十幾年前為朋友寫的一篇咨詢文章。這篇文章從一個(gè)最簡(jiǎn)單的物理概念——正弦波出發(fā)，逐步定義了各種音高、各種音程、各種三和弦和大小調(diào)式的概念，直至在最后給出了do、re、mi、fa、sol、la、si（音階）的定義。我們?cè)谖闹锌梢宰⒁獾?，大小三和弦、主和弦、屬和弦等等這些重要概念，是需要先于音階被定義的。而不是先有音階，再定義do、mi、sol為大三和弦。在文章一開始，我們就必須研究，怎樣兩個(gè)單音共同發(fā)聲會(huì)好聽，而這是后面一切概念的基礎(chǔ)。這些都說明了和聲在西方音樂體系中的重要地位。
一、樂音
聲音是一種縱波?；蛘呖梢愿纱嗾f，聲波就是縱波。因?yàn)樵谝磺校ú还馐菤鈶B(tài)的）彈性媒質(zhì)中的縱波，只要頻率在20Hz和20000Hz之間，都可以被人耳感受到，或者說人耳就是一個(gè)感受縱波的器官。（而人眼是一個(gè)感受橫波的器官，它感受的是一定頻率之間的電磁波。美中不足的是，它不能感受一切橫波，比如海浪——至少不能直接感受。）而頻率在這個(gè)范圍之外的縱波，也被叫做聲波（次聲波和超聲波），所以說縱波=聲波大概是不錯(cuò)的。
我們知道，正弦波是宇宙中最簡(jiǎn)單最純凈的波，所以正弦聲波也是宇宙中最簡(jiǎn)單最純凈的聲音。在音樂上所謂的“單音”，就是指具有某個(gè)特定頻率的正弦聲波。這個(gè)正弦聲波（單音）的頻率叫音高。人們把頻率為440Hz的單音定義為中音A。
現(xiàn)在我們來討論一個(gè)問題：兩個(gè)單音同時(shí)發(fā)聲，疊加起來的聲音是怎樣的呢？先來看看兩個(gè)完全相同的單音疊加時(shí)的情況（例1）。
我們看到疊加后還是一個(gè)正弦波，頻率沒變，振幅增加了一倍。這就是說，疊加后還是一個(gè)單音，音高沒變，音量增加了一倍。
現(xiàn)在試試這樣兩個(gè)單音，單音B的頻率是單音A的一半（例2）：
這次疊加后不再是正弦波了，也就是說，它不再是單音了。但波形還是很有規(guī)律，并且頻率和原來單音B的頻率是一樣的。我們可以想象，這樣有規(guī)律的聲音我們聽來多半不會(huì)難聽（事實(shí)上是更好聽了）。但是注意，我們不能再說它有什么“音高”了，因?yàn)榍懊鎸?duì)音高的定義是：正弦聲波（單音）的頻率叫音高。對(duì)于非正弦聲波，音高沒有定義。
再來看看單音B的頻率是單音A的三分之二的情形（例3）：
這個(gè)疊加后的波形比上一個(gè)又要復(fù)雜一些，但是仍然有規(guī)律。它的頻率是單音A的三分之一，或者單音B的一半（看周期更明了一些，周期是頻率的倒數(shù)）。
有趣的是，上帝給了我們的耳朵這樣一個(gè)功能：只要你有足夠的樂感，就能夠從疊加后的那個(gè)看上去奇形怪狀的波形中，聽出它是由單音A和單音B疊加而成的。這是一個(gè)應(yīng)該讓數(shù)學(xué)家們羞愧無地的功能：就算最出色的數(shù)學(xué)家，你給他上面那個(gè)疊加后的波形，他也未必能瞬間把它解析成兩個(gè)正弦波。
以上的例子中，單音A和單音B的頻率都有一個(gè)比較小的最小公倍數(shù)。那么，隨便找兩個(gè)單音來疊加會(huì)發(fā)生什么樣的情況呢？在下面的例子中，單音B的頻率是單音A的1.1225倍。就是說這兩個(gè)音的頻率比較接近（例4）。
天啊，這是什么東西呢？和前面那幾條優(yōu)美曲線比起來這簡(jiǎn)直就是一個(gè)怪胎。別以為它是左右對(duì)稱的，那是你的錯(cuò)覺。它看上去的對(duì)稱是不精確的，事實(shí)上它沒有任何精確的規(guī)律。但是且慢，我們把它延長一下會(huì)看出點(diǎn)規(guī)律來：
