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必修2

第四章  機(jī)械能及其守恒定律（二）

二. 高考考綱及分析

（一）高考考綱

重力做功與重力勢(shì)能（Ⅱ）

功能關(guān)系、機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用（Ⅱ）

實(shí)驗(yàn)：驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律。

（二）考綱分析

1. 機(jī)械能守恒定律有非常大的綜合性，大部分試題與牛頓定律、平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)相互聯(lián)系綜合出題，許多試題思路隱蔽，過(guò)程復(fù)雜，難度較大；能的轉(zhuǎn)化與守恒定律，在近幾年高考中常與實(shí)際生活相聯(lián)系出題。

2. 本章知識(shí)在高考中大量試題是與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、圓周運(yùn)動(dòng)、以及電磁學(xué)、熱學(xué)等知識(shí)相聯(lián)系的綜合運(yùn)用，在今后的高考中仍將是熱點(diǎn)。

三. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

四. 知識(shí)要點(diǎn)

第四單元  機(jī)械能守恒定律

1. 重力勢(shì)能：物體由于受到重力而具有的跟物體和地球的相對(duì)位置有關(guān)的能量，叫做重力勢(shì)能。

表達(dá)式：E_P=

單位：焦耳。符號(hào)：J。

重力勢(shì)能是標(biāo)（標(biāo)、矢）量。

選不同的參考面，物體的重力勢(shì)能的數(shù)值是不同的。

2. 重力做正功時(shí)，重力勢(shì)能減少，減少的重力勢(shì)能等于重力做的正功，克服重力做功（重力做負(fù)功）時(shí)，重力勢(shì)能增加，增加的重力勢(shì)能等于克服重力做的功。

重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有關(guān)，跟物體運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。

3. 彈性勢(shì)能：物體由于彈性形變而具有的與它的形變量有關(guān)的勢(shì)能，叫彈性勢(shì)能。物體的彈性形變量越大，彈性勢(shì)能越大。

4. 機(jī)械能：動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱(chēng)機(jī)械能，即E=E_K＋E_P。

5. 機(jī)械能守恒定律

在只有重力做功的情形下，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能的總量不變，這就是機(jī)械能守恒定律。

機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式：

⑴

⑵

用⑴時(shí)，需要規(guī)定重力勢(shì)能的參考平面。用⑵時(shí)則不必規(guī)定重力勢(shì)能的參考平面，因?yàn)?u>重力勢(shì)能的改變量與參考平面的選取沒(méi)有關(guān)系。尤其是用ΔE_增=ΔE_減，只要把增加的機(jī)械能和減少的機(jī)械能都寫(xiě)出來(lái)，方程自然就列出來(lái)了。

第五單元  功能關(guān)系 能量守恒定律

（一）功能關(guān)系

1. 內(nèi)容：功是能量轉(zhuǎn)化的量度．即做了多少功就有多少能發(fā)生了轉(zhuǎn)化。能是物體做功的本領(lǐng)。究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，可用功來(lái)量度，也就是說(shuō)是做功的根源。二者有根本的區(qū)別，功是過(guò)程量，能是狀態(tài)量。

2. 我們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)可以從能量變化來(lái)求功，也可以從物體做功的多少來(lái)求能量的變化。不同形式的能在轉(zhuǎn)化過(guò)程中是守恒的。

（二）能的轉(zhuǎn)化和守恒：

1. 內(nèi)容：能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，能的總量保持不變。

2. 應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路：

（1）某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量。

（2）某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量。

第六單元   實(shí)驗(yàn)：驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律

1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/span>驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律

2. 實(shí)驗(yàn)原理：

（1）機(jī)械能守恒的判斷：物體在自由下落時(shí)，如果重力勢(shì)能的減少等于動(dòng)能的增加，也就是從下落起點(diǎn)計(jì)算

（2）速度的測(cè)量：如圖，借助電火花計(jì)時(shí)器打出的紙帶，測(cè)出物體自由下落的高度 h 和該時(shí)刻的速度v，打第n個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度等于以該時(shí)刻為中間時(shí)刻的某一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，即

3. 實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺(tái)、夾子、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、學(xué)生電源、紙帶及復(fù)寫(xiě)紙片、毫米刻度尺、重物（可用鉤碼代替）、導(dǎo)線

4. 探究步驟和數(shù)據(jù)處理：

（1）安裝：將打點(diǎn)計(jì)時(shí)器固定在鐵架臺(tái)上，用導(dǎo)線將打點(diǎn)計(jì)時(shí)器與低壓交流電源相連接。

（2）接電源，打紙帶：把紙帶的一端在重物上用夾子固定好，另一端穿過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的限位孔，用手提著紙帶使重物停靠在打點(diǎn)計(jì)時(shí)器附近，接通電源松開(kāi)紙帶，讓重物自由下落，重復(fù)幾次打下 3～5 條紙帶。

