一線串通的初等數(shù)學(xué)
張景中，彭翕成
華中師范大學(xué)教育信息技術(shù)工程研究中心，武漢430079
今年8月，筆者主編的《走進(jìn)教育數(shù)學(xué)》叢書由科學(xué)出版社出版，這算是“教育數(shù)學(xué)”所取得的一個階段性成果。教育數(shù)學(xué)用一句話來概括，就是：改造數(shù)學(xué)使之更適合于教學(xué)和學(xué)習(xí)。這一提法最早出現(xiàn)在筆者1989年所寫的《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中。其實，教育數(shù)學(xué)的活動早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》，柯西寫《分析教程》，都是教育數(shù)學(xué)的經(jīng)典之作。
提出教育數(shù)學(xué)，并不是一時之興。早在上個世紀(jì)70年代，筆者輔導(dǎo)中學(xué)生做題時發(fā)現(xiàn)面積法對解幾何題非常有效，但教科書對面積法卻很不重視，介紹很少。當(dāng)時，筆者就想：有些題目的難度是由題目本身決定的，倘若不從數(shù)學(xué)本身入功夫，想出一個解決此類問題的根本辦法，而總是從教學(xué)法的角度出發(fā)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來很辛苦。就好比一些絕頂聰明的人，譬如阿基米德，能用很巧的方法計算出一些不規(guī)則的曲多邊形面積。如果不繼續(xù)在數(shù)學(xué)上努力下功夫，而將這些聰明人天才般的想法直接教給學(xué)生，不管教課的老師采用何種教學(xué)法，學(xué)生都是難以接受的。
那究竟應(yīng)該如何改造數(shù)學(xué)呢？這可不是一件容易的事情。在《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中，筆者已經(jīng)做了較詳細(xì)的闡述。由于此前不少中學(xué)老師表示“下放三角”[1,2]這個想法很新穎、獨特，想了解其來龍去脈。下面筆者就簡要談一下，這得從兩個小題目（射影幾何基本定理和蝴蝶定理）說起。
著名數(shù)學(xué)大師華羅庚先生在《1978年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題解》前言中，談到了這樣一個有趣的幾何題。
例1：如圖1，凸四邊形ABCD的兩邊AD、BC延長后交于K，兩邊AB、CD延長后交于L．對角線BD、AC延長后分別與直線KL交于F、G．求證： 。
只看圖，不看文字，題目也是一目了然的。幾條直線那么一交，不附加任何別的條件，憑空就要你證明一個等式，似乎不容易下手。華先生在指出這個題目包含了射影幾何的基本原理之后，給出了用中學(xué)生所掌握的知識解決它的方法。下述證明引自華先生所寫的前言原文。
在利用共邊定理、共角定理解出一些難題之后，筆者得到鼓舞，對面積法更充滿信心；同時也受到很大的啟發(fā)。
啟發(fā)1：共邊定理比正弦定理更基礎(chǔ)、更簡單，為什么用一個更原始的工具反而比新式武器更有用？這其中必然有其道理。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：沒有特別條件，僅僅是幾條直線交來交去，這類題目似難實易。戰(zhàn)略上應(yīng)當(dāng)有這么一個總的認(rèn)識：凡是只涉及直線的相交、平行，同一直線上的線段比，以及面積比的題目，都屬于“仿射幾何”的范圍，而且是仿射幾何中“線性”問題的范圍。這類問題，歸根結(jié)底，用共邊定理就足以解決了。這就確定了戰(zhàn)略方向。用共邊定理，把線段比化為面積比，把面積比化為線段比，在兩種幾何量的反復(fù)轉(zhuǎn)化中解決問題。共邊定理這一強有力的新工具的出現(xiàn)使得一大批幾何題目變得更容易了，這為后來做幾何定理機器證明打下了基礎(chǔ)。
啟發(fā)2：正弦定理很有用，由于中學(xué)現(xiàn)有數(shù)學(xué)體系所限，我們只能將其部分下放，將其以共邊定理、共角定理的面貌出現(xiàn)。能不能將正弦定理徹底下放呢？為什么正弦定理要到高三才學(xué)習(xí)？教育教學(xué)講求循序漸進(jìn)，人所共知，問題是這個“序”怎么排才是最優(yōu)的？這個排序讓筆者一直思考到現(xiàn)在。譬如是用菱形面積定義正弦，還是用等腰三角形面積定義正弦，筆者都反復(fù)比較。
對于現(xiàn)有中學(xué)教材中三角學(xué)的弊病，已經(jīng)有不少老師指出了。筆者認(rèn)為：最根本的原因就是現(xiàn)有的三角學(xué)體系不是專門為教育教學(xué)設(shè)計的，而是為了天文、航海的需要發(fā)展起來的。我們在繼承前輩成果的同時，必須將其從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化到教育形態(tài)。
在與一些中學(xué)老師和中學(xué)生交流后，筆者發(fā)現(xiàn)，如果沒學(xué)過三角形相似和正弦定理，譬如初一學(xué)生，他們很容易接受這共邊定理、共角定理及其證明。而學(xué)過三角形相似之后，他們總喜歡作高構(gòu)造相似三角形來證明共邊定理，學(xué)過正弦定理之后則把共角定理看作是正弦定理的推論，甚至有人還認(rèn)為，在初中和小學(xué)介紹共角定理是把正弦定理“提前學(xué)”，好像非得先有正弦定理才能有共角定理一樣。
確實，有了正弦定理之后，不但共角定理一目了然，共邊定理也有了更直接的證法。
共邊定理證明3： 。
經(jīng)過10多年的研究，筆者反復(fù)權(quán)衡之后，覺得小修小補解決不了根本性的問題，下放三角必須徹底！我們要求新求變，變則通，通則久。“把數(shù)學(xué)變得更容易”大有可為。我們并不需要引進(jìn)什么新內(nèi)容，加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)；只是將現(xiàn)有中學(xué)數(shù)學(xué)的知識點重新進(jìn)行排序，使得教學(xué)效果最優(yōu)化。面積法不單可以作為解題的利器，更應(yīng)該將之作為迅速展開初等數(shù)學(xué)體系的一個制高點，而這個制高點的核心就是正弦定理。正弦定理涉及幾何中的三大基本元素：角度、線段、面積，又與三角和代數(shù)有著緊密的聯(lián)系。