事實(shí)上這是一個(gè)顫音。它看上去有一個(gè)周期，但這又是你的錯(cuò)覺。它的每一個(gè)“周期”內(nèi)的部分都是不同的，有微小差別。這里我們不做數(shù)學(xué)證明，但你可以想象一下，既然單音A和單音B的頻率沒有一個(gè)比較小的最小公倍數(shù)，它們疊加的結(jié)果憑什么會(huì)在短期內(nèi)有精確的重復(fù)呢？
現(xiàn)在我們總結(jié)出這樣一件事：最后一個(gè)例子不具備前面幾個(gè)例子的一個(gè)共性，即疊加后的聲波具有嚴(yán)格意義上的精確的穩(wěn)定的頻率。雖然在宏觀上它也有規(guī)律，但在微觀上它是雜亂無章的。那么，現(xiàn)在我們可以把聲音分為兩類，一類有精確穩(wěn)定的頻率，一類沒有。這樣分類不是做數(shù)學(xué)游戲，因?yàn)槲覀兊亩鋵?duì)這個(gè)區(qū)別非常敏感。在聽到前一類聲音時(shí)我們通常感到愉悅，而聽到后一類聲音時(shí)卻會(huì)煩躁不安，并且這兩種情形是涇渭分明的。我們不妨把前一類聲音叫樂音，把后一類叫噪音。顯然，當(dāng)兩個(gè)單音的頻率有較小的最小公倍數(shù)時(shí)，這兩個(gè)單音的疊加會(huì)具有不太大的精確而穩(wěn)定的頻率，即這樣兩個(gè)單音共同發(fā)聲會(huì)發(fā)出樂音。
怎樣的聲音會(huì)讓我們感到更加愉悅，或者說更好聽呢？噪音顯然是難聽的，因?yàn)樗牟ㄐ翁珶o序。正弦聲波夠有序了，但也不見得就是最好聽的，因?yàn)樗珕握{(diào)。事實(shí)證明，上面例1例2中的疊加音，比噪音和單音都好聽，因?yàn)樗錆M了豐富而有序的變化。這種“有序”，音樂上稱為“和諧”。這就好比，一塊畫布上隨機(jī)地涂滿各種顏色，你會(huì)覺得很難看。但是如果它涂滿了紅色，你也未必就覺得好看。真正讓人愉悅的畫布一定是通過畫家的勞動(dòng)，其顏色充滿有機(jī)而豐富的變化的畫布。
二、純律
很自然地，單音將成為構(gòu)成音樂（旋律與和聲）的基本元素。但是既然我們知道并非每兩個(gè)單音共同發(fā)聲都好聽，我們就有必要構(gòu)造一個(gè)盡量完美的單音的體系。上面我們有了這樣的結(jié)論：兩個(gè)單音的頻率有較小的最小公倍數(shù)時(shí)，這兩個(gè)單音共同發(fā)聲是和諧的?？磥硪獦?gòu)造和諧的單音體系，我們得做一些分?jǐn)?shù)游戲了。
1.主音和八度
我們可以先隨便找一個(gè)單音來作為基準(zhǔn)。這個(gè)音最好不高不低，頻率大概是幾百赫茲吧，但是為了表述方便，我們?cè)O(shè)它的頻率為1，并把它命名為主音。
多大頻率的單音和它具有最簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系呢？當(dāng)然是2和1/2。這里要引入音程的概念，音程是指兩個(gè)單音的音高的差距，但這個(gè)差距是用倍數(shù)來描述的。也就是說，1/2和1之間的音程，與1和2之間的音程是相等的，都是兩倍。又，音程是個(gè)雙向同性的概念，我們說A到B的音程B到A的音程是一回事，所以如果兩個(gè)音程互為倒數(shù)的話（如4/3和3/4），我們說它們是相等的。無疑，音高差為兩倍的單音共同發(fā)聲是最和諧的，這就是前面例2的情形（請(qǐng)不要抬杠說，例1的情形，即兩個(gè)相同的單音發(fā)聲才是最和諧的：你不能因?yàn)槟愫湍阕约翰攀亲詈椭C的就打一輩子光棍吧）。