（3）選紙帶：選取點(diǎn)跡較為清晰的，紙帶上第一個(gè)點(diǎn)及距離第一個(gè)點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)，并依次標(biāo)上0、1 、2 、3…

（4）數(shù)據(jù)處理：測(cè)出0到點(diǎn)1 、點(diǎn)2 、點(diǎn)3 …的距離，即為對(duì)應(yīng)的下落高度 h₁、h₂、h₃……，利甲公式

（5）驗(yàn)證：

法一：代人gh和

法二：（1）任取兩點(diǎn)A、 B ，測(cè)出h_AB，算出gh_AB；

（2）算出

（3）看在實(shí)驗(yàn)誤差允許的條件下，gh_AB和

5. 注意事項(xiàng)：

（1）安裝打點(diǎn)計(jì)時(shí)器時(shí)，必須使兩個(gè)限位孔的中線嚴(yán)格豎直，以減小摩擦阻力 ；

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)必須保持提起的紙帶豎直，手不動(dòng)．待接通電源，讓打點(diǎn)計(jì)時(shí)器工作穩(wěn)定后再松開(kāi)紙帶。以保證第一點(diǎn)是一個(gè)清晰的點(diǎn)；

（3）測(cè)量高度h時(shí)，應(yīng)從起始點(diǎn)算起，為減小h的相對(duì)誤差，選取的計(jì)數(shù)點(diǎn)要離起始點(diǎn)遠(yuǎn)些，紙帶也不宜過(guò)長(zhǎng)，有效長(zhǎng)度可在 60 cm～80cm；

（4）因?yàn)槭峭ㄟ^(guò)比較

（5）速度不能用v=gt或

（6）驗(yàn)證定律的題目中千萬(wàn)不要按習(xí)慣直接應(yīng)用守恒定律去處理問(wèn)題。

6. 誤差分析：本實(shí)驗(yàn)采取分析紙帶的方法求每一點(diǎn)的瞬時(shí)速度，即物體下落的實(shí)際速度．由于摩擦阻力的存在，利用所測(cè)速度計(jì)算的動(dòng)能的增加總略小于重力勢(shì)能的減少，這是產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因，另外，用刻度尺測(cè)紙帶上點(diǎn)與點(diǎn)間距離時(shí)，也可能造成誤差。

五. 重點(diǎn)、難點(diǎn)解析

1. 機(jī)械能是否守恒的判斷

（1）物體只受重力，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如自由落體運(yùn)動(dòng)，拋體運(yùn)動(dòng)等。

（2）只有彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如在光滑水平面運(yùn)動(dòng)的物體碰到一個(gè)彈簧，和彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒。

（3）物體既受重力，又受彈力，但只有重力和彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，如自由下落的物體落到豎直的彈簧上和彈簧相互作用的過(guò)程.對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒。

（4）除受重力（或彈力）外，受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零.如物體在沿斜面拉力F的作用下沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，其拉力的大小與摩擦力的大小相等，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其機(jī)械能守恒，只要滿足上述條件，機(jī)械能一定守恒。

2. 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的解題思路

（1）明確研究對(duì)象，即哪些物體參與了動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，選擇合適的初態(tài)和末態(tài)。

（2）分析物體的受力并分析各個(gè)力做功，看是否符合機(jī)械能守恒條件。只有符合條件才能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。

（3）正確選擇守恒定律的表達(dá)式列方程，可分過(guò)程列式，也可對(duì)全過(guò)程列式。

（4）求解結(jié)果說(shuō)明物理意義。

3. 功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系

（1）合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量。   W_合=E_k2-E_k1（動(dòng)能定理）

（2）只有重力做功（或彈簧的彈力）做功，物體的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，物體的機(jī)械能守恒。

（3）重力功是重力勢(shì)能變化的量度，即：W_G=-ΔE_P重＝-（E_P末-E_P初） =E_P初-E_P末

（4）彈力功是彈性勢(shì)能變化的量度，即：W_彈＝-△E_P彈＝-（E_P末-E_P初） =E_P初-E_P末

（5）除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機(jī)械能變化的量度，即W_其他=E_末-E_初

（6）一對(duì)滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：f·S_相＝Q

（7）電場(chǎng)力功是電勢(shì)能變化的量度，即：W_E=qU=-ΔE =-（E_末-E_初）=E_初-E_末

（8）分子力功是分子勢(shì)能變化的量度

注意：對(duì)繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說(shuō)明，必定有機(jī)械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過(guò)程中一定有機(jī)械能損失。

4. 摩擦力做功的過(guò)程能量轉(zhuǎn)化的情況

（1）靜摩擦力做功的特點(diǎn)

① 靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功還可能不做功。

② 在靜摩擦力做功的過(guò)程中，只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體（靜摩擦力起著傳送機(jī)械能的作用），而沒(méi)有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。

