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日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，然而我們對鐘表表面上的時針、分針、秒針之間的夾角（即“鐘面角”）問題可能并沒有在意．其實鐘面角中蘊涵著豐富的數(shù)學知識，我們一起來探究一下“鐘面角”問題吧．

一、認識“鐘面角”

要分析鐘面角，我們首先要結(jié)合其圖形特點，尋找并發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律．

⑴鐘表的表面特點：鐘表的表面都是一個圓形，共有12個大格，每個大格間有5個小格．圓形的表面恰好對應(yīng)著一個周角360°，每個大格對應(yīng)30°角，每個小格對應(yīng)6°角．表面一般有時針、分針、秒針三根指針．

⑵鐘表時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動情況：時針每小時轉(zhuǎn)1大格，每12分鐘轉(zhuǎn)1小格，每12個小時轉(zhuǎn)1個圓周；分針每5分鐘轉(zhuǎn)一大格，每1分鐘轉(zhuǎn)1小格，每小時轉(zhuǎn)1個圓周；秒針5秒鐘轉(zhuǎn)1大格，每1秒鐘轉(zhuǎn)1小格，每1分鐘轉(zhuǎn)一個圓周．

⑶時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)速：有了以上的認識，我們很容易計算出相應(yīng)指針的轉(zhuǎn)速：①鐘表的時針轉(zhuǎn)速為：30°/小時或0.5°/分鐘；②分針的轉(zhuǎn)速為：6°/分鐘或0.1°/秒鐘；③秒針的轉(zhuǎn)速為：6°/秒．

有了這些對鐘面角的基本認識，我們就可以探究與鐘面角有關(guān)的問題了．

二、解決與鐘面角有關(guān)的數(shù)學問題

　?、庇嬎銖哪骋粫r刻到另一時刻，時針（分針）轉(zhuǎn)過的角度

⑴公式法：時（分）針從某一時刻到另一時刻轉(zhuǎn)過的角度=時（分）針轉(zhuǎn)過的時間×時（分）針的轉(zhuǎn)速（注意統(tǒng)一單位）．

⑵觀察法：若時（分）針轉(zhuǎn)過了a大格b小格，則時（分）針從某一時刻到另一時刻轉(zhuǎn)過的角度為：30a+6b°．

例1.⑴從3：15到7：45，時針轉(zhuǎn)過        度．

⑵從1：45到2：05，分針轉(zhuǎn)過        度．

分析：⑴從3：15到7：45，時針走過的時間為4.5小時（270分鐘），∴時針轉(zhuǎn)過的角度為：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）

    或用觀察法：時針共走了4大格2.5小格，∴時針轉(zhuǎn)過的角度為：4×30+2.5×6=135°．

⑵從1：45到2：05，分鐘走過的時間為20分鐘，∴分針轉(zhuǎn)過的角度為：20×6°=120°．

    或用觀察法：分針共走了4個大格（或20小格）∴分針轉(zhuǎn)過的角度為：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．

　?、灿嬎隳骋粫r刻時針（分針）與分針（秒針）之間的夾角

⑴求差法：以0點（12時）為基準到某一時刻止，時針轉(zhuǎn)過的角度與分針在整點后的時間轉(zhuǎn)過的角度差，即時針、分針之間的夾角．

⑵觀察法：某一時刻時針、分針相差a個大格b個小格，時針分針的鐘面角=30a+6b°．

例2．⑴4：00點整，時針、分針的夾角為         ．

     ⑵11：40，時針、分針的夾角為          ．

分析：⑴4：00整，時針、分針相差4個大格，夾角為：4×30°=120°．

⑵①作差法：11：40，以0點（12時）為基準

時針轉(zhuǎn)過的角度為：11

分針轉(zhuǎn)過的角度為：40×6°=240°

∴時針、分針的夾角為：350°－240°=110°

②觀察法：11：40分針、時針相隔3

3

　?、城髸r針、分針成特殊角時對應(yīng)的時間

方程思想：時針、分針成特殊角時對應(yīng)的時間問題，通常以0點（12時）為基準將時針、分針所轉(zhuǎn)過的角度可看成一個追及問題，從而借助方程進行求解．

相等關(guān)系：①整點后分針轉(zhuǎn)過的角度－整點后時針轉(zhuǎn)過的角度=整點時分針、時針的夾角（分針需追趕的角度）+a時x分分針與指針的夾角（分針應(yīng)多轉(zhuǎn)的角度）

②或：分針整點后轉(zhuǎn)過的角度—時針從0點基準到現(xiàn)在時刻轉(zhuǎn)過的角度=所成的特殊角

例3．你能用一元一次方程解決下面的問題嗎？（課本習題P114頁第8題）

在3時和4時之間的哪個時刻，鐘的分針與時針：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．

　　分析：⑴重合：設(shè)3時x分時針、分針重合．3時整，時針、分針的夾角為90°．即在后x分鐘，分針要比時針多走90°，分針才能追及時針重合．

     從3時整到3時x分，分針走過6x度角，時針走過0.5x度角．依題意有

     6x－0.5x=90            解得：x≈16

⑵分針與時針成平角：設(shè)3時x分時針、分針成平角，即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時針，然后還要比時針多走180°．依題意有

     6x－0.5x=90+180        解得：x≈49

⑶分針與時針成直角：應(yīng)分兩種情況討論．

①分針在時針的順時針方向垂直．此時鐘面角為90°．即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時針，然后還要比時針多走90°．依題意有

     6x－0.5x=90+90180        解得：x≈33

②分針在時針的逆時針方向垂直．此時鐘面角為270°．即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時針，然后還要比時針多走270°．依題意有

     6x－0.5x=90+90180        解得：x≈65（不合題意，舍去）

　?、寸娒娼堑木C合應(yīng)用

例4.在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒鐘，OB表示分鐘（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經(jīng)過多少秒后，△OAB的面積第一次達到最大？

分析：△OAB的面積最大，設(shè)OA邊上的高為h，則h總小于等于OB，只有當OA⊥OB時，h=OB，此時△OAB的面積最大．

12點整，分針、秒針重合，設(shè)經(jīng)過x秒，分針、秒針第一次垂直，△OAB的面積第一次達到最大．此時秒針走過角度為6x，分針走過的角度為0.1x．依題意有

6x—0.1x=90       解得x=15

即經(jīng)過15