能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.
對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的分析,應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和;分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系,往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.
考向一 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題,關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系,
(1)如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列,部分項(xiàng)成等比數(shù)列,則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來(lái),研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系;
(2)如果兩個(gè)數(shù)列是通過(guò)運(yùn)算綜合在一起的,就要從分析運(yùn)算入手,把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi),再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解.
考向二 數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用
1.?dāng)?shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式,所以我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)列.
解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn):
(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集,而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù),所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn).
(2)轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的條件時(shí),應(yīng)注意題中的限制條件,如函數(shù)的定義域,這往往是非常容易忽視的問(wèn)題.
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
2.?dāng)?shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種:
(1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系;
(2)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問(wèn)題;
(3)考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.
在解決這些問(wèn)題時(shí),要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn),例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性的時(shí)候,可以通過(guò)比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷.在與不等式的證明相結(jié)合時(shí),注意構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式.
考向三 等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
1.?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型
①等差模型:增加或減少的量是一個(gè)固定的常數(shù)c,c是公差;
②等比模型:后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的常數(shù)q,q是公比;
③遞推數(shù)列模型:題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,由此列遞推關(guān)系式.
2.解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的步驟
①審題:仔細(xì)閱讀題干,認(rèn)真理解題意;
②建模:將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;
③求解:求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解;
④還原:將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.
在實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型時(shí),一般有兩種途徑:
①?gòu)奶乩胧郑瑲w納猜想,再推廣到一般結(jié)論;
②從一般入手,找到遞推關(guān)系,再進(jìn)行求解.
考向四 數(shù)列中的探索性問(wèn)題
對(duì)于數(shù)列中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型,解答此類(lèi)問(wèn)題的一般策略是:
(1)先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立,以此假設(shè)為前提進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,從而得到“否定”的結(jié)論,即不存在;
(2)若推不出矛盾,能求得符合題意的數(shù)值或取值范圍,則能得到肯定的結(jié)論,即得到存在的結(jié)果.
考向五 數(shù)列的求和
求數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn),通常有以下幾種方法:
(1)公式法,即直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解;
(2)倒序相加法,即如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中,距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等,則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(3)裂項(xiàng)相消法,即將數(shù)列的通項(xiàng)拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差,然后消去相同的項(xiàng)求和.使用此方法時(shí)必須注意消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),一般未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn).
常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法有:
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