你的數(shù)學直覺怎么樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們將連載這種反直覺的有趣數(shù)學問題。如果你感興趣的話，你可以先試著用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少。
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我們來開始今天的題目：
16． A 、 B 兩人為一件小事爭執(zhí)不休，最后決定用拋擲硬幣的辦法來判斷誰對誰錯。不過，為了讓游戲過程更刺激，兩人決定采用這樣一種方案：連續(xù)拋擲硬幣，直到最近三次硬幣拋擲結果是“正反反”或者“反反正”。如果是前者，那么 A 獲勝；如果是后者，那么 B 獲勝。理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．A 獲得游戲的勝利
B．B 獲得游戲的勝利
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
乍看上去， B 似乎沒有什么不同意這種玩法的理由，畢竟“正反反”和“反反正”的概率是均等的。連續(xù)拋擲三次硬幣可以產生 8 種不同的結果，上述兩種各占其中的 1/8 。況且，序列“正反反”和“反反正”看上去又是如此對稱，獲勝概率怎么看怎么一樣。
不過，實際情況究竟如何呢？實際情況是，這個游戲并不是公平的—— A 的獲勝概率是 B 的 3 倍！雖然“正反反”和“反反正”在一串隨機硬幣正反序列中出現(xiàn)的頻率理論上是相同的，但別忘了這兩個序列之間有一個競爭的關系，它們要比賽看誰先出現(xiàn)。一旦拋擲硬幣產生出了其中一種序列，游戲即宣告結束。這樣一來， B 就處于了一個非常窘迫的位置：不管什么時候，只要擲出了一個正面，如果 B 沒贏的話， B 就贏不了了——在出現(xiàn)“反反正”之前， A 的“正反反”必然會先出現(xiàn)。
事實上，整個游戲的前兩次硬幣拋擲結果就已經(jīng)決定了兩人最終的命運。只要前兩次拋擲結果是“正正”、“正反”、“反正”中的一個， A 都必勝無疑， B 完全沒有翻身的機會；只有前兩次擲出的是“反反”的結果， B 才會贏得游戲的勝利。因此， A 、 B 兩人的獲勝概率是三比一， A 的優(yōu)勢絕不止是一點。所以說，這道題目的正確選項為 A 。
似乎是還嫌游戲雙方的勝率差異不夠驚人， 2010 年， Steve Humble 和 Yutaka Nishiyama 提出了上述游戲的一個加強版。去掉一副撲克牌中的大小王，洗好剩下的 52 張牌后，一張一張翻開。一旦出現(xiàn)連續(xù)三張牌，花色依次是紅黑黑，那么玩家 A 加一分，同時把翻開了的牌都丟掉，繼續(xù)一張張翻沒翻開的牌；類似地，一旦出現(xiàn)連續(xù)三張牌恰好是黑黑紅，則玩家 B 得一分，棄掉已翻開的牌后繼續(xù)。
容易看到，加強版游戲相當于是重復多次的擲硬幣游戲，因而毫無疑問，在這個新游戲中，玩家 A 的優(yōu)勢還會進一步放大。電腦計算顯示， A 獲勝的概率高達 93.54% ， B 獲勝的概率則只有可憐的 2.62% 。另外 3.84% 則是兩人平手的概率。然而，即使是這樣，這個游戲看上去也會給人一種公平的錯覺！
這個例子告訴我們，在賭博游戲中，直覺并不是準確的，求助概率論是很有必要的。
其實，概率論的誕生本來就和賭博游戲是緊緊聯(lián)系在一起的。提到概率論的誕生，不得不提一位名叫 Antoine Gombaud 的法國作家。這人出生于 1607 年法國西部的一個小城市，他并不是貴族出身，但他卻有著“騎士”的光輝頭銜——不過那只是他自封的而已。他借用了一個自己筆下的人物形象名稱，自封為 de Méré 騎士。后來，這個名字便逐漸取代了他的真名 Antoine Gombaud 。不過， de Méré 騎士并沒有憑借自己的文學作品名揚天下，真正讓他聲名遠揚的是他的賭博才能。而足以讓他在歷史上留名的，則是他對一個賭博游戲的思考。
在 17 世紀，法國賭徒間流行著一個賭博游戲：連續(xù)拋擲一顆骰子 4 次，賭里面是否會出現(xiàn)至少一個 6 點。這個游戲一直被視為是一個公平的賭博游戲，直到 1650 年左右， de Méré 在另一個類似的游戲中莫名其妙地輸?shù)盟膫€荷包一樣重。當時， de Méré 參加了這個賭博游戲的一個“升級版”：把兩顆骰子連續(xù)拋擲 24 次，賭是否會擲出一對 6 點來。
de Méré 自己做了一番思考。同時拋擲兩顆骰子出現(xiàn)一對 6 ，比拋擲一顆骰子出現(xiàn) 6 點要困難得多，前者的概率是后者的 1/6 。要想彌補這個減小了的概率，我們應當把兩顆骰子連續(xù)拋擲 6 次。為了追上連續(xù)拋擲 4 次骰子出現(xiàn)一個 6 的概率，則應當把兩顆骰子拋擲 24 次才行。 de Méré 果斷地得出結論：在升級版游戲中出現(xiàn)一對 6 的概率，與傳統(tǒng)游戲中出現(xiàn)一個 6 的概率是相等的，升級版游戲換湯不換藥，與原來的游戲本質完全一樣。
