從前面的討論中我們可以明確地知道，先哲們的思考是深刻的，論證也是有力的。但是我們已經(jīng)談到，先哲們在述說他們的論據(jù)時都忘記了一個根本，那就是人的本性，也就是人之所以被稱為人的本質(zhì)，因為我們說過，抽象了的東西是人抽象出來的，這就不能不依賴人的本性。事實上，就某一個抽象了的東西而言，還應(yīng)當(dāng)依賴于某一個具體的人或者某一群具
體的人，但在這里我們只討論一般意義上的抽象。我想，就認(rèn)識論而言，人的本質(zhì)至少包含兩個內(nèi)容：人的本能和人的能力。
人的本能 雖然人類的文明史可以追溯到五千年以前，但只是到了近代，科學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展才使人真正地認(rèn)識到人是動物，才使人真正地認(rèn)識到人具有動物的本性，這是一種關(guān)于人本性認(rèn)識的回歸，有兩個人物對于這個回歸作出了重要的貢獻(xiàn)，一個表現(xiàn)在科學(xué)方面，是英國生物學(xué)家達(dá)爾文（1809- 1882），另一個表現(xiàn)在哲學(xué)方面，是德國哲學(xué)家叔本華（1788-1860）。
達(dá)爾文 《物種起源》
達(dá)爾史的進(jìn)化論告訴我們，人類是由古代的猿進(jìn)化而來的，古猿則是由更古的其他脊椎動物進(jìn)化的，如此類推，人類是地球生物近40億年進(jìn)化的結(jié)果，而生存競爭和適者生存是進(jìn)化的根本動力，由此可以推斷，人的本能在本質(zhì)上與動物的本能是一樣的。那么，這個一樣的本能是什么呢？這就是生存的意志以及對環(huán)境的適應(yīng)，這個結(jié)論在達(dá)爾文的巨著《物種起源》中被闡述得非常明晰，能夠生存下來的生物不一定是最高級的，也不一定是最強壯的，而是那些最能適應(yīng)生存環(huán)境的。這樣，我們可以進(jìn)一步推斷，這個本能的屬性應(yīng)當(dāng)包括教育與接受教育。對于有大腦的動物，為了生命的延續(xù)，親代必須教育子代適應(yīng)生存環(huán)境，教授予代生活的技能；為了生存，子代也必須主動學(xué)習(xí)未來生活的本領(lǐng)。所有的孩子都有好奇心，他們總是向大人提出各種各樣的問題，這是人的本能，孩子們是為了了解周邊的世界，是為了更好地生存，因此，我們應(yīng)當(dāng)把“學(xué)習(xí)的欲望是孩子的天性”作為教育的真諦；同時，就整體而言，人類對自然的探索、對真理的追求是出于本能。
叔本華 《作為意志和表象的世界》
叔本華并不是哲學(xué)史上的重要人物，以至于一些哲學(xué)史的教材上都不出現(xiàn)他的名字，但他提出了意志的學(xué)說，正如羅素在《西方哲學(xué)史》中對叔本華的評價：“強調(diào)意志是19世紀(jì)和20世紀(jì)許多哲學(xué)的特征，這是由他開始的?！笔灞救A認(rèn)為，人的本質(zhì)就在于意志，那么，什么是意志呢？在《作為意志和表象的世界》中，叔本華說道：
“在我們的身上存在那種借助心靈之光的探求欲望，……但無意識是萬物的原始、自然的狀態(tài)，大部分生物不具備意識，它們按本能行事，即它們的意志?！@些表明，意志是獨立于理智的，似乎按照無意識的特性盲目地起作用。”
為了種族的延續(xù)，人類生存的意識完全可能超越認(rèn)識和思考，意志就是最大限度地延續(xù)生命的欲望，這樣，意志就構(gòu)成了人們各種作為的最初動力?！叭瞬⒉皇潜蛔约嚎匆姷臇|西吸引著向前的，實際上，他們是從后面被推著走的，”人們的許多作為是被自己的感覺，一種朦朧的、下意識的本能所驅(qū)使，只是沒有被自己意識到而已。人生來不僅有學(xué)習(xí)生存本領(lǐng)的欲望，并且也有改變生存條件的欲望，有創(chuàng)造的欲望。因此，我們應(yīng)當(dāng)把“保持并放大孩子學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的天性”作為教育的原則。
我們討論數(shù)學(xué)思想的一個很重要的目的是為了指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育，其中包括大學(xué)的數(shù)學(xué)教育，但更重要的是為了指導(dǎo)中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育，為此，我們從人性的角度討論了教育的一般原則，除此之外，為了討論數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，我們從人性的角度討論了人們之所以進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的原動力，那就是人們需要了解人類所具有的適應(yīng)生存條件的本能，每個個體可能是有差異的，但就總體來說這是一種潛在的意識，也就是叔本華所說的意志。
人的能力從現(xiàn)在開始，我們將對前面的討論進(jìn)行總結(jié)。我們的結(jié)論是：數(shù)學(xué)所研究的那些基本概念不是現(xiàn)實的存在，是人們在數(shù)量和圖形方面對事物本質(zhì)進(jìn)行抽象的結(jié)果。我想，這些基本概念可以分為兩類：對象概念和關(guān)系概念。對象概念是指數(shù)學(xué)所要研究的那些東西，比如自然數(shù)、實數(shù)、三角形等等；關(guān)系概念是指表示對象之間關(guān)系的邏輯術(shù)語，這些術(shù)語