③ 相互摩擦的系統(tǒng)，一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零。

（2）滑動(dòng)摩擦力做功的特點(diǎn)：

① 滑動(dòng)摩擦力可以做正功，也可以對(duì)物體做負(fù)功，還可以不做功（如相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩物體之一對(duì)地面靜止，則滑動(dòng)摩擦力對(duì)該物不做功）。

② 在相互摩擦的物體系統(tǒng)中，一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力，對(duì)物體系統(tǒng)所做總功的多少與路徑有關(guān)，其值是負(fù)值，等于摩擦力與相對(duì)路程的積，即W_f=f_滑·S_相對(duì)

表示物體系統(tǒng)損失機(jī)械能克服了摩擦力做功，ΔE_損= f_滑·S_相對(duì)=Q（摩擦生熱）。

③ 一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的過(guò)程，能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的情況：一是相互摩擦的物體通過(guò)摩擦力做功將部分機(jī)械能轉(zhuǎn)移另一個(gè)物體上，二是部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能的損失量。

5. 用能量守恒定律解題的步驟

（1）確定研究的對(duì)象和范圍，分析在研究的過(guò)程中有多少種不同形式的能（包括動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能、電能等）發(fā)生變化。

（2）找出減少的能并求總的減少量ΔE_減，找出增加的能并求總的增加量ΔE_增

（3）由能量守恒列式，ΔE_減=ΔE_增。

（4）代入已知條件求解。

【典型例題】

[例1] （07全國(guó)）如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑有軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。要求物塊能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過(guò)5 mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

解析：設(shè)物塊在圓形軌道最高點(diǎn)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得：mgh＝2mgR＋

物塊在最高點(diǎn)受的力為重力mg、軌道的壓力N。重力與壓力的合力提供向心力，有：       mg＋N＝m

物塊能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是：N≥0    ③

由②③式得：v≥

由①④式得：h≥2.5R    ⑤

按題的需求，N≤5mg，由②式得：v＜

由①⑥式得：h≤5R        ⑦

h的取值范圍是：2.5R≤h≤5R     ⑧

[例2]（08全國(guó)Ⅱ）如圖，一很長(zhǎng)的、不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩跨過(guò)光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b．a球質(zhì)量為m，靜置于地面；b球質(zhì)量為3m， 用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊。從靜止開(kāi)始釋放b后，a可能達(dá)到的最大高度為（    ） 

A. h      B. 1.5h      C. 2h      D. 2.5h

答案：B

解析：在b落地前，a、b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且a、b兩物體速度大小相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：          

b球落地時(shí)，a球高度為h，之后a球向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，過(guò)程中機(jī)械能守恒，

所以a可能達(dá)到的最大高度為1.5h，B項(xiàng)正確。

[例3] 有一光滑水平板，板的中央有一個(gè)小孔，孔內(nèi)穿入一根光滑輕線，輕線的上端系一質(zhì)量為M的小球，輕線的下端系著質(zhì)量分別為m₁和m₂的兩個(gè)物體，當(dāng)小球在光滑水平板上沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕線下端的兩個(gè)物體都處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將兩物體之間的輕線剪斷，則小球的線速度為多大時(shí)才能再次在水平板上做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)？

解析：該題用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)分別解答如下：

解法一?。ㄊ睾阌^點(diǎn)）選小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度為v₀，根據(jù)牛頓第二定律有

當(dāng)剪斷兩物體之間的輕線后，輕線對(duì)小球的拉力減小，不足以維持小球在半徑為R的軌道上繼續(xù)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，于是小球沿切線方向逐漸偏離原來(lái)的軌道，同時(shí)輕線下端的物體m₁逐漸上升，且小球的線速度逐漸減小。假設(shè)物體m₁上升高度為h，小球的線速度減為v時(shí)，小球在半徑為（R+h）的軌道上再次做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有

　　?。?/span>2）

再選小球M、物體m₁與地球所組的系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究?jī)晌矬w間的輕線剪斷后物體m₁上升的過(guò)程，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.選小球做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的水平面為零勢(shì)面，設(shè)小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)物體m₁到水平板的距離為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

　　　　?。?/span>3）

以上（1）、（2）、（3）三式聯(lián)立解得：

解法二（轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)）與解法一相同，首先列出（1）（2）兩式，然后再選小球、物體m₁與地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究?jī)晌矬w間的輕線剪斷后物體m₁上升的過(guò)程，由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以小球M動(dòng)能的減少量等于物體m₁重力勢(shì)能的增加量.即：