不過，這畢竟是不嚴格的直覺思維，事實情況如何還得看實戰(zhàn)。在以前的游戲中， de Méré 總是賭“會出現(xiàn) 6 點”，經(jīng)驗告訴他這能給他帶來一些細微的優(yōu)勢。于是這一回， de Méré 也不斷押“會出現(xiàn)一對 6”。不料，這次他卻賠得多賺得少，最終輸了個精光。
這是怎么一回事兒呢？作為一個業(yè)余數(shù)學家， de Méré 感到里面有玄機。但是，憑借自己的數(shù)學知識，他沒有能力解決這個難題。無奈之下，他只好求助當時的大數(shù)學家 Blaise Pascal 。
Pascal 可是真資格的數(shù)學家。他很快便意識到，這種問題的計算不能想當然，事實和直覺的出入可能會相當大。比方說， de Méré 的直覺就是有問題的：重復多次嘗試確實能增大概率，但這并不是成倍地增加。拋擲一顆骰子出現(xiàn) 6 點的概率為 1/6 ，但這并不意味著拋擲骰子 4 次會出現(xiàn)一個 6 點的概率就是 1/6 的 4 倍。無妨想一個更極端的例子：按此邏輯，拋擲一顆骰子 6 次，出現(xiàn)至少一次 6 點的概率似乎就該是 6/6 ，也即 100% ，但這顯然是不對的。如果拋擲骰子 6 次以上，出現(xiàn)一個 6 點的概率就會超過 100% ，這就更荒謬了。
看來，概率不能簡單地加加減減，每一步推理都要有憑有據(jù)。 Pascal 考慮了游戲中所有可能出現(xiàn)的情況，算出了在新舊兩種版本的游戲中，會出現(xiàn)一個（或一對） 6 點的概率分別是多少。
連續(xù)拋擲 4 次骰子，總共會產生 64 ，也就是 1296 種可能。不過在這里面，一個 6 點都沒有的情況共有 54 ，也就是 625 種。反過來，至少有一個 6 點就有 1296 – 625 = 671 種情況，它占所有情況的 671 / 1296 ≈ 51.77% ，恰好比 50% 高出那么一點點?？磥?， de Méré 的經(jīng)驗是對的——眾人公認的公平游戲并不公平，賭 6 點會出現(xiàn)確實能讓他有機可乘。
那么，連續(xù)拋擲兩顆骰子 24 次，能出現(xiàn)一對 6 的概率又是多少呢？這回計算的工程量就有點大了。兩顆骰子的點數(shù)有 36 種組合，連拋 24 次則會有 3624 ，大約是 2.245 × 1037 種情況。而 24 次拋擲中，從沒產生過一對 6 點的情況數(shù)則為 3524 ，大約為 1.142 × 1037 ?？梢运愠觯绻€ 24 次拋擲里會出現(xiàn)一對 6 ，獲勝的概率是 49.14% 。又一個非常接近 50% 的數(shù)，只不過這次是比它稍小一些。
原來，升級版游戲并不是換湯不換藥。兩種游戲勝率雖然接近，但正好分居 50% 兩邊。這看似微不足道的差別，竟害得我們的“騎士”馬失前蹄。
后來，這個經(jīng)典的概率問題就被命名為“de Méré 問題”。在解決這個問題的過程中， Pascal 提出了不少概率的基本原理。因此， de Méré 問題常被認為是概率論的起源。
當然， de Méré 的故事多少都有一些杜撰的成分，大家或許會開始懷疑，在現(xiàn)今世界里，有沒有什么還能玩得到的“偽公平游戲”呢？答案是肯定的。為了吸引玩家，賭場想盡各種花樣精心設計了一個個迷魂陣一般的賭局。在那些最流行的賭博游戲中，莊家一方總是會稍占便宜；但游戲規(guī)則設計得如此之巧妙，以至于乍看上去整個游戲是完全公平，甚至是對玩家更有利的?！镑蛔訑S好運”（chuck-a-luck）便是一例。
“骰子擲好運”的規(guī)則看上去非常誘人。每局游戲開始前，玩家選擇 1 到 6 之間的一個數(shù)，并下 1 塊錢的賭注。然后，莊家同時拋擲三顆骰子。如果這三顆骰子中都沒有你選的數(shù)，你將輸?shù)裟?1 塊錢；如果有一顆骰子的點數(shù)是你選的數(shù)，那么你不但能收回你的賭注，還能反贏 1 塊錢；如果你選的數(shù)出現(xiàn)了兩次，你將反贏 2 塊錢；如果三顆骰子的點數(shù)都是你選的數(shù)，你將反贏 3 塊錢。用賭博的行話來說，你所押的數(shù)出現(xiàn)了一次、兩次或者三次，對應的賠率分別是 1:1 、 1:2 、 1:3 。
用于拋擲三顆骰子的裝置很有創(chuàng)意。它是一個沙漏形的小鐵籠子，三顆骰子已經(jīng)預先裝進了這個籠子里。莊家“拋擲”骰子，就只需要把整個沙漏來個 180 度大回旋，倒立過來放置即可。因此，“骰子擲好運”還有一個別名——“鳥籠”（birdcage）。
