想必很多人都見過彩虹（至少彩虹的照片你見過吧）。一說到它，你腦海里總能浮現(xiàn)出一道七色圓弧。但你知道彩虹為什么是彎的嗎？彩虹真的是恰好七種顏色嗎？彩虹的秘密，死理性派告訴你。
古代人對彩虹的觀察和研究
對彩虹的研究最早可以追溯至公元前 4 世紀(jì)。亞里士多德是第一個認(rèn)真研究彩虹的人，他曾指出彩虹最為重 要的幾個特征，比如：
如果太陽在地平線上升起得不太高，彩虹就會出現(xiàn)。彩虹不會出現(xiàn)在夏日的中午 我們可以同時看到兩條形狀相同但顏色順序排列相反的彩虹，其中外側(cè)那條顯得略為松散 彩虹主要由三種（或四種）顏色組成（現(xiàn)代的RGB三原色理論亦基于此）
但是有一個很重要的現(xiàn)象亞里士多德并沒有注意到，那就是兩條虹中間的區(qū)域亮度較暗，直到公元約 200 年雅典哲學(xué)家亞歷山大（Alexander of Aphrodisia）才觀察到這個現(xiàn)象，所以后人就將這條暗帶命名為“亞歷山大暗帶”（dark band of Alexander）。另外，亞里士多德對彩虹的解釋并不正確，他認(rèn)為只有大的鏡子可以反射出物體的全部外形，他把天空中的水滴比做小鏡子，認(rèn)為這個鏡子太小了，不可能反射出整個太陽，但是又必須得有什么東西反射出來，所以會有顏色呈現(xiàn)出來。而且，亞里士多德也沒有注意到光的折射作用。
在此之后，古羅馬哲學(xué)家
塞內(nèi)卡 、波斯物理學(xué)家
海什木 等人也都曾發(fā)表過自己的看法。中國北宋時期一位叫
孫思恭 的精通天文歷算的進士也曾說過“虹乃雨中日影也，日照雨則有之”（沈括《夢溪筆談》），這些均只停留在對現(xiàn)象的思考上，沒有更多深入和本質(zhì)性的研究。
彩虹是怎么形成的
我們現(xiàn)在知道，彩虹的形成和光的折射有關(guān)。所以直到人們發(fā)現(xiàn)折射定律，彩虹問題才有條件被解決。光入射到不同介質(zhì)的界面上會發(fā)生反射和折射，入射光和折射光位于同一個平面上，且與法線的夾角滿足如下關(guān)系：
其中， n 1 和 n 2 分別是兩個介質(zhì)的折射率， θ 1 和 θ 2 分別是入射光（或折射光）與法線的夾角，叫做入射角和折射角。這個定律最早在公元 984 年被波斯科學(xué)家
IbnSahl 精確描述。隨后又被英國科學(xué)家
托馬斯·哈利奧特 （ 1602 年）、荷蘭物理學(xué)家
威理博?斯涅爾 （ 1621 年）、法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（ 1637 年）等人先后獨立發(fā)現(xiàn)這個定律。
其中，笛卡爾利用折射定律，成功解釋了彩虹是如何形成的。笛卡爾假想在一個 AFZ 平面內(nèi)，光線從 AF 處射出，人眼位于 E 處。如果這時把一個代表水滴的圓球放在 BCD 處，那么 D 部分將呈現(xiàn)全紅色且比其它部分都更明亮。而無論是把球向前向后還是向左向右移動，這個現(xiàn)象均不會改變。笛卡爾測出此時的 ∠DEM 約為 42° （ M 為彩虹的圓心）。之后他將 ∠DEM 調(diào)得稍大一些，觀察到紅光立刻就消失了，稍小一些，則能看到黃色、藍色等其它顏色。在仔細檢查 BCD 處的球后，笛卡爾得出結(jié)論：光線 AB 在 B 點處射入球體發(fā)生折射打到 C 點，隨后在 C 點處發(fā)生反射傳遞到 D 點，并在 D 點再次發(fā)生折射而出。
【笛卡爾描繪彩虹是如何形成的。圖片來源：wikipedia.com】
上面這段話并不太好理解，轉(zhuǎn)化成現(xiàn)代語言就是：以空中的一個水珠為例，如下圖所示，光線在水滴內(nèi)發(fā)生兩次折射和一次反射。其中α為入射角，β為折射角。容易看到，角 D（α） 就是最后的光線偏離原始方向的角度。
