黃 丹 （江西師范大學(xué)教育學(xué)院）
劉詠梅（江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）
摘要：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)教育研究和實(shí)踐的重要課題.在數(shù)列教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合能夠使學(xué)生在借助圖形直觀理解數(shù)列概念，把握數(shù)列的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)列問題的解決等方面得到有效發(fā)展，從而達(dá)到對數(shù)列知識(shí)的深刻理解.
關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)列教學(xué)；圖形應(yīng)用
隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深化，數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象水平不斷上升．?dāng)?shù)學(xué)課程的抽象水平的提高加大了學(xué)生對數(shù)學(xué)理解的難度，這就要求教師在教學(xué)過程中盡可能借助于圖形的直觀性來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)．?dāng)?shù)列屬于“代數(shù)”范圍的知識(shí)，研究如何在數(shù)列教學(xué)中加強(qiáng)圖形的應(yīng)用，對于幫助學(xué)生理解相關(guān)知識(shí)，防止學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的片面化，掌握數(shù)形結(jié)合思想方法等具有非常重要的意義．
數(shù)列是研究數(shù)量關(guān)系的一塊內(nèi)容，屬于典型的代數(shù)分支的知識(shí)．圖形在直觀理解數(shù)列的知識(shí)、把握數(shù)列的本質(zhì)以及解決數(shù)列問題中都有所應(yīng)用.
一、直觀理解知識(shí)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過程[]．學(xué)生只有把握知識(shí)的來龍去脈，才能從心里接受數(shù)學(xué)知識(shí)，并進(jìn)一步達(dá)到理解的程度．?dāng)?shù)學(xué)的抽象性決定了數(shù)學(xué)來源實(shí)際但不同于實(shí)際，要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與性質(zhì)，常常要借助一些圖形來建立數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系．學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、抽象概括等思維過程，了解了知識(shí)是如何產(chǎn)生的，才能夠順利將知識(shí)同化于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．
1.結(jié)合圖形抽象出數(shù)列概念
數(shù)學(xué)中把“按一定次序排列的一列數(shù)”叫做數(shù)列，如1,2,3,4，…．單從數(shù)列的定義中，我們看到的只是一個(gè)個(gè)數(shù)，難以與生活實(shí)際相聯(lián)系．而教材其實(shí)給出了很多圖形來展示數(shù)列是如何從實(shí)際生活中抽象出來的．以北師大版教材必修5為例，列舉了六個(gè)例子來說明生活中的數(shù)列實(shí)例．其中前四個(gè)都配有圖形，包括幾何圖形、柱形圖、表格和函數(shù)圖象，而且教材中所列舉的圖形基本上涵蓋了數(shù)學(xué)圖形的種類，為什么要這么做呢？圖形因其直觀特點(diǎn)而著稱，是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的橋梁．圖形可以在引入數(shù)列概念之前讓學(xué)生對其有一個(gè)直觀了解．雖然圖形也是數(shù)學(xué)從生活抽象的過程中的一個(gè)產(chǎn)物，但是相對于更抽象的概念，它更貼近學(xué)生的思維水平，因此更容易被學(xué)生接受．教學(xué)中如果忽視了這些圖形的作用，就難以體會(huì)數(shù)學(xué)是來源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象的過程．圖形的直觀無疑可以幫助我們理解抽象的數(shù)學(xué)概念，因此教學(xué)中應(yīng)注重發(fā)掘教材中每一個(gè)圖形對理解抽象概念的促進(jìn)作用．
2. 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，理清數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)表現(xiàn)之一為數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的形式化，教師要把形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)要靠對數(shù)學(xué)的深入理解[]．如果缺乏對數(shù)學(xué)知識(shí)本身的深入理解，就很容易照本宣科，只會(huì)把書上的內(nèi)容重復(fù)一遍，造成索然無味的數(shù)學(xué)課堂．這種無趣的課堂必然難以引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更別談學(xué)好數(shù)學(xué)了．理解數(shù)學(xué)是有效教學(xué)的基礎(chǔ)和前提，其中理清知識(shí)的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)[]是理解數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方面．
