性能的瓶頸不在于燃料的價格，而在于火箭的體積。你即使想加更多的燃料，火箭也放不下啊！或者說，瓶頸不在于燃料的價格，而在于箭體的價格。好比一輛豪華汽車不能跑得更快，你以為我缺的是油嗎？不是，我缺的是那輛車！因此，航天成本高昂的一個基本原因，是目前的運載工具都是一次性的。如果能夠解決這個問題，下一個基本原因是，引力給飛船減速的時候我們要耗費巨大的能量去克服，而引力給飛船加速的時候我們卻不能把能量存下來，甚至還要消耗能量去制動，也就是說我們目前還沒有能量回收裝置。以上這些問題，給火箭的能力設(shè)置了嚴(yán)重的障礙。有人可能會問：火箭速度低一點，又有什么關(guān)系？多飛一會兒不就行了？回答是：不行！對于某些目標(biāo)，火箭速度必須超過某些閾值，否則就毫無用處。聰明的你肯定已經(jīng)想到了，這些目標(biāo)就是：環(huán)繞地球，即不落到地球上；飛出地球，即擺脫地球的引力場；以及飛出太陽系。它們對應(yīng)的最低速度，就是第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度，分別等于7.9、11.2和16.7公里每秒。為什么慢慢飛不能達到目標(biāo)呢？因為地球和太陽是有引力的，火箭在太空中并不是自由運動，而是要受到引力的影響。如果速度不能達到這些閾值，那么即使你離得再遠，早晚會被拽回來。正如廣場舞大媽的格言：只要我的速度夠快，寂寞就追不上我！因此，火箭速度不是多一點少一點的問題，而是0和1的問題。那么問題來了，在齊奧爾科夫斯基的時代，人們就發(fā)現(xiàn)，以當(dāng)時的推進劑和箭體材料技術(shù)，火箭速度連發(fā)射衛(wèi)星的要求都達不到，更不用說飛向月球和深空了（http://www.calt.com/n488/n753/c4877/content.html）。在這樣嚴(yán)峻的情況面前，有什么辦法進一步提高速度呢？讓我們回想一下，火箭速度很難提高的原因，在于大量的推力被浪費在了推動載荷之外的質(zhì)量上。那么，如果我們及時地拋棄用不著的部件，就可以節(jié)約推力，提高速度。根據(jù)這條思路，齊奧爾科夫斯基想出了一個辦法：火箭分級。先啟動第一級火箭，燒完后就把第一級的箭體拋棄，啟動第二級火箭。這樣就減輕了質(zhì)量。然后如果有需要的話，還可以拋棄第二級火箭，啟動第三級火箭，以此類推。基本的思想就是：輕裝上陣。假設(shè)有兩支火箭A和B，用同樣的燃料和同樣的總質(zhì)量，噴射速度都是4公里每秒（火箭為什么要分級，單級火箭可以入軌嗎？）。火箭A只有一級，總質(zhì)量2噸，燃料1.5噸，那么它的最高速度是5.5公里每秒?；鸺鼴分為兩級，每一級1噸，燃料0.75噸，那么它的最高速度是7.4公里每秒。一下子就提高了35%，可謂立竿見影。再細究起來，分級的好處還包括，每一級火箭可以在最合適的條件下工作，以及根據(jù)不同的任務(wù)可以靈活地選擇每一級推力的大小和工作時間的長短。因此，我們現(xiàn)在用的火箭絕大多數(shù)都是分級的。那么，火箭的級數(shù)越多越好嗎？那也不是。增加分級固然可以提高速度，但也會讓火箭結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，降低了可靠性。而且增加分級跟增加燃料一樣，邊際收益也是遞減的。因此權(quán)衡的結(jié)果是，大多數(shù)火箭都在二至四級之間，最常見的是三級火箭。了解了這些基本原理，我們下一期就可以講阿波羅計劃的技術(shù)細節(jié)了。但在此之前，我們首先需要看清一個大圖景的問題：化學(xué)火箭的潛力，已經(jīng)接近挖掘殆盡！許多人質(zhì)疑登月的理由是：以50年前的科技水平，怎么可能登月？但實際上，我們看看火箭的這些原理，有哪些是50年前的人不知道的？他們都早就知道了。很多人之所以覺得火箭技術(shù)應(yīng)該迅速發(fā)展，是因為習(xí)慣了信息技術(shù)的突飛猛進。但實際上，信息技術(shù)是人類整個科技樹上的一個異類，像火箭技術(shù)這種進步緩慢的才是常態(tài)。信息技術(shù)能夠飛快進步，基本原因是信息不是實物，不像實物那樣受物理規(guī)律的限制。簡而言之就是：火箭不是手機！因此，我們既應(yīng)該向50年前的壯舉致敬，也應(yīng)該對現(xiàn)在人類的處境具有危機感。這并不是一個可以歌舞升平的時代，而是一個需要竭盡全力尋找新的能源動力基礎(chǔ)突破的時代！
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