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一、常用定理（僅給出定理，證明請讀者完成）

梅涅勞斯定理  設(shè)

分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若

三點共線，則

梅涅勞斯定理的逆定理  條件同上，若

則

三點共線。

塞瓦定理  設(shè)

分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若

三線平行或共點，則

塞瓦定理的逆定理  設(shè)

分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若

則

三線共點或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 

分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB所在直線上的點，則

平行或共點的充要條件是

廣義托勒密定理  設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則AB?CD+BC?AD≥AC?BD，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，D四點共圓時取等號。

斯特瓦特定理  設(shè)P為ΔABC的邊BC上任意一點，P不同于B，C，則有

AP²=AB²?

+AC²?

-BP?PC.

西姆松定理  過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。

西姆松定理的逆定理  若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在三角形的外接圓上。

九點圓定理  三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點，這九點共圓。

蒙日定理  三條根軸交于一點或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長）相等的點構(gòu)成集合為一條直線，這條直線稱根軸）

歐拉定理  ΔABC的外心O，垂心H，重心G三點共線，且

二、方法與例題

1．同一法。即不直接去證明，而是作出滿足條件的圖形或點，然后證明它與已知圖形或點重合。

例1  在ΔABC中，∠ABC=70⁰，∠ACB=30⁰，P，Q為ΔABC內(nèi)部兩點，∠QBC=∠QCB=10⁰，∠PBQ=∠PCB=20⁰，求證：A，P，Q三點共線。

[證明]  設(shè)直線CP交AQ于P₁，直線BP交AQ于P₂，因為∠ACP=∠PCQ=10⁰，所以

，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有

，②

，③

④

由②，③，④得

。又因為P₁，P₂同在線段AQ上，所以P₁，P₂重合，又BP與CP僅有一個交點，所以P₁，P₂即為P，所以A，P，Q共線。

2．面積法。

例2  見圖16-1，◇ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為∠BPD的平分線。

[證明]  設(shè)A點到BE，DF距離分別為h₁,h₂，則

又因為

S_◇ABCD=S_ΔADF，又BE=DF。

所以h₁=h₂，所以PA為∠BPD的平分線。

3．幾何變換。

例3  （蝴蝶定理）見圖16-2，AB是⊙O的一條弦，M為AB中點，CD，EF為過M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。

[證明]  由題設(shè)OM

AB。不妨設(shè)

。作D關(guān)于直線OM的對稱點

。

連結(jié)

，則

要證PM=MQ，只需證

，又∠MDQ=∠PFM，所以只需證F，P，M，

共圓。

因為∠

=180⁰-

=180⁰-∠

=180⁰-∠

。（因為

OM。AB//

）

所以F，P，M，

四點共圓。所以Δ

≌ΔMDQ。所以MP=MQ。

例4  平面上每一點都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個三角形三個頂點同色。

[證明]  在平面上作兩個同心圓，半徑分別為1和1995，因為小圓上每一點都染以紅、藍(lán)兩色之一，所以小圓上必有五個點同色，設(shè)此五點為A，B，C，D，E，過這兩點作半徑并將半徑延長分別交大圓于A₁，B₁，C₁，D₁，E₁，由抽屜原理知這五點中必有三點同色，不妨設(shè)為A₁，B₁，C₁，則ΔABC與ΔA₁B₁C₁都是頂點同色的三角形，且相似比為1995。

4．三角法。

例5  設(shè)AD，BE與CF為ΔABC的內(nèi)角平分線，D，E，F(xiàn)在ΔABC的邊上，如果∠EDF=90⁰，求∠BAC的所有可能的值。

[解]  見圖16-3，記∠ADE=α，∠EDC=β，

由題設(shè)∠FDA=

-α，∠BDF=

-β，

由正弦定理：

，

得

，

又由角平分線定理有

，又

，所以

，

化簡得

，同理

，即

所以

，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.

又-π<β-α<π,所以β=α。所以

，所以A=

π。

5．向量法。

例6  設(shè)P是ΔABC所在平面上的一點，G是ΔABC的重心，求證：PA+PB+PC>3PG.

