函數(shù)(一)
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn):
1. 對應(yīng)、映射一一映射、逆映射
2. 定義域
(1)分母不為0
(2)無意義
(3)偶次根式內(nèi)部非負(fù)
(4)對數(shù)真數(shù)大于0
(5)對數(shù)底數(shù)大于0且不等于1
3. 解析式求法
(1)待定系數(shù)法 (2)換元法 (3)方程法
4. 值域的求法
(1)基本函數(shù)法 (2)圖象法
(3)單調(diào)性法 (4)復(fù)合函數(shù)
(5)分離常數(shù)法 (6)換元法
(7)三角代換 (8)判別式
(9)導(dǎo)數(shù)法
【典型例題】
[例1] 求函數(shù)的定義域
答案:
[例2] 函數(shù)的定義域恰為()求實(shí)數(shù)。
答案:原題不等式的解為令不等式
的解恰為()
∴
[例3] ,求
答案:換元法
令代回
∴ ∴
[例4] 偶函數(shù),奇函數(shù),且,求
答案:方程法
[例5] 過A(1,4)且,求。
答案:待定系數(shù)法
∴ ∴
[例6] 求下列函數(shù)值域
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
答案:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
∴
(9)
(10)
且
且
且
(11)令
(12)令
(13)令
∴
(14)
①
②
且 ∴
(15)
(16)P()A(5,5)B(0,5)
∴ ∴
[例7] 設(shè)A=R,B=R,:是A→B的映射。
(1)設(shè),則在B中的象是什么?
(2)設(shè),若在映射下的象為5,則S應(yīng)是多少?在映射下的象是什么?
解析:(1)∵,而:是A→B的映射
∴在B中的象為,即:
(2)∵,∴,即是集合A中的元素,且有:
又在集合B中的象為5,∴,解得。同理可得s在映射下在集合B中的象是6。
[例8] 已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)滿足
(1)若,求;又若,求;
(2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達(dá)式。
解析:(1)因?yàn)閷θ我?/span>,有,
所以,
又由,得,即
若,則,即
(2)因?yàn)閷θ我?/span>,有
又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù),使得
所以對任意,有,在上式中令,
有,又因?yàn)?/span>,故或
若,則,即
但方程有兩個(gè)不同實(shí)根,與題設(shè)條件矛盾,故
若,則有,即,易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件
綜上,所求函數(shù)為
[例9] 已知函數(shù)是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)是奇函數(shù)。又知在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值,最小值為-5。
(1)證明:;
(2)試求的解析式;
(3)試求在[4,9]上的解析式。
解析:(1)證明:∵是以5為周期的周期函數(shù),∴
又是奇函數(shù),∴
∴
(2)當(dāng)時(shí),由題意,可設(shè)
由得,解得
∴
(3)∵()是奇函數(shù),∴
∴ 又是一次函數(shù)
∴可設(shè) ∵ 又
∴ ∴當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí), ∴
∴當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),
∴
當(dāng)時(shí),,
∴
[例10] 設(shè)函數(shù)在上的最大值為3,求實(shí)數(shù)。
解析:① 令,即,得,此時(shí),可知適合題意。
② 令,即,得,此時(shí)對稱軸為,開口向下,知適合題意。
③ 令,即,得,此時(shí)對稱軸為,不適合題意(時(shí),顯然不適合題意),故的值為或。
[例11] 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R。
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m變化時(shí),若y的最小值為,求函數(shù)的值域。
分析:(1)定義域?yàn)?/span>R,即不等式的解集為R。(2)求y的最小值用一元二次函數(shù)求最值的方法。
解析:(1)依題意,當(dāng)時(shí),恒成立
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即
解之得,故
(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
∴,因此,
∴的值域?yàn)?/span>
評析:本題要注意分類討論,要分和討論,求的值域用單調(diào)性求。
[例12] 已知函數(shù)的值域是,試求函數(shù)的定義域和值域。
解析:∵的定義域?yàn)?/span>R,令,則有
由,得,即
∴,且 ∴,即
∵,∴恒成立
又
∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R,值域?yàn)?/span>
[例13] 已知二次函數(shù)(是常數(shù)且)滿足條件:且方程有等根。
(1)求的解析式;
(2)問是否存在實(shí)數(shù)(),使的定義域和值域分別為[]和[]?若存在,求出的值;若不存在,說明理由。
解析:(1)依題意,方程有等根,∴,∴
又,∴,∴,∴
(2)∵的對稱軸方程為
∴當(dāng)時(shí),在[]上為增函數(shù),設(shè)存在,則
即
又,∴
即存在實(shí)數(shù),使的定義域?yàn)?/span>[-2,0],值域?yàn)?/span>[-4,0]
[例14] 對定義域分別是,的函數(shù),,規(guī)定:函數(shù)
(1)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;
(2)求問題(1)中函數(shù)的值域;
(3)若,其中是常數(shù),且,請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)?/span>R的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明。
(1)
(2)當(dāng)時(shí),
若,則,其中等號當(dāng)x=2時(shí)成立,若,則,其中等號當(dāng)x=0時(shí)成立。
∴ 函數(shù)的值域是
(3)解法一:令
則
于是
解法二:令,則
于是
[例15] 求下列函數(shù)的定義域:
(1);
(2)()
解析:(1)由得,即,且
所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
(2)由得
① 當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R;
② 當(dāng)且時(shí),定義域?yàn)?/span>;
③ 當(dāng)且時(shí),定義域?yàn)?/span>;
④ 當(dāng)且時(shí),定義域?yàn)?/span>R。
【模擬試題】
1. 下列圖形中,不可能是函數(shù)的圖象的是( )
2. 下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
3. 給出如下三個(gè)等式:
① ;② ;③ ,則不滿足其中任何一個(gè)等式的函數(shù)是( )