心理學(xué)的表征理論認(rèn)為數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)的表征表現(xiàn)為命題網(wǎng)絡(luò)和表象表征的相互交織和融合[1]．在引入數(shù)列概念時(shí)，教材利用了多種類型的圖形使得學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)列的直觀感知，圖形屬于表象表征．然而要深入理解數(shù)列的本質(zhì)，必須經(jīng)過命題網(wǎng)絡(luò)表征．命題網(wǎng)絡(luò)表征對象，可以使該對象成為網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)元素，它不僅可以凸現(xiàn)脫離于表象的內(nèi)涵，而且建立了與其他對象的依存關(guān)系[1]．要形成關(guān)于數(shù)列的命題網(wǎng)絡(luò)表征就是要建立數(shù)列與有關(guān)知識(shí)的聯(lián)系．按照奧蘇貝爾對學(xué)習(xí)的分類，高中數(shù)列的學(xué)習(xí)屬于下位學(xué)習(xí)，數(shù)列的上位概念是函數(shù)．因此數(shù)列與函數(shù)構(gòu)成派生下位關(guān)系．而等差數(shù)列和等比數(shù)列作為兩種特殊的數(shù)列，又與數(shù)列的概念構(gòu)成新的派生下位關(guān)系．通過畫出知識(shí)網(wǎng)絡(luò)可以將這些關(guān)系清晰地表示出來，學(xué)生便可以將數(shù)列學(xué)習(xí)與過去的知識(shí)建立聯(lián)系，從而建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)列知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示.
二、把握數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)
要把握數(shù)列的本質(zhì)，需要將其與前面學(xué)習(xí)的知識(shí)建立實(shí)質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系.通過對數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系的研究可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù).因此數(shù)列的研究可以借助于函數(shù)的研究，即通過研究函數(shù)圖象來獲得其性質(zhì)，從而全面把握數(shù)列的內(nèi)涵.
1.建立數(shù)列概念與函數(shù)的聯(lián)系
數(shù)學(xué)知識(shí)體系是一個(gè)具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的系統(tǒng)性結(jié)構(gòu)．理解數(shù)學(xué)需要把握知識(shí)的來源和去處，即每個(gè)知識(shí)點(diǎn)是從哪里發(fā)展而來，進(jìn)一步又延伸出什么知識(shí)．例如，數(shù)列的上位概念是函數(shù)，數(shù)列的下位概念有等差數(shù)列與等比數(shù)列等．教學(xué)中應(yīng)將所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)起來，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)．因此，對于數(shù)列本質(zhì)的理解，需要將數(shù)列與所學(xué)的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，將數(shù)列內(nèi)容嵌入到已有的知識(shí)體系中，完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)．通過引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列的通項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的變化關(guān)系，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到數(shù)列也是一種函數(shù),函數(shù)關(guān)系才是數(shù)列的本質(zhì).
2.利用函數(shù)性質(zhì)分析數(shù)列相關(guān)問題
通過建立知識(shí)間的聯(lián)系可知，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因而也具有一般函數(shù)的某些性質(zhì)．在學(xué)習(xí)數(shù)列之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，因此可以采用函數(shù)的學(xué)習(xí)方法來學(xué)習(xí)數(shù)列，即通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)性質(zhì)．從圖象中，很容易看出數(shù)列的變化趨勢，從而可以從直觀上把握數(shù)列的單調(diào)性，找到使得數(shù)列達(dá)到最值時(shí)所對應(yīng)的項(xiàng)數(shù).等差數(shù)列和等比數(shù)列作為兩種實(shí)際生活中常用的數(shù)學(xué)模型，其通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn都可以看作關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象是直線上的一些等間隔的點(diǎn)．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的圖象是拋物線上的點(diǎn)．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式分別是指數(shù)型函數(shù)的圖象上的點(diǎn)．因此，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以用前面學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究．
數(shù)列作為研究數(shù)量關(guān)系變化的一個(gè)模型，它所隱含的本質(zhì)仍然是函數(shù)關(guān)系。從函數(shù)的角度看待數(shù)列，一些特殊的數(shù)列可以利用函數(shù)的內(nèi)容和方法進(jìn)行研究.因此，函數(shù)圖象在函數(shù)研究的作用同樣可以遷移到數(shù)列的研究和學(xué)習(xí)中.從此題可以發(fā)現(xiàn)，僅從數(shù)列知識(shí)去解答，過程煩瑣，計(jì)算復(fù)雜，而借助函數(shù)圖象，不僅問題得到了快速的解答，同時(shí)使得數(shù)列的內(nèi)涵得到升華，函數(shù)的外延得到進(jìn)一步擴(kuò)充，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美以及數(shù)形結(jié)合思想.