（1）（2）（4）式聯(lián)立解得：

點(diǎn)評(píng)：比較上述兩種解法可以看出，根據(jù)機(jī)械能守恒定律應(yīng)用守恒觀點(diǎn)列方程時(shí)，需要選零勢(shì)面和找出物體與零勢(shì)面的高度差，比較麻煩；如果應(yīng)用轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)列方程，則無(wú)需選零勢(shì)面，往往顯得簡(jiǎn)捷。

[例4]（05全國(guó)）如圖，質(zhì)量為m₁的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m₂的物體B相連，彈簧的勁度數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都片于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m₃的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為（m₁+m₃）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。

解析：開(kāi)始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，有

kx₁=m₁g     ①

掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x₂，則有：    kx₂=m₂g   ②

B不再上升，表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢(shì)能的增加量為：

△E＝m₃g（x₁+x₂）－m₁g（x₁+x₂）           ③

C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢(shì)能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得

+

m₁v²=

由③④式得：

由①②⑤式得：v=

[例5] 質(zhì)量為m的物體在豎直向上的恒力F作用下減速上升了H，在這個(gè)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有（    ）

A. 物體的重力勢(shì)能增加了mgH

B. 物體的動(dòng)能減少了FH

C. 物體的機(jī)械能增加了FH

D. 物體重力勢(shì)能的增加小于動(dòng)能的減少

解析：根據(jù)重力勢(shì)能的增量等于克服重力做的功；根據(jù)動(dòng)能定理，動(dòng)能的改變量等于外力做功的代數(shù)和，物體機(jī)械能的改變量等于除重力以外的其它力做的功的代數(shù)和。由以上判斷不難得出正確答案是A、C

[例6] 水平傳送帶以速度v勻速傳動(dòng)，一質(zhì)量為m的小木塊A由靜止輕放在傳送帶上，若小木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，在小木塊與傳送帶相對(duì)靜止時(shí)，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量為（    ）

A.

解析：小物塊剛放在帶子上時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，與帶子有相對(duì)滑動(dòng)，受向前的滑動(dòng)摩擦力，使物塊加速，最終與帶子速度相同均為v。

由于題目要求出轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量，必須求出滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功，

再由ΔE= f_滑·S_相對(duì)求解

物塊所受的滑動(dòng)摩擦力為： f＝μmg，

物塊加速度               a=f/m=μg

加速至v的時(shí)間           t＝v/a=v/μg

物塊對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的位移     Sa=vt/2=v²/2μg

這段時(shí)間內(nèi)帶向前位移      S_帶=vt＝v²/μg

則物塊相對(duì)于帶向后滑動(dòng)路程：s_相對(duì)=s_帶—s_A= v²/2μg

根據(jù)能量守恒定律：        ΔE_內(nèi)＝f·s_相對(duì)=μmg·v²/2μg=

點(diǎn)評(píng)：進(jìn)一步分析，在題設(shè)過(guò)程中，傳送帶克服摩擦力的功 W＝f·S_帶＝μmg·v²/μg=

通過(guò)解答此題一定要理解“摩擦生熱”指的是滑動(dòng)摩擦“生熱”，在相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做功來(lái)求解必須求出摩擦力在相對(duì)路程上的功

[例7] 圖中，容器A、B各有一個(gè)可自由移動(dòng)的輕活塞，活塞下面是水，上面是大氣．大氣壓恒定，A、B的底部由帶有閥門(mén)K的管道相連，整個(gè)裝置與外界絕熱，原先，A中水面比B中高，打開(kāi)閥門(mén)，使A中的水逐漸向B中流，最后達(dá)到平衡，在這個(gè)過(guò)程中（   ）

A. 大氣壓力對(duì)水做功，水的內(nèi)能增加

B. 水克服大氣壓力做功，水的內(nèi)能減少

C. 大氣壓力對(duì)水做功，水的內(nèi)能不變

D. 大氣壓力對(duì)水不做功，水的內(nèi)能增加

解析：題設(shè)條件可知，打開(kāi)閥門(mén)k，由于水的重力作用·水從A流向B中，由于水與器壁間的摩擦作用，振動(dòng)一段時(shí)間最后達(dá)到平衡狀態(tài)；A和B中水面靜止在同一高度上，水受到重力、器壁壓力和兩水面上大氣壓力的作用，器壁壓力與水流方向垂直。不做功，最后A、B中水面等高。相當(dāng)于A中部分水下移到B中，重力對(duì)水做功，設(shè)A、B的橫截面積分別為S_A、S_B，兩個(gè)活塞豎直位移分別為L_A、L_B，大氣壓力對(duì)容器A中的活塞做的功為W_A=P₀S_AL_A，容器B中的活塞克服大氣壓力做的功W_B=P₀S_BL_B，因此大氣壓力通過(guò)活塞對(duì)整個(gè)水做功為零，即大氣壓力對(duì)水不做功，根據(jù)能量守恒定律，重力勢(shì)能的減少等于水的內(nèi)能的增加，所以選項(xiàng)D是正確答案。