A. B. C. D.
4. 對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對()和(),規(guī)定()=(),當(dāng)且僅當(dāng);運(yùn)算“”為:,運(yùn)算“”為:
,設(shè),若(1,2)()=(5,0),則(1,2)()=( )
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)
5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示,那么( )
A. B.
C. D.
6. 函數(shù)的定義域是( )
A. B. C. D.
7. 設(shè),則的定義域?yàn)椋?/span> )
A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4)
C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4)
8. 已知,則( )
A. B.
C. D.
9. 若從集合P到集合所有的不同映射共有81個(gè),則從集合Q到集合P可作的不同映射共有( )
A. 32個(gè) B. 27個(gè) C. 81個(gè) D. 64個(gè)
10. 下列從集合A到集合B的對應(yīng)中為映射的是( )
A. A=B=N*,對應(yīng)法則:
B. A=R,B={0,1},對應(yīng)法則:
C. A=B=R,對應(yīng)法則:
D. A=R,B=,對應(yīng)法則:
11. 給出函數(shù),則( )
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù)滿足,則在定義域內(nèi)( )
A. 是奇函數(shù)且是增函數(shù) B. 是奇函數(shù)且是減函數(shù)
C. 是偶函數(shù) D. 是增函數(shù),但既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)
13. 若函數(shù)(,且)的定義域分別為M,N,全集為R,則下列關(guān)系式正確的是( )
A. M∩N=M B. M∩N=N C. M∪N=M D. M∩N=CRN
14. 定義兩種運(yùn)算:,則函數(shù)的解析式為( )
A.
B.
C.
D.
15. 設(shè)是奇函數(shù),則使的x的取值范圍是( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
16. 已知函數(shù)在R上為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則在R上的解析式為( )
A. B.
C. D.
17. 設(shè)是定義在R上以6為周期的函數(shù)在(0,3)上單調(diào)遞減,且的圖象關(guān)于直線對稱,則下面正確的結(jié)論是( )
A. B.
C. D.
18. 函數(shù)的圖象關(guān)于( )
A. x軸成軸對稱圖形 B. y軸成軸對稱圖形
C. 直線y=x成軸對稱圖形 D. 原點(diǎn)成中心對稱
19. 函數(shù)的值域是( )
A. B. C. D.
20. 若都是奇函數(shù),且在(0,+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上F(x)有( )
A. 最小值-8 B. 最大值-8 C. 最小值-6 D. 最小值-4
21. 函數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D. 3
22. 函數(shù)的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. D.
23. 已知,則的最大值為( )
A. 2 B. C. D.
24. 已知為R上的減函數(shù),則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
25. 在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且。若在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),則( )
A. 在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
B. 在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
C. 在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)
D. 在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù)
26. 對于函數(shù)① 360docimg_501_;② 360docimg_502_;③ 360docimg_503_,判斷如下三個(gè)命題的真假:
命題甲:360docimg_504_是偶函數(shù);
命題乙:360docimg_505_在(-∞,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù)
命題丙:360docimg_506_在(-∞,+∞)上是增函數(shù)
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是( )
A. ①③ B. ①② C. ③ D. ②
27. 360docimg_507_的遞增區(qū)間為( )
A.(1,+∞) B.(-3,1) C.(-∞,-1) D.(-∞,-3)
28. 若函數(shù)360docimg_508_是定義在R上的偶函數(shù),在360docimg_509_上是減函數(shù),且360docimg_510_,則使得360docimg_511_的360docimg_512_的取值范圍是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)
360docimg_513_
【試題答案】
1. D 2. D 3. D 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. D 10. B
11. D 12. A 13. A 14. D 15. A 16. D 17. B 18. D 19. A 20. D
21. A 22. B 23. C 24. C 25. B 26. D 27. A 28. D
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