波粒二象性、疊加態(tài)和量子糾纏，這些耳熟能詳?shù)牧孔有袨闊o不揭示了量子力學(xué)的怪異和反直覺。但它們卻精確的描述著我們這個(gè)世界的真實(shí)運(yùn)作方式，被實(shí)驗(yàn)反復(fù)的驗(yàn)證。
在許多科普文章中，作者通常會(huì)用許多的類比和概念試圖準(zhǔn)確地描述量子行為，但如果你想真正的理解量子力學(xué)的運(yùn)作方式，你就必須要了解它背后的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)。因?yàn)橹挥型ㄟ^數(shù)學(xué)，才能告訴我們究竟發(fā)生了什么。
數(shù)學(xué)上，一個(gè)量子物體是由薛定諤方程中的波函數(shù)（一個(gè)復(fù)函數(shù)）所描述的。波函數(shù)代表了系統(tǒng)的狀態(tài)，它告訴了我們一個(gè)特定實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果的概率。為了找到這個(gè)概率，只要簡(jiǎn)單的把波函數(shù)和它的復(fù)共軛相乘就可以了。（具體細(xì)節(jié)可閱讀《量子力學(xué)的核心——薛定諤方程》）這也是為什么量子物體可以表現(xiàn)出波的行為（波函數(shù)）和粒子性質(zhì)（可能結(jié)果）。
△ 一個(gè)量子物體用波函數(shù) Ψ(r , t)表示，在時(shí)間 t，位置 r 探測(cè)到它的概率密度為波函數(shù)的絕對(duì)平方。
但是，薛定諤方程中的波函數(shù)并不是量子力學(xué)的唯一數(shù)學(xué)表述。一個(gè)量子物體也可以用矩陣來描述。正如海森堡所指出的，你觀測(cè)的每種類型的量（比如位置、動(dòng)量和能量）可以用矩陣來表示（即所謂的算符）。通過將算符和量子態(tài)矩陣以特殊的方式相乘，就會(huì)得到一個(gè)特定結(jié)果的概率。波的行為正是在矩陣中不同態(tài)之間的多種聯(lián)系的結(jié)果。
當(dāng)然，事情不會(huì)這么輕易結(jié)束，費(fèi)恩曼在后來發(fā)展了一種新的數(shù)學(xué)表述。他認(rèn)為量子物體的行為是由所有可能歷史的總和所支配的，這種量子力學(xué)的表述被稱為路徑積分。一個(gè)量子粒子要從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B，它必須通過一個(gè)特定的路徑。但由于粒子可以有許多不同的路徑（這跟經(jīng)典粒子很不一樣），你就必須計(jì)算每種可能的路徑，并通過特定的方式把他們加起來決定粒子到達(dá)點(diǎn)B的概率。
△ 費(fèi)曼發(fā)展出來的路徑積分。我們需要考慮從A到B的所有可能路徑，這里只顯示了其中三條可能路徑。（圖片來源：Wikipedia）
其實(shí)，有許多不同的數(shù)學(xué)方法都可以用來描述量子行為。三面提到的三個(gè)只是最常見的，對(duì)于一個(gè)非相對(duì)性的量子理論來說，至少有九個(gè)數(shù)學(xué)模型可以用來描述量子行為。盡管在數(shù)學(xué)上采取了不同的方法，但它們做出的物理預(yù)言都是相同的。當(dāng)我們將這些不同的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用在真實(shí)情況中時(shí)，它們每次給出的答案都是一致的。所以，哪個(gè)數(shù)學(xué)模型是正確的？從實(shí)驗(yàn)角度來說，它們都是正確的。因此，針對(duì)特定的情況你可以選擇使用不同的版本。由此看來，量子理論的實(shí)在和量子理論本身一樣不確定。
也許你會(huì)認(rèn)為之所以有不同的數(shù)學(xué)表述是否是因?yàn)榱孔永碚摰姆粗庇X性質(zhì)造成的，但并不是。因?yàn)?，同樣的事情也發(fā)生在最直觀和明確的牛頓物理上。在牛頓的模型中，物體是固體和真實(shí)的，它們的運(yùn)動(dòng)是由矢量力所支配的。如果你用力推一個(gè)物體，它會(huì)在一個(gè)特定方向加速。這是大家所熟悉的。牛頓大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，這個(gè)途徑被稱為矢量力學(xué)，但并不是唯一的數(shù)學(xué)表述。
拉格朗日和哈密頓等人建立的一套等同的力學(xué)表述方式，稱為分析力學(xué)。在分析力學(xué)中，我們考慮的是約束量（比如物體的能量），而不是力。如果投擲一個(gè)棒球，它的運(yùn)動(dòng)是由動(dòng)能和勢(shì)能所約束的。這些約束決定了棒球的運(yùn)動(dòng)方程。分析力學(xué)也分為拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。在經(jīng)典力學(xué)中還有其它的數(shù)學(xué)表述方式，比如高斯的最小約束原理和阿佩爾方程。它們都使用了不同的數(shù)學(xué)方法，并從不同的指導(dǎo)原理出發(fā)，但仍然給出了相同的預(yù)言。因此哪個(gè)是正確的？是跟力有關(guān)的運(yùn)動(dòng)，或者是限制能量，又或者是其它的？
科學(xué)的一個(gè)基本原則是科學(xué)模型必須是可檢驗(yàn)的。肯定有一個(gè)方法是可以區(qū)分正確的模型和不正確的模型，而最終的裁決者是實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)。但沒有任何規(guī)定說只能夠有一個(gè)有效的理論。由于不同的數(shù)學(xué)表述都與實(shí)驗(yàn)相符，因此它們都是有效的理論。
這或許是最令人驚奇的地方。數(shù)學(xué)的確包含了物理宇宙的真理。它允許我們發(fā)展出從其它方式無法獲得的理解方式。但這個(gè)數(shù)學(xué)真理并不是一個(gè)單一的絕對(duì)觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)是如此的強(qiáng)大，并且巧妙的連接在一起，使我們有了很多通往理解真理的道路。在數(shù)學(xué)世界中，兩個(gè)看起來毫無相關(guān)的領(lǐng)域往往會(huì)揭示出優(yōu)雅的聯(lián)系，而這些聯(lián)系指引我們更深入的理解物理實(shí)在。這是非常美妙的。
因此，如果想要真正理解物理的美，就必須要理解數(shù)學(xué)。雖然并不總是很容易懂，但卻值得為之付出時(shí)間。
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