二次函數(shù)的最值問題是中考壓軸題的常見考點，一般情況下，給定區(qū)間后，最值問題分成兩種情況：頂點在區(qū)間內(nèi)與頂點在區(qū)間外。頂點在區(qū)間內(nèi)比較好解決，最值即頂點縱坐標值，頂點在區(qū)間外，則相對麻煩，需要根據(jù)拋物線開口方向判斷函數(shù)增減性，取區(qū)間端點值比較。
題目
如圖，點A，B，C都在拋物線y=ax2-2amx+am2+2m-5（其中-1/4<a<0）上，AB∥x軸，∠ABC=135°，且AB=4.
(1)填空：拋物線的頂點坐標為___________(用含m的代數(shù)式表示)；
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示)；
(3)若△ABC的面積為2，當2m-5≤x≤2m-2時，y的最大值為2，求m的值.
解析：
(1)雖然函數(shù)表達式中的字母參數(shù)較多，但并不影響將其化為頂點式，y=a(x-m)2+2m-5，于是可看出頂點坐標為(m,2m-5)；
(2)本題難點之一，常規(guī)思路中，欲求三角形面積，必先知底與高，而底AB=4，于是僅需求出高即可。過點C作AB邊上的高，交AB延長線于點D，如下圖所示：
題目條件中的∠ABC=135°，很容易得到等腰Rt△BCD，于是設CD=h=BD，拋物線對稱軸為x=m，加上AB=4，于是分別得到點A和點B的橫坐標為m-2和m+2，代入其中一個至二次函數(shù)解析式，可表示出它們的縱坐標為4a+2m-5，即B(m+2，4a+2m-5)，接著可寫出點C坐標為(m+2+h，4a+2m-5-h)，再次代入到二次函數(shù)解析式中，得到ah2+4ah+h=0，由于h≠0，因此h=(-4a-1)/a，現(xiàn)在可以表示出△ABC的面積S=-8-2/a；
類似的解法還可以延長CB，與對稱軸交于點F，再連接AF，同樣可得到等腰Rt△ABF，需要注意的是，要根據(jù)對稱性證明這個結(jié)論，如下圖：
可表示出點F的坐標，進而表示點C坐標，再代入二次函數(shù)解析式，可達到同樣目的，有興趣可以推導一下；
(3)給出△ABC的面積，我們可求得a=-1/5，接下來，就是對取值范圍的理解了，二次函數(shù)的最大值，在沒有取值區(qū)間限制時，通常是其頂點縱坐標，但在有區(qū)間限制時，便要考慮區(qū)間端點的值了。這個區(qū)間范圍，兩端的值分別為2m-5和2m-2，它們相距3個單位，是個定距，于是我們可以將它們看作x軸上一條定長線段，位置可移動，相對的，拋物線的對稱軸就有可能出現(xiàn)三種情況：對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右，如下圖：
分別就這三種情況進行討論：
①m<2m-5，此時m>5，當x=2m-5時，y有最大值2，代入二次函數(shù)解析式中，求得m=10+2√10；
②2m-5<m<2m-2，此時2<m<5，當x=m時，y有最大值2，直接用頂點坐標，求得m=3.5；
③2m-2<m，此時m<2，當x=2m-2時，y有最大值2，代入二次函數(shù)解析式中，求得m的值不符合條件；
綜上所述，m=3.5或10+2√10；
解題反思：
本題第2小題難度頗高，含參數(shù)的方程會“嚇退”一部分學生，而在第3小題中，對有區(qū)間限制的二次函數(shù)最值方法理解不到位，也可能會導致學生出現(xiàn)困難。在講解過程中，可以將區(qū)間看成一個籃子，去捕捉那只最值蟲，籃子可動，蟲子終會捉住。
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