各位朋友，大家好！今天，“數(shù)學(xué)視窗”給大家講解一道有關(guān)數(shù)形結(jié)合的幾何綜合題，這道題目中的條件比較多，需要解決兩個小題，有一定的難度。大家在做題時必須完全弄清所給出的條件之間的聯(lián)系。此題考查了圓的綜合運(yùn)用、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和公式等知識。下面，我們就一起來看這道例題吧！
例題：（初中數(shù)學(xué)綜合題）如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA．
（1）若點(diǎn)A可在優(yōu)弧BC上運(yùn)動，且∠BAC=60°，OA=1，求△ABC面積的最大值．
（2）若點(diǎn)E在線段OA上，OE=OD，連接DE，設(shè)∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正數(shù)），若∠ABC＜∠ACB，求證：m+2=n．
分析：大家想要正確解答一道數(shù)學(xué)題，必須先將大體思路弄清楚。下面就簡單分析一下此題的思路：
（1）連接OB、OC，則∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，即可求OD=1/2OB=1/2OA；由于BC長度為定值，所以當(dāng)BC邊上的高最大，△ABC面積就最大，據(jù)此即可求解；
（2）設(shè)∠OED=a，由圖可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na，據(jù)此即可求解．
解答：（以下的過程僅供參考，可以部分進(jìn)行調(diào)整，并且可能還有其他不同的解題方法）
（1）解：如圖，連接OB、OC，
∵OD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2，
在直角三角形BOD中，
BO=OA=1，OD=1/2，
∴BD=√3/2，
∵BC長度為定值，
∴當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，
即AD經(jīng)過點(diǎn)O時，AD最大，
故：AD=AO+OD=3/2，
∴△ABC面積的最大值為：
1/2×BC×AD
=1/2×2BD×3/2
=1/2×√3×3/2
=3√3/4；
（2）證明：設(shè)∠OED=a，則∠ABC=ma，∠ACB=na，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-ma-na
=1/2∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2ma，（圓周角定理）
∴∠AOD=∠COD+∠AOC
=180°-ma-na+2ma
=180°+ma-na，
∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=a，
∴∠AOD=180°-2a，
即：180°+ma-na=180°-2a，
化簡，得：m+2=n．
（完畢）
這道題考查了圓的內(nèi)容、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和公式等知識，解答本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角的關(guān)系，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解。溫馨提示：朋友們?nèi)绻胁幻靼字幓蛘哂懈玫慕忸}方法，歡迎大家給“數(shù)學(xué)視窗”留言或者參與討論。
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