“直覺”(Intuition)一詞實際上有許多種用法。有時它指感性直觀，即可見的，靠感官可直接把握的東西；有時它指非邏輯的，力圖直接領悟事物本質的思考。直覺有時意味著不夠嚴格，不完全；有時意味著對現實原型的信賴，意味著一種籠統的、綜合性的整體判斷。還有些時候，直覺只是被理解為“頓悟”，理解為靈感的閃現。這個詞的用法如此之多，以至于我們不得不明確指在我們的理解。
在這里，我們認為直覺指的是對事物本質的直接領悟或洞察。數學直覺就是對于數學對象事物(結構及其聯系)的某種直接領悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程(但可能包含著“含情推理”形式)的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇。直覺有時以“頓悟”的形式表現出來，但直覺不全是頓悟，有時直覺也以漸悟的形式表現出來。那么，“直覺”和我們前面討論的“想象”有何區(qū)別呢?為什么說較為復雜的想象已進入了直覺領域呢?這就需要考察直覺思維的基本特點，從中看出這種思維形式與數學想象和數學猜測的區(qū)別與聯系。
數學直覺思維總的說來有以下幾個基本特點：
第一，非邏輯性。
數學直覺的產生是不能用普通形式邏輯的推演解釋清楚的。龐卡萊說：“搞算術，就如搞幾何，或搞任何別的科學，需要某種與純邏輯不同的東西。為了表述這個某種東西，我們沒有更好的字眼，只能用‘直覺’一詞”。就是說，直覺是“從事科學發(fā)現所需要的與純邏輯不同的某種東西”。為什么科學發(fā)現需要這種不同于純邏輯的東西呢?因為在探索未知世界規(guī)律的過程中，人們的主觀認識同客觀規(guī)律之問需要經過多次帶有很大偶然性的相互作用才能彼此相符，這中間有機遇，有潛在的經驗和技巧，有來自書本上或和別人談話中的啟示，有思維過程中“觀念原子”千變萬化的分離與組合。所有這些都不是用嚴格的形式邏輯推演能表達清楚的。能夠用邏輯語言描述的數學思維活動，只是整個數學思維活動中很小的一部分。數學的猜測和想象實際上已經具有一定程度的非邏輯性，但總還保存某些邏輯思維成分。猜測和想象的形成與展開要部分借助邏輯思維提供的線索或框架。如果數學思維中非邏輯性極強，邏輯思維成分極弱，那就是我們所說的直覺思維了。我們前面說過，數學形象思維中的數覺和數學觀念的直覺已進入直覺思維領域，就是這個意思。越是復雜的數學想象，越少邏輯性。在邏輯語言無能為力的地方，只能以“直覺”一言以蔽之。直覺看來很神秘，其實它不是人們創(chuàng)造性思維活動的一個真實方面。
第二，自發(fā)性。
數學直覺的產生往往是下意識的(或者說是無意識的)。它有時在朦朧中逐漸涌現，有時如閃電一般突然誕生。無論取漸悟還是頓悟的形式，都是事先未曾料到，不知不覺之中即已獲得。英國數學家哈密爾頓在回憶自己發(fā)現四元數的經過時說到，當他和他的妻子步行去都柏林途中來到勃洛翰橋上時，思想的電路突然接通了，從中落下的火花就是i、j、k之間的基本方程。龐卡萊也曾有過類似經歷。他在進行了一般數學研究之后去鄉(xiāng)間旅行，打算放松一下，不再去想工作了。他說：“我的腳剛踏上剎車板，突然想到一種設想……我用來定義富克斯函數的變換方法同非歐幾何的變換方法是完全一樣的?！边@種突如其來的直覺并不是憑空得來的，而是經過長時間苦心思索之后的產物。人們常稱這種直覺為“靈感”，其實，“靈感”是需要經過充分醞釀的，是要經過下意識的緊張活動積累起思想基礎的，否則就不會有什么靈氣。