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的大??；

 

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的體積；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關知識，考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力。

 

　　解法一：

 

　　（Ⅰ）∵

 

　　∴

，

 

　　又∵

 

　　∴

 

　　（Ⅱ）取

的中點，則，連結，

 

　　∵

，∴，從而

 

　　作

，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，

 

　　從而

為二面角的平面角

 

　　直線

與直線所成的角為

 

　　∴

 

　　在

中，由余弦定理得

 

　　在

中，

 

　　在

中，

 

　　在

中，

 

　　故二面角

的平面角大小為

 

　?。á螅┯桑á颍┲?，

為正方形

 

　　∴

 

　　解法二：（Ⅰ）同解法一

 

　　（Ⅱ）在平面

內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

 

　　　　　　　　　　　

 

　　由題意有

，設，

 

　　則

 

　　由直線

與直線所成的解為，得

 

　　

，即，解得

 

　　∴

，設平面的一個法向量為，

 

　　則

，取，得

 

　　平面

的法向量取為

 

　　設

與所成的角為，則

 

　　顯然，二面角

的平面角為銳角，

 

　　故二面角

的平面角大小為

 

　　（Ⅲ）取平面

的法向量取為，則點A到平面的距離

 

　　∵

，∴

 

　　42．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐

中，底面，，，是的中點．

 

　　（Ⅰ）證明

；

 

　　（Ⅱ）證明

平面；

 

　?。?/span>Ⅲ）求二面角

的大小；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．滿分12分．

 

　?。?/span>Ⅰ）證明：在四棱錐

中，因底面，平面，故．

 

　　

，平面．

 

　　而

平面，．

 

　?。?/span>Ⅱ）證明：由

，，可得．

 

　　

是的中點，．

 

　　由（Ⅰ）知，

，且，所以平面．

 

　　而

平面，．

 

　　

底面在底面內的射影是，，．

 

　　又

，綜上得平面．

 

　?。?/span>Ⅲ）解法一：過點

作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．

 

　　　　　　　　　

 

　　因此

是二面角的平面角．

 

　　由已知，得

．設，

 

　　可得

．

 

　　在

中，，，

 

　　則

．

 

　　在

中，．

 

　　所以二面角

的大小是．

 

　　解法二：由題設

底面，平面，則平面平面，交線為．

 

　　過點

作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結，故．因此是二面角的平面角．

 

　　　　　　　　　

 

　　由已知，可得

，設，

 

　　可得

．

 

　　

，．

 

　　于是，

．

 

　　在

中，．

 

　　所以二面角

的大小是．

 

　　43．（浙江?理?19題）在如圖所示的幾何體中，

平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中點。

 

　　（Ⅰ）求證：

；

 

　　（Ⅱ）求CM與平面CDE所成的角；

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　【解答】分析：本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．

 

　　方法一：

 

　　（I）證明：因為

，是的中點，

 

　　所以

．

 

　　又

平面，

 

　　所以

．

 

　?。?/span>II）解：過點

作平面，垂足是，連結交延長交于點，連結，．

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　

是直線和平面所成的角．

 

　　因為

平面，

 

　　所以

，

 

　　又因為

平面，

 

　　所以

，

 

　　則

平面，因此．

 

　　設

，，

 

　　在直角梯形

中，

 

　　

，是的中點，

 

　　所以

，，，

 

　　得

是直角三角形，其中，

 

　　所以

．

 

　　在

中，，

 

　　所以

，

 

　　故

與平面所成的角是．

 

　　方法二：

 

　　如圖，以點

為坐標原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標系，設，則，，．，．

 

　?。?/span>I）證明：因為

，，

 

　　所以

，

 

　　故

．

 

　?。?/span>II）解：設向量

與平面垂直，則，，

 

　　　　　　　　　　　　

 

　　即

，．

 

　　因為

，，

 

　　所以

，，

 

　　即

，

 

　　

，

 

　　直線

與平面所成的角是與夾角的余角，

 

　　所以

，

 

　　因此直線

與平面所成的角是．