三角板是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用工具，一幅三角板，由于它的邊和角的特殊性，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，新課程實(shí)施以來，以三角板為背景的中考試題倍受命題者的青昧，大量出現(xiàn)在各地的中考試題中，本文擬從2011年中考試題中以三角板與函數(shù)圖象為背景的試題加以分類賞析，與讀者共享。
一、三角板與反比例函數(shù)圖象的結(jié)合
例1：（金華）如圖1，將一塊直角三角板放在平面直角坐標(biāo)系中，
，
，點(diǎn)
在第一象限，過點(diǎn)
的雙曲線為.在
軸上取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，以直線為對稱軸，線段經(jīng)軸對稱變換后的像是。
⑴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是
⑵設(shè)，當(dāng)與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是 。
解析：⑴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，垂直平分，則易知，點(diǎn)的坐標(biāo)是；
⑵由圖形的對稱變換和含30°角的直角三角形的性質(zhì)易得的取值范圍是：或。
感悟：涉及反比例函數(shù)的問題，有一個(gè)非常實(shí)用的基本結(jié)論：如圖2，從反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)分別作軸，垂足為，軸，垂足為，則矩形的面積=。這個(gè)基本結(jié)論揭示了反比例函數(shù)的本質(zhì)（幾何意義）。運(yùn)用此結(jié)論，還可直接解決一些中考試題。
中考鏈接：
1.（鄂州）如圖3：點(diǎn)在雙曲線上，⊥軸于，且△的面積S△AOB=2，則。
2.（孝感） 如圖4，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且∥軸，、在軸上，若四邊形的面積為矩形，則它的面積為 .
3.（遵義）如圖5，已知雙曲線，，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，且⊥軸于點(diǎn)，⊥軸于點(diǎn)，、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)，則△的面積為 。
4.（東營）如圖6,直線和雙曲線交于、兩點(diǎn),是線段上的點(diǎn)（不與、重合）,過點(diǎn)、、分別向軸作垂線,垂足分別是、、,連結(jié)、、,設(shè)△面積是、△面積是、△面積是，則（ ）
答案：由反比例函數(shù)的幾何意義易知：1，；2，矩形的面積等于2；3，△的面積為：； 4，應(yīng)選。
二、與二次函數(shù)（拋物線）的結(jié)合
例2：（株洲）：孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請解答以下問題：
⑴若測得（如圖7），求的值；
⑵對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖8所示位置時(shí)，過作軸于點(diǎn)，測得，寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
⑶對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。
解析：⑴設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的對稱性可得為中點(diǎn)，又由三角板的特殊性可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為： (，)， 將(，)代入拋物線得，。
⑵此問解法較多，現(xiàn)舉例如下：
如圖8，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
解法一：證△∽△和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
解法二：由解直角三角形和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
解法三：利用勾股定理和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
⑶解法一：設(shè)（，）（），（，）（），
設(shè)直線的解析式為：，得，解得，又易知△∽△，，， ，.由此可知不論為何值，直線恒過點(diǎn)（，）
解法二：設(shè)（，）（），（，）（），直線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)，可得
，
化簡，得. 又易知△∽△，∴ ，
∴， ∴，∴為固定值。故直線恒過其與軸的交點(diǎn)（,）。
解法三： 的值也可以通過以下方法求得：
由前可知，，，由，得：，化簡，得。
例3：（東營）：在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)（2，0），點(diǎn)（1，0），如圖9所示；拋物線經(jīng)過點(diǎn)。
⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑵求拋物線的解析式；
⑶在拋物線上是否還存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使△仍然是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
解析：⑴如圖10，過點(diǎn)作軸，垂足為。易證△≌△，得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）
⑵將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得，即所求拋物線的解析式為：。
⑶假設(shè)存在點(diǎn)，使△是直角三角形。即
①如圖10，若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則延長至點(diǎn)使得，得到等腰直角三角形，過作軸，垂足為。易證△≌△，即，，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），經(jīng)檢驗(yàn)在拋物線上。
②如圖11，若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)作，使得，得到等腰直角三角形，過點(diǎn)作軸，垂足為，同樣可證△≌△?？傻命c(diǎn)的坐標(biāo)為（，1），經(jīng)檢驗(yàn)同樣在拋物線上。
③如圖12，若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)作，使得，得到等腰直角三角形，過點(diǎn)作軸，垂足為，同樣可證△≌△?？傻命c(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)不在拋物線上。
評析：例3實(shí)際上是由2010北京市密云縣的一道中考試題改編而成。
中考鏈接：（2010密云）如圖13，將腰長為的等腰△(是直角)放在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，0)．
⑴點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
⑵拋物線的關(guān)系式為 ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
⑶將三角板繞頂點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△的位置．請判斷點(diǎn)、是否在(2)中的拋物線上，并說明理由。
例4：(紹興)拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn).