我們的體系需要包容最大范圍內(nèi)的單音，因此這個(gè)體系得是“開放式”的，即無限循環(huán)的。因此，我們把那個(gè)2和1/2，以及4，8，16……和1/4，1/8，1/16……都叫做主音，把兩個(gè)相鄰主音之間的音程叫“一個(gè)八度”。也就是說，如果兩個(gè)單音的頻率相差一倍，我們就說它們之間相差一個(gè)八度。至于為什么不叫七度或九度，這里先不解釋，你暫時(shí)把“八度”當(dāng)成一個(gè)單音詞好了。
這樣，我們就得到了一個(gè)大的框架：一些相鄰音程是一個(gè)八度的主音向雙向無限地排列下去。當(dāng)然這個(gè)無限只是數(shù)學(xué)上的，事實(shí)上當(dāng)這個(gè)隊(duì)列走進(jìn)超聲波或次聲波的范圍時(shí)你就聽不見了?，F(xiàn)在我們只需研究一個(gè)八度之內(nèi)的單音體系，再把它復(fù)制到所有八度當(dāng)中去就可以了。
兩個(gè)相差八度的單音之間的頻率關(guān)系，是畢達(dá)哥拉斯首先注意到的。他發(fā)現(xiàn)按住一根琴弦的正中間彈撥余下的部分，所得的音高比彈奏空弦正好高一個(gè)八度。其實(shí)琴弦的長度與其固有頻率之間的反比關(guān)系，是后來的物理學(xué)成果，畢氏那時(shí)連頻率的概念都沒有。他只是狂喜于“數(shù)學(xué)果然能解釋一切”而已。
2．屬音和下屬音
我們已經(jīng)有了一系列“等距”的主音，那么，除了頻率相差一倍的音之外，還有什么音和主音是最和諧的呢？先考慮從1到2之間的這個(gè)八度:在這之間哪個(gè)數(shù)和1具有最簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系？顯然，是3/2。這個(gè)數(shù)和1的最小公倍數(shù)是3。相對(duì)于主音，我們把它命名為屬音。
剛才是從主音1（可別念成do，記住這個(gè)1表示主音的頻率）往上找的，現(xiàn)在往下找找看：在1和1/2之間，哪個(gè)數(shù)和1具有最簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系？那自然是2/3了，它們的最小公倍數(shù)是2。因?yàn)檫@次是往下找的，我們把2/3命名為下屬音。
屬音和下屬音這個(gè)概念不僅表示一些特定音高的音，還表示一種倍數(shù)關(guān)系。我們說“某個(gè)音的屬音”，就是指頻率為這個(gè)音頻率的3/2的音。同樣，說“某個(gè)音的下屬音”，就是指頻率為這個(gè)音頻率的2/3的音。比如，一個(gè)頻率是300Hz的音，它的屬音是450Hz,它的下屬音是200Hz。又如，我們可以說，主音是下屬音的屬音，同時(shí)主音又是屬音的下屬音，具體的數(shù)值關(guān)系你可以自己驗(yàn)證一下。
我們可以看到，一個(gè)音和它的屬音的音程，與它和它的下屬音的音程是相等的，都是2/3（或3/2）。這也是一個(gè)重要的音程，就如我們把音程2（或1/2）命名為八度一樣，我們把這個(gè)音程（2/3或3/2）命名為純五度。