具有因果、轉(zhuǎn)折、遞進(jìn)、對比、補充、選擇等功能，比如所以、同時、存在、相等、屬于、介于等等，借助關(guān)系概念把邏輯應(yīng)用于對象概念之間，就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的基本結(jié)果，關(guān)于其中的邏輯，我們在《圖形抽象的思想基礎(chǔ)》中給予了基本描述。我想，基本結(jié)果大概也可以分為兩類：運算結(jié)果和命題結(jié)果。比如我們在第一部分《數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象》中談到，從加法運算出發(fā)可以通過邏輯得到四則運算，并且把數(shù)的集合由自然數(shù)擴充到有理數(shù)；從極限運算出發(fā)，可以得到微積分以及基于微積分的所有運算，并且把數(shù)的集合擴充到實數(shù)，這些都是運算結(jié)果。再比如在《圖形與圖形關(guān)系的抽象》這一部分我們談到，從歐幾里得幾何出發(fā)，由平行線存在的問題引發(fā)了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何，由度量問題引發(fā)了解析幾何，由變換問題引發(fā)了射影幾何和拓?fù)鋵W(xué)，這些都是命題結(jié)果。當(dāng)然，我們并不要求，也不可能把運算結(jié)果和命題結(jié)果截然分開。
現(xiàn)在的問題是：如果基本概念不是現(xiàn)實的存在，是人創(chuàng)造出來的或者說是人抽象出來的，那么人為什么能夠進(jìn)行抽象的呢？讓我們來仔細(xì)地討論這個問題。
首先，人不僅有求知的本能，也有得到知識的能力。從上面的討論可以看到，從柏拉圖開始，唯實論的支持者都有一個共同的觀點，就是強調(diào)“直觀”的作用，雖然他們的論述方法有所不同，但他們都認(rèn)為這種直觀是獨立于經(jīng)驗的，只與心靈有關(guān)，柏拉圖用的是“通過思想去看見”這樣的話語，笛卡爾強凋了“心靈之光”并認(rèn)為心靈與身體是分離的，萊布尼茨則認(rèn)為心靈與身體是溝通的，康德明晰地說出了“純粹直觀”并給出了明確的定義，以至到后來數(shù)學(xué)的幾個學(xué)派都非常強調(diào)理性的作用，并且認(rèn)為直觀是認(rèn)識數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，他們的這種唯心主義的先驗的認(rèn)識論始終得到非議，如果不討論認(rèn)識的方法而只討論認(rèn)識的存在，那么問題可以歸結(jié)為：人是否具有一種先驗的、與思維有關(guān)的東西呢？
這種東西是存在的?，F(xiàn)代生物學(xué)表明，人確實具有一種與生俱來的、與思維有關(guān)的東西，這種東西至少以兩種方式存在：基因和大腦。
DNA 堿基對
基因儲存了某一個生物物種的近40億年的生存信息，基因正確的稱謂應(yīng)當(dāng)是脫氧核糖核酸，即DNA，這是由四種形式的堿基對組成的，用A、C、T、G來表示這四種形式，于是DNA就是一本由這四個字母按一定的規(guī)律排列而成的“天書”，其中的編碼區(qū)及其調(diào)控區(qū)域才是我們通常所說的基因。不同生物的天書是不同的，DNA儲存了合成該物種維持生命性狀和生命活動所需蛋白質(zhì)的全部信息，也就是說，DNA儲存了決定某個物種之所以成為這個物種的全部信息。因此，人類的基因不僅儲存了形成人體的生物信息，也提供了形成人的感覺器官、神經(jīng)系統(tǒng)和大腦的信息，這就是人能夠感覺和思維的物質(zhì)基礎(chǔ)，對子代而言，這個物質(zhì)基礎(chǔ)是先驗的。
進(jìn)入新世紀(jì)以來，腦科學(xué)、神經(jīng)科學(xué)以及認(rèn)知科學(xué)的研究發(fā)展迅猛，雖然還有許許多多的問題沒有研究清楚，但現(xiàn)今所有的研究結(jié)果都表明：笛卡爾所說的是不對的，人的心靈與人的身體是不可分割的，也就是說，心理學(xué)與生理學(xué)是不可分割的；洛克所說的也是不對的，人的心靈并不是一個空白無物的白板，而是一個功能齊全的分析器，不僅具有信息的儲存功能，也具有信息的分析和判斷功能。隨著汁算機技術(shù)的廣泛應(yīng)用和信息科學(xué)的飛速發(fā)展，人們已經(jīng)感覺到信息科學(xué)與技術(shù)的強大威力，可是這個威力與人的認(rèn)知相比還是微不足道的。
由此可以認(rèn)為，人與生俱來的、與后天的經(jīng)驗無關(guān)的“直觀”的物質(zhì)基礎(chǔ)確實是存在的，但是，這些哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家的述說中都有一個致命的缺憾，就是把這種先驗的存在僵化了。事實上，沒有后天的經(jīng)驗，這種直觀不能得到充分表達(dá)。一門新興的被稱為“表觀遺傳學(xué)”的學(xué)科的研究表明，雖然基因這個物質(zhì)基礎(chǔ)是存在的，但必須在適當(dāng)?shù)臅r間給基因一定的