【圖像來源：plus.maths.org】
那如果一簇平行光線射入水珠又是什么情況呢？如下圖所示，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)水珠兩次折射后，一部分光線散射出去，還有一部分光線則非常密集地射向（大致的）同一方向。實際上
可以證明 ，下圖中越靠近紅線處的光線越密集，光強越大。這條紅線就被稱作為彩虹線。
【圖像來源：plus.maths.org】
要確定這條彩虹線的位置也并不困難。仍然以紅光為例，前面已經(jīng)說過，角 D（α） 是最后的光線偏離原始方向的角度。通過簡單的幾何知識我們?nèi)菀椎玫剑?div style="height:15px;">
而根據(jù)折射定律，有
其中， n f,w 是紅光在水中的折射率（1.33），將上式代入到 D f （α） 的表達式中，繪制 D f（α） 的函數(shù)圖象如下圖藍線所示。從函數(shù)圖中我們可以看到，當(dāng)入射角 α 范圍相等時（ I 1 = I 2），最后的光線偏移量范圍 J 1 比 J 2 間隔更小，也就是說入射角在 I 1 范圍內(nèi)的入射光線（入射光線是平行的，但由于水珠是球形，所以幾乎每條光線的入射角都不相等，而是在一個范圍內(nèi)），光線偏移量的范圍更小。即兩次折射后的光線更加密集，光強更大。
【圖像來源：plus.maths.org】
因此， D f （α） 的最小值就對應(yīng)著彩虹線的位置。通過求導(dǎo)計算，當(dāng) α = 59.58° 時有最小值 D f(α) = 137.48° 。因此，最終的折射光線和入射光線的夾角是 180°- 137.48°= 42.52°。這正是笛卡爾尋找的 ∠DEM，也就是人眼對于彩虹的仰角，稱為紅光的“彩虹角”（Rainbow angle）。我們所看到的彩虹中紅色部分均來在這一角度附近。
【圖像來源：plus.maths.org】
當(dāng)以人的眼睛為頂點，把所有與平行入射光線成 42.52° 彩虹角的光束連接起來，就形成一個紅色的圓錐體。 圓錐底面的圓弧就是彩虹。到這里，我們就成功解決了彩虹為什么是彎的這個讓無數(shù)人困惑的難題。
【所有滿足紅光彩虹角形成的紅色圓錐體.圖像來源：plus.maths.org】
另一方面，對紅光的分析還可以拓展到其它顏色的光線。這樣就可構(gòu)建出彩虹的完整的彩色外形。比如對紫光分析，由于其頻率比紅光高，折射率要高于紅光，所以能計算出其彩虹角為41.07°（取紫光在水中折射率為1.34）。這個值小于紅光，這正是為什么在彩虹中，紫色排在紅色下方的原因。
為什么中午很難看到彩虹
順帶一說的是，你在中午幾乎看不到彩虹。因為從上面的示意圖我們可以看到，太陽位于底面圓心（即彩虹的圓心）與人眼連線的延長線上，這導(dǎo)致了彩虹不會出現(xiàn)在中午——太陽越高，彩虹的圓心將越往地平線以下偏移，這使得彩虹整體下移。當(dāng)然如果從空中俯瞰的話，可以觀察到完整的圓形彩虹。如果沒有飛機，站在視野開闊的高山之巔也有可能看到。
【彩虹不會出現(xiàn)在中午的原因。圖像截自：The Rainbow - Aristotle's Theory】
彩虹是七色的嗎？
說完彩虹的形狀，不妨再說說彩虹的顏色。一種廣為流傳的說法是彩虹由 7 種顏色組成。但事實上彩虹是一道由紅色到紫色的連續(xù)光譜（“光譜”一詞最先由牛頓創(chuàng)造），并非真的只是由 7 種涇渭分明的顏色組成。1665 年牛頓在棱鏡實驗中將可見光分為紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫這 7 種顏色，實際是受到了來源于古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派的影響。畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)是美的（比如他們搞出的“黃金分割”），在禱文中他們認(rèn)為 1 是純潔的， 4 是圣潔的， 10 是萬物之母，而數(shù)字 7 則象征著完美。在牛頓之前，“七原色”（seven principal colours）的概念就已出現(xiàn)在中世紀(jì)的神秘主義和煉金術(shù)理論之中，并在文藝復(fù)興時期成為遵行的顏色理論。