[證明]  因為

，又G為ΔABC重心，所以

（事實上設(shè)AG交BC于E，則

，所以

）

所以

，所以

又因為

不全共線，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。

6．解析法。

例7  H是ΔABC的垂心，P是任意一點，HL

PA，交PA于L，交BC于X，HM

PB，交PB于M，交CA于Y，HN

PC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點共線。

[解]  以H為原點，取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x軸和y軸，建立直角坐標(biāo)系，用(x_k,y_k)表示點k對應(yīng)的坐標(biāo)，則直線PA的斜率為

，直線HL斜率為

，直線HL的方程為x(x_P-x_A)+y(y_P-y_A)=0.

又直線HA的斜率為

，所以直線BC的斜率為

，直線BC的方程為xx_A+yy_A=x_Ax_B+y_Ay_B,②又點C在直線BC上，所以x_Cx_A+y_Cy_A=x_Ax_B+y_Ay_B.

同理可得x_Bx_C+y_By_C=x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_C+y_Ay_C.

又因為X是BC與HL的交點，所以點X坐標(biāo)滿足①式和②式，所以點X坐標(biāo)滿足xx_P+yy_P=x_Ax_B+y_Ay_B.④同理點Y坐標(biāo)滿足xx_P+yy_P=x_Bx_C+y_By_C.⑤點Z坐標(biāo)滿足xx_P+yy_P=x_Cx_A+y_Cy_A.

由③知④，⑤，⑥表示同一直線方程，故X，Y，Z三點共線。

7．四點共圓。

例8  見圖16-5，直線l與⊙O相離，P為l上任意一點，PA，PB為圓的兩條切線，A，B為切點，求證：直線AB過定點。

[證明]  過O作OC

l于C，連結(jié)OA，OB，BC，OP，設(shè)OP交AB于M，則OP

AB，又因為OA

PA，OB

PB，OC

PC。

所以A，B，C都在以O(shè)P為直徑的圓上，即O，A，P，C，B五點共圓。

AB與OC是此圓兩條相交弦，設(shè)交點為Q，

又因為OP

AB，OC

CP，

所以P，M，Q，C四點共圓，所以O(shè)M?OP=OQ?OC。

由射影定理OA²=OM?OP，所以O(shè)A²=OQ?OC，所以O(shè)Q=

（定值）。

所以Q為定點，即直線AB過定點。

三、習(xí)題精選

1．⊙O₁和⊙O₂分別是ΔABC的邊AB，AC上的旁切圓，⊙O₁與CB，CA的延長線切于E，G，⊙O₂與BC，BA的延長線切于F，H，直線EG與FH交于點P，求證：PA

BC。

2．設(shè)⊙O的外切四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，求證：E，O，F(xiàn)三點共線。

3．已知兩小圓⊙O₁與⊙O₂相外切且都與大圓⊙O相內(nèi)切，AB是⊙O₁與⊙O₂的一條外公切線，A，B在⊙O上，CD是⊙O₁與⊙O₂的內(nèi)公切線，⊙O₁與⊙O₂相切于點P，且P，C在直線AB的同一側(cè)，求證：P是ΔABC的內(nèi)心。

4．ΔABC內(nèi)有兩點M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求證：

5．ΔABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點H，直線ED和AB相交于點M，直線FD和AC相交于點N，求證：（1）OB

DF，OC

DE；（2）OH

MN。

6．設(shè)點I，H分別是銳角ΔABC的內(nèi)心和垂心，點B₁，C₁分別是邊AC，AB的中點，已知射線B₁I交邊AB于點B₂(B₂≠B)，射線C₁I交AC的延長線于點C₂，B₂C₂與BC相交于點K，A₁為ΔBHC的外心。試證：A，I，A₁三點共線的充要條件是ΔBKB₂和ΔCKC₂的面積相等。

7．已知點A₁，B₁，C₁，點A₂，B₂，C₂，分別在直線l₁,l₂上 ，B₂C₁交B₁C₂于點M，C₁A₂交A₁C₂于點N，B₁A₂交B₂A₁于L。求證：M，N，L三點共線。

8．ΔABC中，∠C=90⁰，∠A=30⁰，BC=1，求ΔABC的內(nèi)接三角形（三個頂點分別在三條邊上的三角形）的最長邊的最小值。

9．ΔABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點A，B，C關(guān)于對邊BC，CA，AB的對稱點分別為

，求證：

三點共線的充要條件是OH=2R。