刺激，否則基因不能得到充分表達(dá)。如果一個人8歲之前不練習(xí)說話，那么他以后說話就會不流暢。這個事實在動物那里也有明顯的表現(xiàn)，許多人工飼養(yǎng)的動物，因為沒有在適當(dāng)?shù)臅r機對于生存的基因（尋找食物和自我保護）給予適當(dāng)?shù)拇碳?，就使得它們喪失了在自然環(huán)境中自我生存的能力。
如果說上面所說的刺激還屬于感性經(jīng)驗的范疇，那么就理性而言，思維過程特別是基于邏輯的思維過程也是一種經(jīng)驗，一個經(jīng)歷豐富并且善于反思的人，他的直觀能力就必然會得到增強。因此，直觀不是一成不變的，隨著經(jīng)驗的積累其功能是可能逐漸加強的。我相信，上面所說的那幾位哲人的“直觀”都得到了充分的表達(dá)，并且在他們不問斷地觀察、思考、
判斷的過程中，直觀能力越來越得到加強。
綜上所述，只有把“先天的存在與后天的經(jīng)驗”有機結(jié)合才能形成人的直觀能力。由此也可以知道，每一個孩子都存在著潛能，而我們的教育必須激活這種潛能。這樣，至少可以給數(shù)學(xué)教育兩個重要啟迪：一個是應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)?shù)臅r機給予適當(dāng)?shù)慕逃?；一個是在傳授知識的同時也應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)直觀。因此，直觀的培養(yǎng)不能單純依賴傳授，更重要的是依賴本人親身參與其中的活動，包括觀察、思考、判斷等等。這樣，我們也可以給出一個更加直接的教育目標(biāo)：積累活動經(jīng)驗。在這里，我絲毫沒有不重視知識傳授的意思，我只是針對目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，強調(diào)在傳授數(shù)學(xué)知識的同時也要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的直觀，強調(diào)這種直觀的培養(yǎng)必須要幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗。
為了便于操作，我們大體上可以把經(jīng)驗分為兩類：感性經(jīng)驗和邏輯經(jīng)驗。感性經(jīng)驗也依賴思靠，但更多的是依賴觀察：邏輯經(jīng)驗也依賴觀察，但更多的是依賴思考?；蛟S，邏輯經(jīng)驗之后形成的直觀就起到了康德所說的純粹直觀的作用，但是，這種直觀的形成是在經(jīng)驗之后而不是在經(jīng)驗之前。
我們用了很大的篇幅來討論直觀，這是因為數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確立依賴于推理，也就是說，在大多數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的。所謂“看”是一種直接判斷，這種直接判斷建立在長期的有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上，當(dāng)然，這個“看”出來的結(jié)果的正確性必須經(jīng)過證明，必須經(jīng)過演繹推理的檢驗。這就像我們做很多事情那樣，先建立起一個目標(biāo)，然后再踏踏實實地向這個目標(biāo)邁進(jìn)，事實上，不僅僅是數(shù)學(xué)，在許多學(xué)科中對于結(jié)果的預(yù)測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀，我們可以推測，很可能因為柏拉圖強調(diào)的是“看”的本身，而亞里士多德強調(diào)的是“看”的原因，所以亞里士多德的觀點才會遭到那么多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的反對。
我想，現(xiàn)在我們已經(jīng)能夠清晰地回答“人為什么能夠獲取知識”這個問題了，這就是因為人具有一種能力，我們姑且稱這個能力為“直觀能力”。直觀能力的存在是先天的，但一個好的直觀能力的養(yǎng)成卻是依賴于經(jīng)驗的，如果把這個能力應(yīng)用于事物的抽象，就構(gòu)成了抽象能力，因此抽象能力的養(yǎng)成也是依賴經(jīng)驗的。再一次回顧前面的討論，我們可以體會到，人們是如何利用抽象這個有力的思維工具，從日常生活和生產(chǎn)實踐的具體事物開始逐漸構(gòu)建
了現(xiàn)在的數(shù)學(xué)體系；我們還可以體會到，對數(shù)學(xué)抽象過程的深入考察，也有利于我們把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。
下一部分《數(shù)學(xué)中的演繹推理》主要是針對方法論的討論，其中包括一般意義上的抽象方法和數(shù)學(xué)推理的基本方法，我們還將討論這些方法的合理性。
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