由于不同顏色光的波長都不相同，所以彩虹實際就是可見光的色散，介質(zhì)就是雨后天空中的水滴。人的眼睛可以感知的電磁波波長一般在 400 到 700 納米之間，而這只占寬廣的電磁波譜的極小部分。
【可見光光譜。圖像來源：wikipedia.com】
多重彩虹和亞歷山大暗帶
雖然牛頓在對彩虹的研究中頗有發(fā)現(xiàn)，但是在對彩虹的進一步闡釋中，由于牛頓深陷于光的粒子性理論之中，因此無法解釋“復(fù)虹”（supernumerary rainbow，指有時在一條彩虹的內(nèi)部還可以看到幾條模糊的彩虹）的存在。
直到 1801 年，英國科學(xué)家托馬斯?楊意識到了光在一定條件下還具有波的性質(zhì)，并用雙縫實驗給予了有力的證明。隨后（1804 年）他用“光的干涉”理論完美解釋了復(fù)虹現(xiàn)象：當(dāng)兩條光束從同一個水滴沿相同方向散播出來的時候，它們彼此之間會發(fā)生干涉。若兩光束的光程相差半波長的奇數(shù)倍，則到達觀察者的光強彼此削弱；若相差整數(shù)波長，則光強相互增強。由此造成了一系列位于彩虹內(nèi)側(cè)的明暗相同的光帶。根據(jù)這一解釋，“復(fù)虹”又被稱為“干涉虹”。
【副虹。圖像來源：wikipedia.com】
在上文中我們分析的彩虹又可稱為“主虹”（primary rainbow）。在主虹上方，我們有時還能看到“副虹”（secondary rainbow），也就是文章開頭提到的亞里士多德觀察到的兩條形狀相同但顏色順序排列相反的彩虹的外一層，即我們常說的“霓”。虹是光在水滴內(nèi)經(jīng)過了兩次折射和一次反射的結(jié)果，霓的形成則比虹在水滴內(nèi)多經(jīng)歷了一次反射（就是笛卡爾描述彩虹怎樣形成示意圖中的紅色光線所示），導(dǎo)致它的顏色排布與虹的顏色排布順序相反。霓中不同顏色的光線的彩虹角約在 51°左右，所以它比虹顯得要高。在自然界中，我們最多能觀察到一條副虹，而更高階的副虹則可以通過實驗手段制得。
到這里，霓虹之間的“亞歷山大暗帶”也可以得到解釋了：人眼所能捕捉的光線幾乎全部集中在彩虹線及以下處，而幾乎沒有或者很少有光線高于彩虹線射出，所以虹的上半部是是偏暗的。彩虹線以下射出的光束基本上都是混合了光譜的顏色，呈可見光白色，所以虹的內(nèi)部要更明亮。霓的分析與之相對，由此形成“亞歷山大黑帶”（也就是仰角大約在 42°到 51°之間）。
【虹、霓和亞歷山大暗帶。圖像來源：wikipedia.com】
關(guān)于彩虹各種觀察現(xiàn)象的科學(xué)討論還有很多很多，曾經(jīng)還有人為之還出了一本書，書名為《彩虹橋：藝術(shù)、神話和科學(xué)中的彩虹》（The rainbow bridge: rainbows in art, myth, and science by Raymond L. Lee,Alistair B. Fraser）。本文只討論了彩虹現(xiàn)象其中極小的一部分，涉及到了幾何光學(xué)、波動光學(xué)等知識。20 世紀(jì)的時候，還曾有科學(xué)家用電磁波理論、光子理論等對彩虹現(xiàn)象進行更精確的描述。關(guān)于彩虹的更多有意思的科學(xué)話題，歡迎參看后面的參考文獻。