⑴如圖14，求點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長；
⑵點(diǎn)在拋物線上，直線交軸于點(diǎn)，連接.①若含角的直線三角板如圖15所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與重合，直角頂點(diǎn)在上，另一頂點(diǎn)在上，求直線的函數(shù)解析式；
②若含角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在直線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在上，求點(diǎn)的坐標(biāo).。
解析：⑴把代入拋物線解析式得，即 ，為對稱軸，，∴。
（2）①如圖15，過點(diǎn)分別作軸，，垂足分別為，。
先證四邊形為矩形，再證△≌△，可得四邊形為正方形。即，∴△為等腰直角三角形，
∴，∴，即、的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，求得，所求直線的函數(shù)解析式為。
②當(dāng)點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)時(shí)，如圖16，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)，，
∴，∴△∽△，∴，
∵，∴，∴∥，∴，∴
賞析：以上試題，借助三角板和函數(shù)基本圖形的基本特征出發(fā)，體現(xiàn)了以下特點(diǎn)：
1.試題背景突出學(xué)科核心主干.把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)
核心主干是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)中的“連結(jié)點(diǎn)”，在上面的試題中，題目以函數(shù)圖象為載體，將三角板在函數(shù)圖象中的不同放置方式作為試題的基本背景，如例1將含的直角三角板放在直角坐標(biāo)系中與反比例函數(shù)圖象相結(jié)合設(shè)置了一個(gè)操作性的對稱變換的綜合性試題。例4分別將含、角的直線三角板按題中要求放置，考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形全等和相似等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。試題的巧妙之處在于問題中的三角板為求解問題提供的數(shù)量依據(jù)。把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。
2.試題解法基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程
以上試題的一個(gè)基本特點(diǎn)是：基于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注“過程與方法”在獲得、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中的重要作用。解決以上試題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要包括2個(gè)層次：第一，來源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，如對的“三角板”的直接認(rèn)識(shí)；第二，建立在日常生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的探究活動(dòng)，如例2將一把含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)，探索在旋轉(zhuǎn)過程中三角板與拋物線的交點(diǎn)的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（，）。
3.試題考查注重理性數(shù)學(xué)思維，體現(xiàn)能力立意命題理念
數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”和“方法”，而是人們學(xué)習(xí)的一種思維模式。在解決以上試題的過程中，學(xué)生要通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得猜想，并在解決問題的過程中進(jìn)行合情推理，有條理地表達(dá)自己的思考過程。如例3以二次函數(shù)為載體，設(shè)置了一塊等腰直角三角板放在直角坐標(biāo)系第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上的情境，要求探索是否還存在一點(diǎn)，使△仍然是以為直角邊的等腰直角三角形，要用分類思考方法。強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以能力立意，以考查學(xué)生的思維品質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)和歸宿，還考慮到學(xué)生升入高中學(xué)習(xí)所必備的數(shù)學(xué)知識(shí)和素質(zhì)，考查了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛質(zhì)。
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