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是取整個(gè)水為研究對(duì)象，明確它的運(yùn)動(dòng)情況。正確分析它的受力，確定水受的力在水運(yùn)動(dòng)過(guò)程中做的功，應(yīng)用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律推斷能量變化關(guān)系。

[例8] 用落體法驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律的實(shí)驗(yàn)中：

（1）從下列器材中選出實(shí)驗(yàn)所必需的，其編號(hào)為___________。

A. 打點(diǎn)計(jì)時(shí)器（包括紙帶）    B. 重錘       C. 天平  

D. 毫米刻度尺                               E. 秒表       F. 運(yùn)動(dòng)小車(chē)

（2）打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的安裝放置要求為____________________；開(kāi)始打點(diǎn)計(jì)時(shí)的時(shí)候，應(yīng)先______________，然后_________________。

（3）選用的紙帶要求是______________________________。

（4）實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的原因主要是__________________________，使重錘獲得的動(dòng)能往往___________。為減小誤差，懸掛在紙帶下的重錘應(yīng)選擇________________。

（5）如果以v²/2 為縱軸、以 h 為橫軸，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出的v²/2 —h 圖線是___________，該線的斜率等于__________________________。

答案：（1）ABD。

（2）打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的底板要豎直，兩限位孔在同一豎直線上；接通電源，然后釋放重錘。

（3）最初兩點(diǎn)的間距接近2mm。

（4）紙帶與限位孔間的摩擦，小于它所減少的重力勢(shì)能。體積小質(zhì)量大。

（5）過(guò)原點(diǎn)的傾斜的直線，重力加速度g。

[例9] 在驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律的實(shí)驗(yàn)中，有同學(xué)按以下步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作：

A. 用天平稱(chēng)出重錘和夾子的質(zhì)量

B. 固定好打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，將連著重錘的紙帶穿過(guò)限位孔，用手提住，且讓手盡量靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器

C. 松開(kāi)紙帶，接通電源，開(kāi)始打點(diǎn)，并如此重復(fù)多次，以得到幾條打點(diǎn)紙帶

D. 取下紙帶，挑選點(diǎn)跡清晰的紙帶．記下起始點(diǎn) O ，在距離O點(diǎn)較近處選擇幾個(gè)連續(xù)計(jì)數(shù)點(diǎn)（或計(jì)時(shí)點(diǎn)）， 并計(jì)算出各點(diǎn)的速度值

E. 測(cè)出各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離，即得到重錘下落高度

F. 計(jì)算出

在以上步驟中，不必要的步驟是________________________， 有錯(cuò)誤或不妥的步驟是_____________（填寫(xiě)代表字母）；更正清況是 ①__________；②_________；③__________；④ _________。

答案：A，BCDF； ① B中“讓手盡量靠近”應(yīng)改為“讓重錘盡量靠近；  ② C中應(yīng)先接通電源，后松開(kāi)紙帶； ③ D中應(yīng)將“距離O點(diǎn)較近處”改為“距離O點(diǎn)較遠(yuǎn)處”；④ F中應(yīng)改為“gh_n和

[例10] 在“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”的實(shí)驗(yàn)中，已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器所用的電源的頻率為 50 Hlz ，查得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?/span> g = 9.8m /s² ， 測(cè)得所用的重物的質(zhì)量m= l.0kg ， 實(shí)驗(yàn)中得到一條點(diǎn)跡清晰的紙帶．把第一個(gè)點(diǎn)記作 O， 另選連續(xù)的 4 個(gè)點(diǎn) A 、B 、C 、D 作為測(cè)量的點(diǎn)，如圖所示， 經(jīng)測(cè)量知道 A 、B 、C 、D 各點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離分別為 62.99 cm 、70.18 cm 、77.76 cm 、85.73 cm ，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可知重物由 O 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)， 重力勢(shì)能的減少量等______________ J ，動(dòng)能的增加量等于_____________ J （取三位有效數(shù)字）

答案：7.62  ， 7.56

[例11] 某同學(xué)在做“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，不慎將一條選擇好的紙帶的前面部分損壞了。他測(cè)出剩下的紙帶上各點(diǎn)間的距離，并標(biāo)在紙帶上，如圖所示，已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的周期是 0.02s ，重力加速度為 9.8m/s² 。

（1）利用紙帶說(shuō)明重錘（質(zhì)量為mkg）通過(guò)對(duì)應(yīng)于 2 、5 兩點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒 ；

（2）說(shuō)明為什么得到的結(jié)果是重錘重力勢(shì)能的減少量 △E_P 大干重錘動(dòng)能的增加量 △E_k ?