幾何、代數(shù)和三角的知識，是在不同的歷史時期，在不同的地域分別形成的。它們各有自己的體系、術(shù)語和記號。自然地，這些知識構(gòu)成了中學(xué)里的三門數(shù)學(xué)課程。
正弦出場就和面積結(jié)下不解之緣，使得正弦定理的推導(dǎo)，和角公式的推導(dǎo)，以及正弦增減性的探究都成為直觀簡易的計算型推理。傳統(tǒng)的教學(xué)難點無形中消失了，幾何知識寶庫門戶打開。不論是用幾何引出三角，還是用三角推導(dǎo)幾何，都要用到字母運算，用到代數(shù)。三角、幾何和代數(shù)，緊密聯(lián)系，彼此滲透，交互影響，共同向前。
以上就是筆者撰寫《一線串通的初等數(shù)學(xué)》[5]的初衷。《一線串通的初等數(shù)學(xué)》一書共30節(jié)，去掉一些難度較大的內(nèi)容后，估計要20-30周的時間(80-120學(xué)時)才能講完。再加上有理數(shù)和代數(shù)式, 基本上是兩個學(xué)期的課程。如果在初中一年級能夠?qū)W完該書的基本內(nèi)容，學(xué)生的運算能力、推理能力和分析解決問題的能力都會有較大的發(fā)展，繼續(xù)學(xué)下去就會感到比較輕松，會有更多的時間思考和進(jìn)行實踐活動。初中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)有望大面積地顯著提高。在目前，該書可以作為數(shù)學(xué)教師的參考書，從書中選取若干材料作為學(xué)生課外活動的內(nèi)容，用來啟發(fā)他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時要注意溫故知新，慣于舉一反三，敢于推陳出新，善于從平凡中發(fā)現(xiàn)值得思考的問題，提高分析解決問題的能力。
隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步和社會的發(fā)展，初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容比過去更加豐富龐雜了。除了該書涉及的幾何、代數(shù)和三角，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容還有解析幾何、統(tǒng)計概率、微積分初步等等更多的內(nèi)容。這些內(nèi)容如何合理安排，能否統(tǒng)一和簡化，有待進(jìn)一步的探究。在這條艱難的路上，我們僅僅邁開了第一步。
這樣的設(shè)計能夠進(jìn)入中學(xué)教材嗎？從哪一個年級開始學(xué)這些內(nèi)容？學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，有小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就夠了。但是，在初中一年級的年齡段，學(xué)生能夠理解正弦的概念嗎？這需要進(jìn)行教學(xué)實踐。在我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生推動下，寧波教育學(xué)院的崔雪芳老師在初一學(xué)生中做實驗，結(jié)論是肯定的[6]。隨后，華東師范大學(xué)李俊副教授指導(dǎo)的教育碩士王文俊老師對高中學(xué)生和老師做了更詳細(xì)的實驗與調(diào)查，結(jié)果表明“大部分學(xué)生和老師是比較欣賞和認(rèn)可三角函數(shù)新定義體系的”[7]。不單大陸這邊有老師做實驗探究，臺灣的江翠國中的陳彩鳳老師在看了筆者的《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》，也將三角函數(shù)新定義在資優(yōu)班實施，獲得學(xué)生熱烈回響。
當(dāng)然，還需要更多的教學(xué)實踐來檢驗我們的設(shè)想。而在實踐中發(fā)現(xiàn)的問題，我們會及時調(diào)整、反思；某些老師對三角函數(shù)新定義有疑惑、誤解，我們也將撰文解釋。歡迎大家探討（zjz101@yahoo.com.cn，pxc417@126.com）。
參考文獻(xiàn)
[1]張景中.三角下放 全局皆活——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個方案[J].數(shù)學(xué)通報. 2007（1）：1-5.
[2]張景中.三角下放 全局皆活(續(xù))——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個方案[J].數(shù)學(xué)通報.2007（2）：1-5.
[3]張景中.面積關(guān)系幫你解題[M].上海：上海教育出版社.1982
[4]張景中.幾何新方法和新體系[M].北京：科學(xué)出版社.2009
[5]張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社.2009
[6]崔雪芳.用“菱形面積”定義正弦的一次教學(xué)探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué).2008（11）：40-43.
[7]王文俊.高中階段“用面積定義正弦”教學(xué)初探[D].上海：華東師范大學(xué).2008
(張景中，彭翕成. 一線串通的初等數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2010（2）：1-5.)
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