用途太多了，多到這樣文章n篇也說不完的地步。敝人不才，愿意拋磚引玉，和大家一起探討。 高等數(shù)學(xué)這個詞是從蘇聯(lián)引進(jìn)的，歐洲作為高等數(shù)學(xué)的發(fā)源地，并沒有這樣的說法。這個高等是相對于幾何（平面、立體，解析）與初等代數(shù)而言，從目前的一般高校教學(xué)，高等數(shù)學(xué)主要指微積分。一般理工科本科學(xué)生，還需要學(xué)習(xí)更多一些，包括概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，線性代數(shù)，復(fù)變函數(shù)，泛函分析等等，這些都可以放到高等數(shù)學(xué)范疇里面。當(dāng)然，這些只是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本的基礎(chǔ)，不過，即使是這個基礎(chǔ)，就可以應(yīng)付很多現(xiàn)實(shí)的任務(wù)。 這里只說說微積分，一言而蔽之，微積分是研究函數(shù)的一個數(shù)學(xué)分支。函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的概念之一，描述變量之間的關(guān)系，為什么研究函數(shù)很重要呢？還要從數(shù)學(xué)的起源說起。各個古文明都掌握一些數(shù)學(xué)的知識，數(shù)學(xué)的起源也很多很多，但是一般認(rèn)為，現(xiàn)代數(shù)學(xué)直承古希臘。古希臘的很多數(shù)學(xué)家同時又是哲學(xué)家，例如畢達(dá)哥拉斯，芝諾，這樣數(shù)學(xué)和哲學(xué)有很深的親緣關(guān)系。古希臘的最有生命力的哲學(xué)觀點(diǎn)就是世界是變化的（德謨克利特的河流）和亞里斯多德的因果觀念，這兩個觀點(diǎn)一直被人廣泛接受。前面談到，函數(shù)描述變量之間的關(guān)系，淺顯的理解就是一個變了，另一個或者幾個怎么變，這樣，用函數(shù)刻畫復(fù)雜多變的世界就是順理成章的了，數(shù)學(xué)成為理論和現(xiàn)實(shí)世界的一道橋梁。 微積分理論可以粗略的分為幾個部分，微分學(xué)研究函數(shù)的一般性質(zhì)，積分學(xué)解決微分的逆運(yùn)算，微分方程（包括偏微分方程和積分方程）把函數(shù)和代數(shù)結(jié)合起來，級數(shù)和積分變換解決數(shù)值計(jì)算問題，另外還研究一些特殊函數(shù)，這些函數(shù)在實(shí)踐中有很重要的作用。這些理論都能解決什么問題呢？下面先舉兩個實(shí)踐中的例子。 舉個最簡單的例子，火力發(fā)電廠的冷卻塔的外形為什么要做成彎曲的，而不是像煙囪一樣直上直下的？其中的原因就是冷卻塔體積大，自重非常大，如果直上直下，那么最下面的建筑材料將承受巨大的壓力，以至于承受不了（我們知道，地球上的山峰最高只能達(dá)到3萬米，否則最下面的巖石都要融化了）?，F(xiàn)在，把冷卻塔的邊緣做成雙曲線的性狀，正好能夠讓每一截面的壓力相等，這樣，冷卻塔就能做的很大了。為什么會是雙曲線，用于微積分理論5分鐘之內(nèi)就能夠解決。 我相信讀者在看這篇文章的時候是在使用電腦，計(jì)算機(jī)內(nèi)部指令需要通過硬件表達(dá)，把信號轉(zhuǎn)換為能夠讓我們感知的信息。前幾天這里有個探討算法的帖子，很有代表性。Windows系統(tǒng)帶了一個計(jì)算器，可以進(jìn)行一些簡單的計(jì)算，比如算對數(shù)。計(jì)算機(jī)是計(jì)算是基于加法的，我們常說的多少億次實(shí)際上就是指加法運(yùn)算。那么，怎么把計(jì)算對數(shù)轉(zhuǎn)換為加法呢？實(shí)際上就運(yùn)用微積分的級數(shù)理論，可以把對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列乘法和加法運(yùn)算。 這個兩個例子牽扯的數(shù)學(xué)知識并不太多，但是已經(jīng)顯示出微積分非常大的力量。實(shí)際上，可以這么說，基本上現(xiàn)代科學(xué)如果沒有微積分，就不能再稱之為科學(xué)，這就是高等數(shù)學(xué)的作用。 數(shù)學(xué)是軟件開發(fā)的基礎(chǔ)，有許多學(xué)數(shù)學(xué)的最后都轉(zhuǎn)行搞軟件。動物數(shù)學(xué) 氣象學(xué)家Lorenz提出一篇論文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀會不會在Taxas州引起龍卷風(fēng)？」論述某系統(tǒng)如果初期條件差一點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果會很不穩(wěn)定，他把這種現(xiàn)象戲稱做「蝴蝶效應(yīng)」。就像我們投擲骰子兩次，無論我們?nèi)绾慰桃馊ネ稊S，兩次的物理現(xiàn)象和投出的點(diǎn)數(shù)也不一定是相同的。Lorenz為何要寫這篇論文呢？ 這故事發(fā)生在1961年的某個冬天，他如往常一般在辦公室操作氣象電腦。平時，他只需要將溫度、濕度、壓力等氣象數(shù)據(jù)輸入，電腦就會依據(jù)三個內(nèi)建的微分方程式，計(jì)算出下一刻可能的氣象數(shù)據(jù)，因此模擬出氣象變化圖。 這一天，Lorenz想更進(jìn)一步了解某段紀(jì)錄的后續(xù)變化，他把某時刻的氣象數(shù)據(jù)重新輸入電腦，讓電腦計(jì)算出更多的后續(xù)結(jié)果。當(dāng)時，電腦處理數(shù)據(jù)資料的數(shù)度不快，在結(jié)果出來之前，足夠他喝杯咖啡并和友人閑聊一陣。在一小時后，結(jié)果出來了，不過令他目瞪口呆。結(jié)果和原資訊兩相比較，初期數(shù)據(jù)還差不多，越到后期，數(shù)據(jù)差異就越大了，就像是不同的兩筆資訊。而問題并不出在電腦，問題是他輸入的數(shù)據(jù)差了0.000127，而這些微的差異卻造成天壤之別。所以長期的準(zhǔn)確預(yù)測天氣是不可能的。 2、動物中的數(shù)學(xué)“天才” 蜜蜂蜂房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅(jiān)固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小。 丹頂鶴總是成群結(jié)隊(duì)遷飛，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精確地計(jì)算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進(jìn)方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結(jié)晶體的角度正好也是54度44分8秒！是巧合還是某種大自然的“默契”？ 蜘蛛結(jié)的“八卦”形網(wǎng)，是既復(fù)雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案。 冬天，貓睡覺時總是把身體抱成一個球形，這其間也有數(shù)學(xué)，因?yàn)榍蛐问股眢w的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。 真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條。奇怪的是，古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學(xué)家告訴我們，當(dāng)時地球一天僅21.9小時，一年不是365天，而是400天。
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