三、數(shù)列問題的解決
數(shù)列的概念源于現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)的需要，它考查的是事物在相繼發(fā)生的系列時(shí)刻出現(xiàn)的數(shù)量變化[].因此，數(shù)列的基本問題是要找出明確的數(shù)量變化的關(guān)系，即用數(shù)學(xué)公式（包括通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等）精確地表示其變化的規(guī)律.除此之外，數(shù)列知識(shí)也常與其他知識(shí)點(diǎn)，如不等式、函數(shù)來考查學(xué)生對其掌握的程度，因而溝通知識(shí)間的聯(lián)系、構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)也是數(shù)列問題解決的一個(gè)重要方面.而幾何圖形在表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系上具有整體性，因而更能從中發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系和聯(lián)系.
1.依據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律
人類總是對自然界的各種規(guī)律充滿好奇心，所謂認(rèn)識(shí)世界也就是認(rèn)識(shí)世界中的各種規(guī)律．人們研究數(shù)列，實(shí)際上是研究數(shù)列中的各種關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的規(guī)律．我們在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，常常會(huì)接觸到一些找規(guī)律的題目，其實(shí)也就是通過對數(shù)列的前幾項(xiàng)的分析猜想歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．在這個(gè)分析推理找規(guī)律的過程，如能借助圖形獲得意想不到的效果．
距今兩千多年的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖3，1，3，6，10，…，這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；如圖4，1，4，9，16，…，這樣的數(shù)能夠表示成正方形數(shù)．三角形數(shù)和正方形數(shù)都是現(xiàn)在我們所說的數(shù)列，從圖3中可以看出第一個(gè)圖形比第二個(gè)圖形多兩個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)圖形比第二個(gè)圖形多三個(gè)點(diǎn)，第四個(gè)圖形比第三個(gè)圖形多四個(gè)點(diǎn)，因此我們可以猜測第n個(gè)圖形比第n-1個(gè)圖形多n個(gè)點(diǎn)，用數(shù)列的公式表示即為an-an-1=n(n≥2),因此數(shù)列{an}既可以看作一階差分?jǐn)?shù)列，也可看作數(shù)列bn=n的前n項(xiàng)和.如果是看作前n項(xiàng)和，將三角形數(shù)倒過來，再相加就是高斯的倒序相加求前n項(xiàng)和的辦法．而正方形數(shù)的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)相差的值分別為3,5,7，…，因此正方形數(shù)可看作是數(shù)列cn=2n-1的前n項(xiàng)和的結(jié)果．古代學(xué)者所發(fā)明的“形數(shù)”，是我們現(xiàn)在研究數(shù)列的重要方法．
2.借助幾何圖形溝通知識(shí)聯(lián)系
代數(shù)與幾何之間有聯(lián)系，代數(shù)與幾何內(nèi)部之間也有聯(lián)系．正是這種存在普遍的聯(lián)系決定了高考命題的宗旨落在知識(shí)交會(huì)點(diǎn)處．?dāng)?shù)列問題可以與函數(shù)建立聯(lián)系，也可以與三角形等其他知識(shí)建立聯(lián)系．通過溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，數(shù)列問題可以利用其他領(lǐng)域的知識(shí)來解決．當(dāng)數(shù)列問題與幾何知識(shí)聯(lián)系起來時(shí)，幾何圖形常?？梢栽诮忸}中發(fā)揮巨大的作用．
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