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學(xué)習(xí)新教材、探究新習(xí)題(三)---幾個(gè)有著幾何背景的代數(shù)推理證明題

注明:此題設(shè)計(jì)是一種“數(shù)形結(jié)合”形式,題目的條件是用幾何形式給出的,而結(jié)論卻是以代數(shù)形式出現(xiàn)的,解題中借形解題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。如第(1)問(wèn),利用A、C兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即可找到關(guān)于所求參數(shù)的方程,通過(guò)解方程求出參數(shù)的值,第(2)問(wèn)是配方法求最值問(wèn)題。

此題讓我想起1997年的一個(gè)高考題如下:

注明:這個(gè)高考試題題目本身設(shè)計(jì)也是一種“數(shù)形結(jié)合”形式,題目的條件是用代數(shù)形式給出的,而結(jié)論卻是以幾何形式出現(xiàn)的:

下面給出羅增儒教授多年前用差異分析法做出的分析與解答供大家欣賞:

(原分析與解答刊載于03年之前的《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》)《好題妙解》欄目)

分析:分析法的特點(diǎn)是“抓住結(jié)論,由需知找可知,靠找已知去探究解題思路”。

還要指出,作為妙解,我們并不需要獨(dú)立求出(3)式子,直接由(1)式導(dǎo)出(2)式就可以了。

注明:分析這個(gè)題的解題過(guò)程可以看出,關(guān)鍵是得出(3)式,而(3)式的本質(zhì)是對(duì)數(shù)的換底公式,對(duì)數(shù)的換底公式并不限定底數(shù)是2,8才能進(jìn)行,也就是說(shuō),題目對(duì)底數(shù)為2,8的依賴(lài)是非實(shí)質(zhì)性的,從而推廣立即成為可能。

下面題目也是由幾何背景命制的習(xí)題

【新人教版實(shí)驗(yàn)教材P101綜合運(yùn)用8】

分析:題目本身設(shè)計(jì)是依據(jù)函數(shù)的幾何性質(zhì)(函數(shù)的凹凸性)而設(shè)計(jì)的一個(gè)代數(shù)證明題,是“數(shù)形結(jié)合”的另一種形式,體現(xiàn)了由圖形直觀進(jìn)而上升到邏輯推理的認(rèn)識(shí)過(guò)程,證明從略。

為此我們可以把所學(xué)過(guò)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行猜想及證明。

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