解析：（1）

（2）空氣阻力和紙帶與打點(diǎn)計(jì)時(shí)器限位孔之間的摩擦阻力做功使重錘的機(jī)械能有損失，故重力勢(shì)能的減少量稍大于動(dòng)能的增加量。

【模擬試題】

1. （08江蘇）如圖所示，兩光滑斜面的傾角分別為30°和45°，質(zhì)量分別為2ｍ和ｍ的兩個(gè)滑塊用不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)滑輪連接（不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦），分別置于兩個(gè)斜面上并由靜止釋放；若交換兩滑塊位置，再由靜止釋放。則在上述兩種情形中正確的有（    ）

A. 質(zhì)量為2ｍ的滑塊受到重力、繩的張力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用

B. 質(zhì)量為ｍ的滑塊均沿斜面向上運(yùn)動(dòng)

C. 繩對(duì)質(zhì)量為ｍ滑塊的拉力均大于該滑塊對(duì)繩的拉力

D. 系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能均守恒

2. （08海南）如圖，一輕繩的一端系在固定粗糙斜面上的O點(diǎn)，另一端系一小球。給小球一足夠大的初速度，使小球在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)。在此過(guò)程中，（    ）

A. 小球的機(jī)械能守恒

B. 重力對(duì)小球不做功

C. 繩的張力對(duì)小球不做功

D. 在任何一段時(shí)間內(nèi)，小球克服摩擦力所做的功總是等于小球動(dòng)能的減少

3. （07海南）如圖，卷?yè)P(yáng)機(jī)的繩索通過(guò)定滑輪用力Ｆ拉位于粗糙面上的木箱，使之沿斜面加速向上移動(dòng)。在移動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（     ）

A. Ｆ對(duì)木箱做的功等于木箱增加的動(dòng)能與木箱克服摩擦力所做的功之和

B. Ｆ對(duì)木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和

C. 木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力勢(shì)能

D. Ｆ對(duì)木箱做的功等于木箱增加的機(jī)械能與木箱克服摩擦力做的功之和

4. 一物體獲得一豎直向上的初速度從某點(diǎn)開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度始終豎直向下為4m/s²，則正確的說(shuō)法是（     ）

A. 上升過(guò)程中物體的機(jī)械能不斷增加重力勢(shì)能增加

B. 下降過(guò)程中物體的機(jī)械能不斷增加，重力勢(shì)能減少

C. 整個(gè)過(guò)程中物體的機(jī)械能不變

D. 物體下落回拋出點(diǎn)的機(jī)械能和拋出時(shí)的機(jī)械能相等

5. （07上海）在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應(yīng)的曲線方程為y＝2.5 cos（單位：m），式中k＝1m^－1。將一光滑小環(huán)套在該金屬桿上，并從x＝0處以v₀＝5m/s的初速度沿桿向下運(yùn)動(dòng)，取重力加速度g＝10m/s²。則當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x＝m時(shí)的速度大小v＝_______m/s；該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)到x＝_________m處。

6. 如圖所示，物體以100J的初動(dòng)能從斜面底端向上運(yùn)動(dòng)，中途第一次通過(guò)斜面上M點(diǎn)時(shí)，其動(dòng)能減少了80J，機(jī)械能減少了32J。則當(dāng)物體沿斜面重新返回底端時(shí)，其動(dòng)能為         J。

7. 某同學(xué)為驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律編排了如下實(shí)驗(yàn)步驟：

A. 用天平稱(chēng)出重物的質(zhì)量；

B. 把紙帶固定到重物上，并把紙帶穿過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，提升到一定高度；

C. 拆掉導(dǎo)線，整理儀器

D. 斷開(kāi)電源，更換紙帶．重做兩次

E. 用秒表測(cè)出重物下落的時(shí)間：

F. 用毫米刻度尺測(cè)出計(jì)數(shù)點(diǎn)與起點(diǎn)的距離，記錄數(shù)據(jù)，并計(jì)算出結(jié)果，得出結(jié)論：

G. 把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器接到低壓交流電源上

H. 接通電源，釋放紙帶；

I. 把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器接到低壓直流電源上；

J. 把打點(diǎn)計(jì)時(shí)器固定到桌邊的鐵架臺(tái)上。

上述實(shí)驗(yàn)步驟中錯(cuò)誤的是_________，可有可無(wú)的是_______。其余正確且必要的步驟按實(shí)驗(yàn)操作順序排列是____________（均只需填步驟的代號(hào)）

8. （08全國(guó)卷1）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量各為m₁和m₂的小物塊A和B，分別系在一條跨過(guò)定滑輪的軟繩兩端，已知m₁＞m₂，現(xiàn)要利用此裝置驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律。

（1）若選定物塊A從靜止開(kāi)始下落的過(guò)程中進(jìn)行測(cè)量，則需要測(cè)量的物理量有_________。

① 物塊的質(zhì)量m₁、m₂；

② 物塊A下落的距離及下落這段距離所用的時(shí)間；

③ 物塊B下落的距離及下落這段距離所用的時(shí)間；

④ 繩子的長(zhǎng)度。

（2）為提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確程度，某小組同學(xué)對(duì)此實(shí)驗(yàn)提出以下建議：

