如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等有關(guān)知識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。
定理1 已知點(diǎn)是離心率為
的圓錐曲線
的焦點(diǎn)，過點(diǎn)
的弦與
的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為
，且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有；（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有。
證明 設(shè)直線是焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線上的射影分別為，點(diǎn)在直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，又，所以。
（1） 當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。
如圖1，，所以。
圖1
（2） 當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。
如圖2，，所以。
圖2
評(píng)注 特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。
例1（2009年高考全國(guó)卷Ⅱ理科題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)。若，則的離心率為（ ）
解 這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。
例2（2010年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第12題）已知橢圓的離心率為。過右焦點(diǎn)且斜率為的直線于相交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
解 這里，，設(shè)直線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。
例3 （08高考江西卷理科第15題）過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸左側(cè)），則有＿＿＿＿
圖3
解 如圖3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)，又，代入公式得，解得，所以。
例4 （2010年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第16題）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為＿＿＿
解 設(shè)直線與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。
例5（自編題）已知雙曲線的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)。若，則＿＿＿
解 這里，，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2 已知點(diǎn)和直線是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為。過點(diǎn)的弦與曲線的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則有。
證明 設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，所以。
圖4
（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。如圖4，，。，
所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。
所以。
（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。
圖5
如圖5，，。
所以，
所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。
所以。
綜合（1）（2）知，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。
特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距就是徑之半，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為。
注 由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有 。當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)，有 。
例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為8，則＿＿＿
解 由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為得，，解得。
例7（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知。
（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程。
解 （1）這里，，由定理1的公式得，解得。
（2）將，代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得，，解得，即，所以①，又，設(shè)，代入①得，所以，所以，故所求橢圓方程為。
例8（2007年重慶卷第16題）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為＿＿＿
解 易知均在右支上，因?yàn)?/span>，離心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，
。
例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為＿＿＿
解 因?yàn)?/span>，離心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。
例10 （2007年高考全國(guó)卷Ⅰ）如圖6，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且。求四邊形面積的最小值。
圖6
解 由方程可知，，則。
設(shè)直線與軸的夾角為，因?yàn)?/span>，所以直線與軸
的夾角為。代入弦長(zhǎng)公式得，
，。故四邊形的面積為，。
所以四邊形面積的最小值為。
參考文獻(xiàn)：
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