18 世紀英國皇家海軍的水手間流行過一種叫做“皇冠和船錨”（Crown and Anchor）的賭博游戲，其規(guī)則與“骰子擲好運”一模一樣。唯一不同之處只是骰子而已。普通骰子的六個面分別是 1 點到 6 點，而“皇冠和船錨”所用骰子的六個面則是六種不同的圖案——撲克牌的黑、紅、梅、方，再加上皇冠和船錨兩種圖案。之后，“賭博風”又蔓延到了商船和漁船上，“皇冠和船錨”也就逐漸走出了皇家海軍的圈子。一般認為，這也就是“骰子擲好運”的起源了?，F(xiàn)在，很多賭場都提供了“骰子擲好運”的賭博項目。
對玩家而言，這個游戲看上去簡直是在白送錢：用三顆骰子擲出 6 個數(shù)中的一個，怎么也會有一半的概率砸中吧，那玩家起碼有一半的時間是在賺錢，應當是穩(wěn)賺不賠呀。其實，這是犯了和 de Méré 一樣的錯誤——一顆骰子擲出玩家押的數(shù)有 1/6 的概率，并不意味著三顆骰子同時拋擲就會有 3/6 的概率出現(xiàn)此數(shù)。在拋擲三顆骰子產生的所有 63 種情況中，玩家押的數(shù)一次沒出現(xiàn)有 53 種情況，所占比例大約是 57.87% 。也就是說，大多數(shù)時候玩家都是在賠錢的。
不過，考慮到賺錢時玩家有機會成倍地贏錢，這能否把輸?shù)舻腻X贏回來呢？一些更為細致的計算可以告訴我們，即使考慮到這一點，游戲對玩家仍然是不利的：平均每賭 1 塊錢就會讓玩家損失大約 8 分錢。不過，我們還有另一種巧妙的方法，無需計算便可看出這個游戲對玩家是不利的。
這顯然是一個沒有任何技巧的賭博游戲，不管押什么勝率都是一樣的。因此，不妨假設有 6 名玩家同時在玩這個游戲，這 6 個人分別賭 6 個不同的點數(shù)。此時玩家聯(lián)盟的輸贏也就足以代表單個玩家的輸贏了。
假設每個人都只下注 1 塊錢。拋擲骰子后，如果三顆骰子的點數(shù)都不一樣，莊家將會從完全沒猜中點數(shù)的三個人手中各賺 1 塊，但同時也會賠給另外三人各 1 塊錢；如果有兩顆骰子點數(shù)一樣，莊家會從沒猜中點數(shù)的四個人那里贏得共 4 塊，但會輸給另外兩人 3 塊；如果三顆骰子的點數(shù)全一樣，莊家則會贏 5 塊但虧 3 塊。也就是說，無論拋擲骰子的結果如何，莊家都不會賠錢！雖然一輪游戲下來有的玩家賺了，有的玩家虧了，但從整體來看這 6 名玩家是在賠錢的，因此平均下來每個玩家也是在不斷輸錢的。
17．同時拋擲 6 顆骰子，出現(xiàn)下面哪種情況的可能性更大一些？
A．不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個
B．不同數(shù)字的個數(shù)為 1 、 2 、 3 、 5 或 6 個
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案竟然是 A ，沒想到吧！賭博游戲的勝率常常違反直覺，這道題目又是一個經(jīng)典的例子。同時拋擲 6 顆骰子，一共會產生 66 = 46656 種情況。其中，不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個的情況有多少種呢？如果 6 顆骰子里只有 4 個不同的數(shù)字，那么有的數(shù)字出現(xiàn)了至少 2 次。事實上，各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)只有以下兩種可能的分布類型：
前者一共有 C(6, 3) × C(6, 4) × 4! = 7200 種具體的情況，其中 C(6, 3) 表示出現(xiàn)了 3 次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 3 次， C(6, 4) 表示這 4 個數(shù)字究竟是哪 4 個數(shù)字。后者一共有 C(6, 2) × C(4, 2) × C(6, 4) × 4! / 2 = 16200 種具體的情況，其中 C(6, 2) 表示第一個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 2 次， C(4, 2) 表示第二個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 2 次， C(6, 4) 表示這 4 個數(shù)字究竟是哪 4 個數(shù)字，最后的結果除以 2 的原因是，第一個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)和第二個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)有可能分別是我和你，也有可能分別是你和我，這被算重了。
因此，不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個的情況一共有 7200 + 16200 = 23400 種，它占總數(shù)的 23400 / 46656 ≈ 50.154321% 。
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