① 繩的質(zhì)量要輕；

② 在“輕質(zhì)繩”的前提下，繩子越長(zhǎng)越好；

③ 盡量保證物塊只沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，不要搖晃；

④ 兩個(gè)物塊的質(zhì)量之差要盡可能小。

以上建議中確實(shí)對(duì)提高準(zhǔn)確程度有作用的是_________。

（3）寫(xiě)出一條上面沒(méi)有提到的對(duì)提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確程度有益的建議：________________。

9. 如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長(zhǎng)為4L的水。開(kāi)始時(shí)閥門(mén)K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。打開(kāi)閥門(mén)K后，左右水面剛好相平時(shí)左管液面的速度是多大？（管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計(jì)）

10. （08重慶）圖中有一個(gè)豎直固定在地面的透氣圓筒，筒中有一勁度為k的輕彈簧，其下端固定，上端連接一質(zhì)量為m的薄滑塊，圓筒內(nèi)壁涂有一層新型智能材料——ER流體，它對(duì)滑塊的阻力可調(diào).起初，滑塊靜止，ER流體對(duì)其阻力為0，彈簧的長(zhǎng)度為L，現(xiàn)有一質(zhì)量也為m的物體從距地面2L處自由落下，與滑塊碰撞后粘在一起向下運(yùn)動(dòng).為保證滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，且下移距離為

（1）下落物體與滑塊碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能；

（2）滑塊向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的大小；

（3）滑塊下移距離d時(shí)ER流體對(duì)滑塊阻力的大小。

11. 一輛汽車(chē)通過(guò)如圖5—5—5所示中的細(xì)繩提起井中質(zhì)量為m的物體，開(kāi)始時(shí)，車(chē)在A點(diǎn)，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直，左側(cè)繩長(zhǎng)為H。提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C。設(shè)A到B的距離也為H，車(chē)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v。求在車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功。設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，滑輪尺寸不計(jì)。

12. （06北京）下圖是簡(jiǎn)化后的跳臺(tái)滑雪的雪道示意圖。整修雪道由傾斜的助滑道AB和著陸雪道DB，以及水平的起跳平臺(tái)CD組成，AB與CD圓滑連接。

運(yùn)動(dòng)員從助滑雪道AB上由靜止開(kāi)始，在重力作用下，滑到D點(diǎn)水平飛出，不計(jì)飛行中的空氣阻力，經(jīng)2s在水平方向飛行了60m，落在著陸雪道DE上。已知從B點(diǎn)到D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員的速度大小不變。（g取10m/s²）求

（1）運(yùn)動(dòng)員在AB段下滑到B點(diǎn)的速度大??；

（2）若不計(jì)阻力，運(yùn)動(dòng)員在AB段下滑過(guò)程中下降的高度。

13. （07江蘇）如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)。棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1）。斷開(kāi)輕繩，棒和環(huán)自由下落。假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失。棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)。求：

（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度；

（2）從斷開(kāi)輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程S；

（3）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W。

【試題答案】

1. BD        

2. C

解析：斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、繩子拉力，由于除重力做功外，摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能減少，A、B錯(cuò)；繩子張力總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直，故不做功，C對(duì)；小球動(dòng)能的變化等于合外力做功，即重力與摩擦力做功，D錯(cuò)。

3. CD

4. AD

解析：據(jù)牛頓第二定律F_合=ma知mg+F=ma，即F= —6N方向向上。即除重力外物體始終還受到一大小為6N方向向上的恒力，上升過(guò)程F做正功機(jī)械能增加，重力做負(fù)功重力勢(shì)能增加，下降過(guò)程F做負(fù)功，機(jī)械能減少，重力做正功重力勢(shì)能減少，故選項(xiàng)A正確，B不正確，C不正確，從拋出到落回整個(gè)過(guò)程看F做的功代數(shù)和為零，據(jù)動(dòng)能定理：

所以初末狀態(tài)動(dòng)能相等

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況，分析物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的作用力仍是解決功能問(wèn)題的基礎(chǔ)。

5. 5，

6. 解析：物體沿斜面上滑的過(guò)程中，克服摩擦力做的功等于物體機(jī)械能的減少量，即

設(shè)物體在上滑過(guò)程中動(dòng)能的減少量為△E_k，由動(dòng)能定理得：

由①②得

物體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)動(dòng)能減少了100J，減少的機(jī)械能為

由此可知，物體在上滑過(guò)程中克服摩擦力做的功為40J。由于物體下滑時(shí)摩擦力大小和位移大小沒(méi)變，所以，下滑過(guò)程中克服摩擦力做的功也是40J。即在全過(guò)程中物體損失的機(jī)械能為80J，物體返回底端是動(dòng)能為20J。

