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如圖，在邊長為

的正六邊形ABCDEF中，連接BE，CF，其中點M，N分別為BE和CF上的動點。若以M，N，D為頂點的三角形上等邊三角形，且邊長為整數(shù)，求該等邊三角形的邊長

這是一題江西省中考的真題，主要考察圖形動點變化的分析能力，需要分類討論解決。

解法如下：

連接FD交BE于G，連接BD交CF于H，設(shè)CF與BE相交于O點。

ABCDEF為正六邊形，易知FD

BE，且G為OE中點，同理BD

CF，且H為OC中點。

由邊長為

，以及

OED為等邊三角形，可以計算出DG=9，DF=18，同理DH=9，DB=18。

可知M在BE上運動，M點與G點重合時，MD的距離最短，MD=9，M點與B點重合時，MD距離最大，MD=18。同理ND也同樣成立

以下分類討論M點的運動情況：

（1） M點在G點上，易證為

GHD為等邊三角形，此時N點在H點，滿足等邊三角形且邊長為9，得到一組解，邊長為9

（2） M點從G運動到O點的情況，與從G運動到E點的情況一致，合并討論

注意，此時M點到D點的距離滿足 9=DG<MD<=OD<11

只有一個可能性的解，MD=10，以下我們來找到這個點。如下圖，取NH=MG，易證

DGM

DHN，所以

GDM=

HDN，MD=ND得到

MDN=

GDH=60度，因此

MDN為等邊三角形，令MD=10，可知MG=

時成立，得到一組解，邊長為10

（3） M點在O點與B點之間運動

注意，此時M點到D點的距離滿足OD<MD<OB=18

因此，若要MD=ND，N點只能在OF上，易知此

MDN不可能為等邊三角形

（4） M點在B點上，易證

MDN為等邊三角形，此時N點在F點，滿足等邊三角形且邊長為18，得到一組解，邊長為18

綜上，有3組解，分別為9、10、18，解畢

小結(jié)：通過圖形對稱性的分析，分析動點移動的情況，并分類討論得到整數(shù)解的各種情況。題目難度整體不算太高，但是很容易漏掉解，整個過程可以細細品味。

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