我們都知道，到三角形三個頂點距離相等的點是其外接圓的圓心——外心，外心可以在三角形內(nèi)部或外部，還可以在邊上。有一個點到三角形三個頂點的距離有特殊關(guān)系，它叫做“費馬點”。它有什么樣的特征和性質(zhì)呢，下面我們先從一個點到頂點的距離最值開始說起。
一、三角形內(nèi)任意一點到兩個頂點的距離之和小于三角形另外兩邊之和
本題選自人教版2013八年級上冊第29頁第9題，是一道幾何不等式的填空題，要確定邊之間的不等關(guān)系。我根據(jù)題意把它改編成一道文字證明題：“三角形內(nèi)任意一點到兩個頂點的距離之和小于三角形另外兩邊之和”。
已知：如圖O為△ABC內(nèi)的任一點，
求證：AB+AC>OB+OC.
證明：延長BO，交AC于點D，
在△ABD中，AB+AD>OB+OD，
在△OCD中，OD+DC>OC，
兩邊相加得AB+AD+ OD+DC
>OB+OD+ OC，
∴AB+AC>OB+OC.
點評：本題的幾何不等式是關(guān)于邊的，因此我們很快聯(lián)想到用“三角邊的三邊關(guān)系”來證明。
二、三角形內(nèi)任意一點到三個頂點的距離之和小于周長而大于周長的一半
已知：如圖，O為△ABC內(nèi)的任一點，
求證：（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
證明：∵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
即（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC；
∵三角形中任意兩邊之差小于第三邊，
∴CA-CO＞AO，BC-BO＞CO，AB-AO＞BO，
兩邊相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，
即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO），
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO，
∴（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
點評：本題的幾何不等式是兩邊夾的形式，“三角邊的三邊關(guān)系”里既有兩邊之和大于第三邊，也有兩邊之和小于第三邊，剛好提供了兩邊夾形式。
三、那三角形內(nèi)又是否存在一點，使得該點到三個頂點的距離之和最??？
答案是：存在，這個點叫做該三角形的費馬點。
已知：如圖，△ABC中，∠A＜120°，∠B＜120°，∠C＜120°，P是三角形內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值。
解題思路：如下圖在同側(cè)作兩個等邊三角形，一個等邊△BPF，另一個等邊△ABE。由于PB=PF，易證△BPA≌△BFE，有PA=FE，所以，PA+PB+PC=FE+PF+PC。顯然，當(dāng)E、F、P、C四點共線時，F(xiàn)E+PF+PC取得最小值CE，也就是AB邊對的兩個頂點C和E所連的線短。
特別指出，用三角形任意一條邊向外作等邊三角形都是可以的。若以△ABC的三邊為邊，分別向外作等邊三角形BCF、ACD、ABE，連接AF、BD、CE，則有以下四個結(jié)論：
（1）AF=BD=CE。因為△ACF≌△DCB，所以AF=DB，同理可證BD=CE；
（2）AF、BD、CE交于一點P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，即費馬點P對邊的張角均為120°；
（3）P到A、B、C三頂點距離的和最小，且PA+PB+PC=AF=BD=CE；
（4）PE平分∠APB，PF平分∠BPC，PD平分∠CPA.
其中點P就是△ABC的費馬點，也叫托里拆利點。
【費馬點的位置】
當(dāng)△ABC最大內(nèi)角小于120°時，P在△ABC內(nèi)部，且滿足∠APB=∠APC=∠BPC=120°；
當(dāng)△ABC有一內(nèi)角不小于120°時，P點與最大角的頂點重合；
當(dāng)△ABC為等邊三角形時，此時內(nèi)心與費馬點重合。
四、三角形費馬點的應(yīng)用
本題是人教版2013八年級上冊第83頁第12題的變式。
例.如圖1，已知等邊△ABC和等邊△ADE共用頂點A，連接BD、CE交于點O．
（1）求證：BD=CE
（2）直接寫出∠BOE＝______．
（3）連AO，求證：AO平分∠BOE．
（4）分別取BD、CE的中點M、N，求證：△AMN為等邊三角形．
第一問思路：根據(jù)條件易證△BAD≌△CAE，得BD=CE。
第二問思路：由費馬點的作法可知，圖1中O為△ADC的費馬點，根據(jù)結(jié)論（2），BD和CE的夾角∠BOE＝120°。
第三問思路：如圖2，在EC上截取EI＝DO，連接AI，證△ADO≌△AEI，得△AOI是等邊三角形，所以∠AOB＝∠AOE＝60°。如果作為選填題的話，直接根據(jù)結(jié)論（2）和（4）就可以得出AO平分∠BOE。
第四問并不難，大家可以自己試著證明一下。
五、結(jié)語
通過對上述例題的觀察我們會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)共頂點的兩個等邊三角形沒有面積重疊時，就是費馬點基本圖形。
如圖1，連接CD構(gòu)造出△ACD之后，我們就會發(fā)現(xiàn)點O就是△ACD的費馬點。很多同學(xué)都只把目光聚焦在兩個等邊三角形這個特殊的條件上，可一旦我們跳出思維定式，就可以看到隱藏在圖形之中的△ACD，很多問題就能迎刃而解了。
實際上三角形內(nèi)一點到三個頂點距離之和最小的問題是由法國職業(yè)律師皮埃爾·德·費馬向意大利科學(xué)家托里拆利（就是用汞柱測出標(biāo)準(zhǔn)大氣壓那個）提出的，但由后者給出解決方案并成功找到費馬點（也叫托里拆利點，三個等邊三角形的外接圓稱為托里拆利圓）。但你可別以為費馬只是一名職業(yè)律師，他作為業(yè)余數(shù)學(xué)家給世人們留下了最著名的數(shù)論瑰寶就是大名鼎鼎的“費馬大定理”。是不是很有趣呢？小斌老師相信每一位熱愛數(shù)學(xué)的同學(xué)經(jīng)過自己不懈的努力，以后也可以在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有所建樹。
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