點(diǎn)評(píng)：解答本題要注意兩點(diǎn)：（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因素一定，正壓力一定，故物體上滑、下滑過(guò)程的滑動(dòng)摩擦力大小相等而方向相反，摩擦力始終做負(fù)功；（2）重力做功與路徑無(wú)關(guān)的特點(diǎn)的應(yīng)用。

7. 答案：E、I， A． J、G、B、H、D、C、F

8. （1） ①②或①③；（2）①③；（3）例如：“對(duì)同一高度進(jìn)行多次測(cè)量取平均值”， “選取受力后相對(duì)伸長(zhǎng)盡量小的繩子”等等。

解析：（1）通過(guò)連結(jié)在一起的A、B兩物體驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律，即驗(yàn)證系統(tǒng)的勢(shì)能變化與動(dòng)能變化是否相等，A、B連結(jié)在一起，A下降的距離一定等于B上升的距離；A、B的速度大小總是相等的，故不需要測(cè)量繩子的長(zhǎng)度和B上升的距離及時(shí)間。（2）如果繩子質(zhì)量不能忽略，則A、B組成的系統(tǒng)勢(shì)能將有一部分轉(zhuǎn)化為繩子的動(dòng)能，從而為驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律帶來(lái)誤差；若物塊搖擺，則兩物體的速度有差別，為計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能帶來(lái)誤差；繩子長(zhǎng)度和兩個(gè)物塊質(zhì)量差應(yīng)適當(dāng)。（3）多次取平均值可減少測(cè)量誤差，繩子伸長(zhǎng)量盡量小，可減少測(cè)量的高度的準(zhǔn)確度。

點(diǎn)評(píng)：此題為一驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)題。要求根據(jù)物理規(guī)律選擇需要測(cè)定的物理量，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)方法判斷如何減小實(shí)驗(yàn)誤差。掌握各種試驗(yàn)方法是解題的關(guān)鍵。

9. 解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個(gè)水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長(zhǎng)L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加。該過(guò)程中，整個(gè)水柱勢(shì)能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢(shì)能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，則

點(diǎn)評(píng)：本題在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)仍然是用ΔE_增                     =ΔE_減          建立方程，在計(jì)算系統(tǒng)重力勢(shì)能變化時(shí)用了等效方法。需要注意的是：研究對(duì)象仍然是整個(gè)水柱，到兩個(gè)支管水面相平時(shí)，整個(gè)水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

10. 解析：（1）設(shè)物體下落末速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律

設(shè)碰后共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律

2mv₁=mv_{0 ，}  得

碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能力

（2）設(shè)加速度大小為a，有

（3）設(shè)彈簧彈力為F_N，ER流體對(duì)滑塊的阻力為F_ER

受力分析如圖所示

F_S=kx  ，x=d+mg/k

11. 解析：本題中汽車(chē)和重物構(gòu)成連接體，但解題通常取重物作為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理列方程：

要想求出結(jié)果，必須弄清重物位移h和汽車(chē)位移H的關(guān)系；重物速度v^‘和汽車(chē)在B 點(diǎn)速度v的關(guān)系。根據(jù)幾何關(guān)系得出 

由于左邊繩端和車(chē)有相同的水平速度v，v可分解成沿繩子方向和垂直繩子方向的兩個(gè)分速度，如圖所示?？闯?/span>

將③式和②式代入①式即可解得。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于連接體運(yùn)動(dòng)，分析兩物體間的位移關(guān)系、速度關(guān)系是解題的關(guān)鍵，解題時(shí)應(yīng)充分注意。

12. 解析：（1）運(yùn)動(dòng)員從D點(diǎn)飛出時(shí)的速度   v=

依題意，下滑到助滑雪道末端B點(diǎn)的速度大小是30 m/s

（2）在下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒，有   mgh=

下降的高度    h=

（3）根據(jù)能量關(guān)系，有mgh-W_t=

運(yùn)動(dòng)員克服阻力做功W_t=mgH-

13. 解析：（1）設(shè)棒第一次上升過(guò)程中，環(huán)的加速度為a_環(huán)，由牛頓第二定律得

kmg－mg＝ma_環(huán) ，解得：a_環(huán)＝（k－1）g，方向豎直向上

（2）設(shè)棒第一次落地的速度大小為v₁

由機(jī)械能守恒得：

設(shè)棒彈起后的加速度為a_棒，由牛頓第二定律得：a_棒＝－（k＋1）g

棒第一次彈起的最大高度為：

棒運(yùn)動(dòng)的路程為：

（3）設(shè)環(huán)相對(duì)棒滑動(dòng)距離為l

根據(jù)能量守恒 

摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功為：