為什么人們長期鉆研而求之不得，一旦思想放松轉入下意識狀態(tài)，反而以直覺形式取得突破呢?因為過度的形式邏輯推演往往是限制人們思路的，使人們在舊理論的框架里兜圈子，找不到新思路。適當的放松使思路可以輕松自由地舒展。雖然是在下意識狀態(tài)，卻容易接近正確的途徑，取得重大突破。當然，直覺的自發(fā)性要同邏輯思維的自覺性相配合。如果事先沒有通過邏輯思維接近關鍵性觀念的邊緣，使人們有可能利用下意識取得突破，那么靈感或頓悟是永遠不會出現的。
第三，富于情感的作用。
這里所說的情感作用，指的是獲得直覺的激情和對直覺的強烈信念。在數學猜測與數學想象中，或多或少也有情感的作用。但在直覺思維過程中，情感作用得到了充分發(fā)揮，達到登峰造極的地步。一般說來，直覺的產生前后大體上有這樣一些情感變化。直覺產生之前，情緒躁動不安，對某個問題長時問思索而得不到解決，欲罷不能，欲進無路，就很容易產生這種情緒。等到直覺出現時，令人十分驚喜，甚至感到有些神志恍惚，仿佛“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，有一種明顯的解脫感。然后，就是情緒極度高漲，對所獲得的直覺認識執(zhí)著地相信，并以此為基礎連續(xù)工作很長時間毫無倦意。愛因斯坦就曾敘述過自己的這種心態(tài)。他說到獲得靈感后撰寫相對論的第一篇論文時說：“這幾個星期里，我在自己身上觀察到各種精神失?，F象。我好像處在狂態(tài)里一樣?！彼€說：“在最后突破、豁然開朗之前，那在黑暗中對感覺到了卻又不能表達出來的真理進行探索的年月，那強烈的愿望，以及那種時而充滿信心，時而擔憂疑慮的心情——所有這一切，只有親身經歷過的人才能體會?！?/span>
數學直覺思維的上述特點，在較為復雜的數學想象中都有所表現。因此，在許多場合，數學家們往往把二者混用。也有人認為形象思維本身就是數學直覺思維的一個特點。就數學直覺的漸悟形式來說，這個特點是明顯的。但就數學直覺的頓悟形式(或者說“靈感”)而言，很難說有一個較明顯的形象思維過程。因為頓悟是瞬問發(fā)生的，是一種思想上的飛躍。其中是否曾有形象思維的作用，至少現在還弄不清楚。這是一個有待深入研究的問題。
還有些人以為，直覺思維是一種非理性的思維活動，非理性也可看作數學直覺思維的一個特點。這種觀點是不妥的。盡管數學直覺具有非邏輯性、自發(fā)性和情感作用等特點，但它并不是完全無規(guī)律可循的。數學家們通過長期的實踐，已逐漸形成獲得數學直覺的若干指導性原則，如簡單性、統一性、對稱性、美學標準，等等，其具體內容我們后面還要專門分析。這些原則都是可以從科學認識過程的合理性角度加以闡述的，它們在更深的理論層次上反映了數學的一些基本特性，反映了數學各分支之間本質上的有機聯系。數學直覺是在這些原則的指導下，通過自覺或不自覺的思維過程逐漸產生的。因而它們并不是非理性的、不可解釋的神秘的東西。在某種意義上倒可以說，直覺思維包含辯證思維的某些因素，它超越了形式邏輯推演的框架，不自覺地運用了辯證邏輯的推理模式，從而導致了一些重要的科學發(fā)現。當然，直覺思維還不等于辯證思維。但是在直覺思維的深層結構和活動過程中，有可能蘊藏著遠遠超出目前人們對辯證邏輯所了解的內容。這是一個很值得繼續(xù)發(fā)掘的寶庫。
摘自《數學與思維》
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