我們有兩種辦法可以把屬音和下屬音復(fù)制到所有的八度里去。一種是：所有和屬音相差八度的音（即頻率是屬音的兩倍或二分之一），都叫做屬音。3/2的一半是3/4，所以在1/2到1這個(gè)八度里，屬音的頻率是3/4。另一種辦法是，所有主音的屬音（用到了上面說的倍數(shù)關(guān)系的概念）都叫做屬音。考慮1/2這個(gè)主音，它的屬音是（1/2）*（3/2）=3/4。這和前一種辦法不謀而合。同理，在1和2之間的這個(gè)八度中，下屬音是4/3。但是我們注意，這個(gè)4/3雖然也叫下屬音，但并不是主音（1）的下屬音，而是主音（2）的下屬音。它和主音（1）的音程是4/3，我們把這個(gè)音程叫做純四度。
好了，現(xiàn)在我們的體系里已經(jīng)有了三個(gè)音。在1到2這個(gè)八度中，它們分別是（按頻率從小到大排列）：主音（1），下屬音（4/3）和屬音（3/2）。現(xiàn)在我們知道這三個(gè)音是構(gòu)成一個(gè)調(diào)式的最基本的音。
3．中音和下中音
上面我們一直在探討兩個(gè)單音共同發(fā)音的情形。那么，若有三個(gè)兩兩和諧的單音共同發(fā)聲，是不是效果會(huì)更豐富呢？
我們注意到，下屬音（4/3）和屬音（3/2）之間的關(guān)系并不太和諧：它們的最小公倍數(shù)是12，一個(gè)要乘9，一個(gè)要乘8，這個(gè)疊加波要經(jīng)過那么長一段才有精確重復(fù)，我們的耳朵有些受不了了。可見，主音，下屬音和屬音三者共同發(fā)聲是不和諧的。要找兩兩和諧的三個(gè)音，我們只有以主、屬或主、下屬為基礎(chǔ)，分別找出第三個(gè)音來。
先考慮主音（1）和它的屬音（3/2）。在1和2之間，有哪個(gè)分?jǐn)?shù)和它們都有簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系？4/3已經(jīng)試過了，不行（是被我們的耳朵否決了）。5/3呢，它和3/2的最小公倍數(shù)是15，更差。再看分母是4的分?jǐn)?shù)。5/4，它和1的最小公倍數(shù)是5，和3/2的最小公倍數(shù)是15/2。對(duì)于這個(gè)15/2，3/2要乘5，5/4要乘6，不算太大，還算和諧，但再大（比如前邊說的一個(gè)乘9一個(gè)乘8）就不和諧了。你也許要說我強(qiáng)詞奪理：哪有這么涇渭分明的，你憑什么自定這和諧與不和諧的標(biāo)準(zhǔn)？這標(biāo)準(zhǔn)可不是我定的，而是我們的耳朵，或者說是它的制造者上帝定的——我們就接受了罷。另一個(gè)以4為分母的分?jǐn)?shù)7/4，不如5/4合適，你可自行驗(yàn)證一下。
現(xiàn)在這第三個(gè)音我們似乎找到了，就是5/4。它和主音的音程是5/4，屬音和它的音程是6/5。這兩個(gè)音程也是重要音程，分別叫做大三度和小三度。如前所說，兩個(gè)音程為小三度的單音還算是和諧的，但比它再不和諧就不算和諧了，小三度是和諧關(guān)系的最低標(biāo)準(zhǔn)。大三度和小三度“加”起來（事實(shí)上應(yīng)該說是乘起來）就是純五度：（5/4）*（6/5）=3/2。
但是且慢！這個(gè)5/4是不是唯一符合我們要求的頻率值呢？顯然，只要兩個(gè)音程“加”起來是純五度，并且這兩個(gè)音程足夠簡(jiǎn)單（就是說分子分母的最小公倍數(shù)足夠?。?，就符合我們要求。大三度和小三度“加”起來是純五度，那小三度和大三度“加”起來不也是純五度嗎？比主音（1）高一個(gè)小三度的音是6/5，它和屬音（3/2）的音程是5/4，正是一個(gè)大三度。
