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    數(shù)學(xué)是一門奇妙的學(xué)科，先看看下面的圖案

         這是一棵勾股樹，感興趣的話自己運用勾股定理畫畫試試吧！

         再看看下面的等式

         數(shù)學(xué)就是這么神奇！

         數(shù)學(xué)中，還有很多奇妙的內(nèi)容。其中幾何中關(guān)于圓就有很多定理、性質(zhì)，讓我們一起來看看，關(guān)于圓的這些好題！

         數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生用尺規(guī)畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a．小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是（      ）

A．勾股定理

B．直徑所對的圓周角是直角

C．勾股定理的逆定理

D．90°的圓周角所對的弦是直徑

【名師指導(dǎo)】    解答這類問題，需要大家熟練掌握垂直平分線、角平分線、垂線等基本圖形的作圖方法，并熟悉它們的性質(zhì).能熟練運用圓周角定理的推論，是正確解答本題的關(guān)鍵.

【思路點撥】    考查尺規(guī)作圖、圓周角定理的推論.從作圖過程可以看出，首先作了線段AB的垂直平分線，然后以線段AB的中點為圓心，以AB為直徑作圓，再以點B為圓心，以a為半徑畫弧，與前圓交于點C.連接AC，即作出了Rt△ABC.∵AB為直徑，∴∠ACB=90°.

【參考答案】    B

1.如下圖,AC與BD是⊙Ⅰ的直徑,AD=4,CD=10,點G是AB上一動點,點E、F、H分別是DC、DG、CG的中點.

(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)填空：

①當(dāng)AG=__________時,四邊形EFGH是菱形;

②當(dāng)AG=__________時,四邊形EFGH是矩形.

【思路點撥】  

 (1)利用三角形的中位線定理與平行四邊形的判定定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)易證四邊形ABCD是矩形.①當(dāng)GD=GC時,四邊形EFGH是菱形,此時AG=BG=5;②若四邊形EFGH是矩形,則∠DGC=90°.利用勾股定理即可求出AG.

【參考答案】  

  (1)證明:在△DCG中，

∵點E、F、H分別是DC、DG、CG的中點,

∴EF∥ CG,HE∥ DG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)①5 

②2或8 

解法提示↙

易證四邊形ABCD是矩形.

①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，

若要使□EFGH為菱形，則有FG=GH，

∴CG=DG.

由矩形的對稱性可知，此時點G為AB的中點，

∴AG=5.

②若四邊形EFGH是矩形,則∠DGC=90°.

設(shè)AG=x,則BG=10-x，

∴DG²=16 x²,CG²=16 (10-x)²,DC²=100，

在Rt△DCG中，由勾股定理可得，DG² CG²=DC²，

即16 x² 16 (10-x)²=100.

解得x=2或8.

∴AG=2或8.

2.如下圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，O為BC邊上一動點，以點O為圓心，OC為半徑作半圓與對角線AC和直線BC分別交于點E、G，連接EG.過點E作直線EF交AB邊于點F，若EF=AF，求證：直線EF為半圓O的切線；

【解題思路】    

連接OE.通過證明∠BAC=∠AEF，∠CEO=∠ACB，可得∠AEF ∠CEO=90°，即∠FEO=90°，即可得出直線EF為半圓O的切線.

【參考答案】

（1）連接OE.

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=90°，

∴∠BAC ∠ACB=90°.

∵EF=AF，OE=OC，

∴∠BAC=∠AEF，∠CEO=∠ACB，

∴∠AEF ∠CEO=90°，

∴∠FEO=90°，

∴直線EF為半圓O的切線.

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