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360教育網(wǎng)函數(shù)(一)

函數(shù)(一)

 

. 重點(diǎn)、難點(diǎn):

1. 對應(yīng)、映射一一映射、逆映射

2. 定義域

1)分母不為0

2

無意義

3)偶次根式內(nèi)部非負(fù)

4)對數(shù)真數(shù)大于0

5)對數(shù)底數(shù)大于0且不等于1

3. 解析式求法

    1)待定系數(shù)法   2)換元法   3)方程法

4. 值域的求法

1)基本函數(shù)法                       2)圖象法

3)單調(diào)性法                          4)復(fù)合函數(shù)

5)分離常數(shù)法                       6)換元法

7)三角代換                          8)判別式

9)導(dǎo)數(shù)法

 

【典型例題】

[1] 求函數(shù)

的定義域

答案:

  
    

 

[2] 函數(shù)

的定義域恰為(
)求實(shí)數(shù)
。

答案:原題

不等式
的解為
不等式

的解恰為(

[3]

,求

答案:換元法

代回

    

 

[4]

偶函數(shù),
奇函數(shù),且
,求

答案:方程法

   

[5]

A14)且
,求
。

答案:待定系數(shù)法

  

    

 

[6] 求下列函數(shù)值域

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

答案:

1

2

3

4

5

  
    

6

 
   
   
  

7

  
   

 
   

8

 

   
 

9

   
  
   

  
   

10

  
    

  

11)令

   

  

  

  

12)令

  

   

  
    

13)令

  

   

  

14

   

   

   

15

   

  

   
    

16P

A55B0,5 

   

 

[7] 設(shè)A=R,B=R

AB的映射。

1)設(shè)

,則
B中的象是什么?

2)設(shè)

,若
在映射
下的象為5,則S應(yīng)是多少?
在映射
下的象是什么?

解析:1)∵

,而
AB的映射

B中的象為
,即

2)∵

,∴
,即
是集合A中的元素,且有

在集合B中的象為5,∴
,解得
。同理可得s在映射
下在集合B中的象是6。

 

[8] 已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)

滿足

1)若

,求
;又若
,求
;

2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)

,使得
,求函數(shù)
的解析表達(dá)式。

解析:1)因?yàn)閷θ我?/span>

,有
,

所以

又由

,得
,即

,則
,即

2)因?yàn)閷θ我?/span>

,有

又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)

,使得

所以對任意

,有
,在上式中令

,又因?yàn)?/span>
,故

,則
,即

但方程

有兩個(gè)不同實(shí)根,與題設(shè)條件矛盾,故

,則有
,即
,易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件

綜上,所求函數(shù)為

 

[9] 已知函數(shù)

是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)
是奇函數(shù)。又知
[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值,最小值為-5

1)證明:

;

2)試求

的解析式;

3)試求

[4,9]上的解析式。

解析:1證明:

是以5為周期的周期函數(shù),∴

是奇函數(shù),∴

2)當(dāng)

時(shí),由題意,可設(shè)

,解得

3)∵

)是奇函數(shù),∴

  
是一次函數(shù)

∴可設(shè)

  
  

   ∴當(dāng)
時(shí),

當(dāng)

時(shí),
   

∴當(dāng)

時(shí),
    當(dāng)
時(shí),

當(dāng)

時(shí),
,

 

[10] 設(shè)函數(shù)

上的最大值為3,求實(shí)數(shù)
。

解析:

,即
,得
,此時(shí)
,可知
適合題意。

,即
,得
,此時(shí)對稱軸為
,開口向下,知
適合題意。

,即
,得
,此時(shí)對稱軸為
,不適合題意(
時(shí),顯然不適合題意),故
的值為
。

 

[11] 已知函數(shù)

的定義域?yàn)?/span>R

1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

2)當(dāng)m變化時(shí),若y的最小值為

,求函數(shù)
的值域。

分析:1)定義域?yàn)?/span>R,即不等式

的解集為R。(2)求y的最小值用一元二次函數(shù)求最值的方法。

解析:1)依題意,當(dāng)

時(shí),
恒成立

當(dāng)

時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,即

解之得

,故

2)當(dāng)

時(shí),
;當(dāng)
時(shí),

,因此,

的值域?yàn)?/span>

評析:本題要注意分類討論,要分

討論,求
的值域用單調(diào)性求。

 

[12] 已知函數(shù)

的值域是
,試求函數(shù)
的定義域和值域。

解析:

的定義域?yàn)?/span>R,令
,則有

,得
,即

,且
   
,即

,∴
恒成立

∴函數(shù)

的定義域?yàn)?/span>R,值域?yàn)?/span>

 

[13] 已知二次函數(shù)

是常數(shù)且
)滿足條件:
且方程
有等根。

1)求

的解析式;

2)問是否存在實(shí)數(shù)

),使
的定義域和值域分別為[
]
[
]
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由。

解析:1)依題意,方程

有等根,∴
,∴

,∴
,∴
,∴

2)∵

的對稱軸方程為

∴當(dāng)

時(shí),
[
]
上為增函數(shù),設(shè)
存在,則

,∴

即存在實(shí)數(shù)

,使
的定義域?yàn)?/span>[2,0],值域?yàn)?/span>[4,0]

 

[14] 對定義域分別是

的函數(shù)
,
,規(guī)定:函數(shù)

1)若函數(shù)

,寫出函數(shù)
的解析式;

2)求問題(1)中函數(shù)

的值域;

3)若

,其中
是常數(shù),且
,請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)
,及一個(gè)
的值,使得
,并予以證明。

1

2)當(dāng)

時(shí),

,則
,其中等號當(dāng)x=2時(shí)成立,若
,則
,其中等號當(dāng)x=0時(shí)成立。

函數(shù)

的值域是

3解法一:

于是

解法二:

,則

于是

 

[15] 求下列函數(shù)的定義域:

1

2

解析:1)由

,即
,且

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

2)由

當(dāng)

時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R

當(dāng)

時(shí),定義域?yàn)?/span>
;

當(dāng)

時(shí),定義域?yàn)?/span>
;

當(dāng)

時(shí),定義域?yàn)?/span>R

 

【模擬試題】

1. 下列圖形中,不可能是函數(shù)

的圖象的是(   

2. 下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(   

A.