現(xiàn)在我們看到，頻率為5/4和6/5的音，完全等價(jià)地符合我們的要求（就是找一個(gè)和主音、屬音兩兩和諧的第三個(gè)音），這個(gè)“完全”的程度簡(jiǎn)直就像那頭倒霉的驢子左右的兩堆稻草。我們比那頭驢子要狡猾一些，這兩堆稻草我們都要。請(qǐng)注意，這個(gè)“都要”的結(jié)果是：一個(gè)重要的分野由此開始。在這兩個(gè)對(duì)稱的基礎(chǔ)上，分別發(fā)展出了兩個(gè)數(shù)學(xué)上相似，但藝術(shù)感覺上完全不同的兩個(gè)調(diào)式體系。
這個(gè)5/4和6/5，因?yàn)槭窃谥饕艉蛯僖舻闹虚g找到的，我們把它們命名為中音。由主音、中音和屬音共同發(fā)聲，效果非常好聽，并且你取兩個(gè)不同的中音時(shí)，感覺會(huì)有微妙的不同。主音（1）、中音（5/4）、屬音（3/2）這個(gè)架構(gòu)，相鄰的兩個(gè)音程依次是大三度（5/4）、小三度（6/5），我們把它命名為大三和弦。主音（1）、中音（6/5）、屬音（3/2）這個(gè)架構(gòu)，相鄰的兩個(gè)音程依次是小三度（6/5）、大三度（5/4），我們把它命名為小三和弦。大三和弦聽起來的感覺渾厚而雄壯，小三和弦聽起來的感覺溫柔而優(yōu)美。讓我們先把小三和弦放在一邊，用大三和弦來繼續(xù)構(gòu)造我們的單音體系（因?yàn)槭腔诖笕拖业?，我們把我們正在?gòu)造的單音體系叫做大調(diào)式。以后我們?cè)贅?gòu)造基于小三和弦的小調(diào)式）。就是說，請(qǐng)你暫時(shí)先忘了6/5這個(gè)音，現(xiàn)在我們的中音是5/4。
記得我們前面說過的話嗎，“要找兩兩和諧的三個(gè)音，我們只有以主、屬或主、下屬為基礎(chǔ)，分別找出第三個(gè)音來?！蔽覀円呀?jīng)為主音和屬音找到了一個(gè)中音，三者構(gòu)成了一個(gè)大三和弦?，F(xiàn)在，在主音和下屬音之間也可以如法炮制，不過剛才主音是最低的音（跟音），這次下屬音是最低的音（跟音）。下屬音（2/3）往上走一個(gè)大三度（乘以5/4）得到5/6。而這個(gè)5/6到主音（1）的音程正是小三度。因?yàn)?/6這個(gè)音是在主音和下屬音之間找到的，我們把它叫做下中音。由下屬音、下中音、主音這三個(gè)音也構(gòu)成一個(gè)大三和弦。
現(xiàn)在我們的大調(diào)式體系里又多了兩個(gè)音：中音（5/4）和下中音（5/6）。我們按前面的方法發(fā)把下中音拷貝到上一個(gè)八度，得到5/3。這樣在1到2這個(gè)八度中，我們現(xiàn)有的五個(gè)音從低到高分別為：主音（1），中音（5/4），下屬音（4/3），屬音（3/2），下中音（5/3）。
4.上主音和導(dǎo)音
前面我們已經(jīng)構(gòu)造了兩個(gè)大三和弦。主音、中音、屬音這個(gè)大三和弦，跟音是主音，我們可以叫它主和弦。下屬音、下中音、主音這個(gè)大三和弦，跟音是下屬音，我們可以叫它下屬和弦。我們已經(jīng)知道主音，下屬音和屬音是一個(gè)調(diào)式里最重要的三個(gè)音，那么既然有主和弦和下屬和弦，為什么不該有屬和弦呢？我們來構(gòu)造一下試試看。
屬音是跟音，即最低的音。屬音（3/2）往上走一個(gè)大三度（乘以5/4）得到15/8。這個(gè)音和第三個(gè)音的關(guān)系應(yīng)該是小三度，那么第三個(gè)音的頻率應(yīng)是（15/8）*（6/5）=9/4。這個(gè)值跑到2到4那個(gè)八度里去了，我們把它復(fù)制到1到2這個(gè)八度，即把它除以2，得到9/8。這樣我們又得到了兩個(gè)新音，我們分別叫它們導(dǎo)音（15/8）和上主音（9/8）。以及一個(gè)新的大三和弦，即屬音、導(dǎo)音和上主音構(gòu)成的屬和弦。很自然地，我們現(xiàn)有的這三個(gè)大三和弦（主和弦、下屬和弦和屬和弦）將成為大調(diào)式中三個(gè)最基本的和弦。事實(shí)上，你只要會(huì)用吉他彈奏這三個(gè)和弦，基本上就可以對(duì)付所有大調(diào)式的歌了。