                         B.

C.

                      D.

3. 給出如下三個(gè)等式:

;②
;③
,則不滿足其中任何一個(gè)等式的函數(shù)是(   

    A.

    B.
    C.
    D.

4. 對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(

)和(
),規(guī)定(
=
),當(dāng)且僅當(dāng)
;運(yùn)算“
”為:
,運(yùn)算“
”為:

,設(shè)
,若(1,2
=5,0),則(12
=   

    A.4,0    B.2,0    C.0,2    D.0,-4

5. 已知函數(shù)

的圖象如圖所示,那么
   

A.

                       B.

C.

                                 D.

6. 函數(shù)

的定義域是(   

    A.

    B.
    C.
    D.

7. 設(shè)

,則
的定義域?yàn)椋?/span>   

A.(-40)∪(0,4                         B.(-4,-1)∪(1,4

C.(-2,-1)∪(12                            D.(-4,-2)∪(2,4

8. 已知

,則
   

A.

                            B.

C.

                                       D.

9. 若從集合P到集合

所有的不同映射共有81個(gè),則從集合Q到集合P可作的不同映射共有(   

    A. 32個(gè)    B. 27個(gè)    C. 81個(gè)    D. 64個(gè)

10. 下列從集合A到集合B的對應(yīng)中為映射的是(    

A. A=B=N*,對應(yīng)法則

B. A=R,B={0,1},對應(yīng)法則

C. A=B=R,對應(yīng)法則

D. A=R,B=

,對應(yīng)法則

11. 給出函數(shù)

,則
   

    A.

    B.
    C.
    D.

12. 已知函數(shù)

滿足
,則
在定義域內(nèi)(     

A. 是奇函數(shù)且是增函數(shù)                          B. 是奇函數(shù)且是減函數(shù)

C. 是偶函數(shù)                                            D. 是增函數(shù),但既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

13. 若函數(shù)

,且
)的定義域分別為MN,全集為R,則下列關(guān)系式正確的是(   

    A. MN=M    B. MN=N    C. MN=M    D. MN=CRN

14. 定義兩種運(yùn)算:

,則函數(shù)
的解析式為(   

A.

B.

C.

D.

15. 設(shè)

是奇函數(shù),則使
x的取值范圍是(   

    A.(-1,0    B.01    C.(-∞,0    D.(-∞,0)∪(1+∞)

16. 已知函數(shù)

R上為奇函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,則
R上的解析式為(   

A.

                                B.

C.

                              D.

17. 設(shè)

是定義在R上以6為周期的函數(shù)
在(03)上單調(diào)遞減,且
的圖象關(guān)于直線
對稱,則下面正確的結(jié)論是(   

A.

                        B.

C.

                        D.

18. 函數(shù)

的圖象關(guān)于(   

A. x軸成軸對稱圖形                         B. y軸成軸對稱圖形

C. 直線y=x成軸對稱圖形                D. 原點(diǎn)成中心對稱

19. 函數(shù)

的值域是(   

    A.

    B.
    C.
    D.

20.

都是奇函數(shù),且
在(0+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上Fx)有(   

A. 最小值-8   B. 最大值-8    C. 最小值-6    D. 最小值-4

  21. 函數(shù)

的最小值為(   

A.

    B.
    C.
    D. 3

  22. 函數(shù)

的最小值是(   

A. 1    B. 2    C.

    D.

  23. 已知

,則
的最大值為(     

A. 2    B.

    C.
    D.

  24. 已知

R上的減函數(shù),則滿足
的實(shí)數(shù)
的取值范圍是(    

A.(-11                                B.0,1   

C.(-1,0)∪(0,1               D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

  25. R上定義的函數(shù)

是偶函數(shù),且
。若
在區(qū)間[12]上是減函數(shù),則
   

A. 在區(qū)間[2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[34]上是增函數(shù)

B. 在區(qū)間[2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)

C. 在區(qū)間[2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)

D. 在區(qū)間[2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)

  26. 對于函數(shù)① 360docimg_501_;② 360docimg_502_;③ 360docimg_503_,判斷如下三個(gè)命題的真假:

命題甲:360docimg_504_是偶函數(shù);

命題乙:360docimg_505_在(-∞,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù)

命題丙:360docimg_506_在(-∞,+∞)上是增函數(shù)

能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是(   

A. ①③    B. ①②    C.     D.

  27. 360docimg_507_的遞增區(qū)間為(   

A.1,+∞)    B.(-3,1   C.(-∞,-1   D.(-∞,-3

  28. 若函數(shù)360docimg_508_是定義在R上的偶函數(shù),在360docimg_509_上是減函數(shù),且360docimg_510_,則使得360docimg_511_360docimg_512_的取值范圍是(   

A.(-∞,2                       B.2,+∞)  

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)         D.(-2,2

 

 

 

360docimg_513_

 

 


【試題答案】

1. D    2. D    3. D    4. B    5. B    6. B    7. B    8. C    9. D    10. B

11. D   12. A   13. A   14. D   15. A   16. D   17. B   18. D   19. A    20. D

21. A   22. B   23. C   24. C   25. B   26. D   27. A   28. D

 

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