現(xiàn)在我們的大調(diào)式已經(jīng)有了七個(gè)音，在1到2這個(gè)八度中從低到高分別為：主音（1），上主音（9/8），中音（5/4），下屬音（4/3），屬音（3/2），下中音（5/3），導(dǎo)音（15/8）。七個(gè)音已經(jīng)差不多夠用了，這就是我們的大調(diào)式的大致模樣。進(jìn)一步的完善工作讓音樂家們?nèi)プ霭伞?/span>
上主音和導(dǎo)音的命名不太直觀。上主音是屬音的屬音，名字來源大概是它的位置在主音的上面一級(jí)。導(dǎo)音之得名是因?yàn)樗鼘?duì)主音有強(qiáng)烈的傾向性，不過這就不是聲學(xué)而是音樂家關(guān)心的事了。
5．小調(diào)式
大調(diào)式是以大三和弦為基礎(chǔ)構(gòu)造的，別忘了我們還有另一堆稻草：小三和弦。以小三和弦為基礎(chǔ)，我們還可以構(gòu)造一個(gè)和大調(diào)式平起平坐的單音體系——小調(diào)式。由于我們已經(jīng)在“那邊”做了很多工作，“這邊”的工作可以快一些，因?yàn)樗悸肥峭耆粯拥摹?/span>
主音、屬音、下屬音的關(guān)系，大小調(diào)式是完全相同的，因?yàn)閷僖?、下屬音的概念是先于大、小三和弦的概念的?；蛘哒f，我們得到屬音、下屬音的時(shí)候，大、小調(diào)式還沒有分道揚(yáng)鑣。復(fù)習(xí)一下：主音是（1），屬音是（3/2），下屬音是（2/3）。在1到2這個(gè)八度里的下屬音是（4/3）。
現(xiàn)在我們需要按照小三和弦的架構(gòu)，為主音和屬音找一個(gè)中音。事實(shí)上這工作我們已經(jīng)做過了，那就是剛才要你“暫時(shí)忘記”的那個(gè)中音6/5。好，現(xiàn)在主音到中音是小三度，中音到屬音是大三度。這里主音、中音、屬音構(gòu)成一個(gè)小三和弦。這就是小調(diào)式的主和弦。而6/5是小調(diào)式的中音。
同樣我們得為主音和下屬音基于小三和弦找一個(gè)下中音，這事可還沒有做。下屬音是跟音。下屬音（2/3）往上走一個(gè)小三度（乘以6/5）得到4/5。而這個(gè)4/5到主音（1）的音程（5/4）正是大三度。4/5這個(gè)音就是小調(diào)式的下中音。由下屬音、下中音、主音這三個(gè)音也構(gòu)成一個(gè)小三和弦，這就是小調(diào)式的下屬和弦。同樣地，我們按習(xí)慣把下中音（4/5）乘以2復(fù)制到上一個(gè)八度，得到1到2這個(gè)八度的下中音（8/5）。
在得到主和弦和下屬和弦后再來構(gòu)造屬和弦，即以屬音為跟音的小三和弦。屬音是跟音，屬音（3/2）往上走一個(gè)小三度（乘以6/5）得到9/5。這就是小調(diào)式的導(dǎo)音。導(dǎo)音再往上走一個(gè)大三度（乘以5/4）得到9/4，這就是小調(diào)式的上主音。把它除以2復(fù)制到下面一個(gè)八度，得到1到2這個(gè)八度的上主音（9/8）。我們注意到小調(diào)式的上主音和大調(diào)式是一樣的，這不奇怪，因?yàn)樯现饕艟褪菍僖舻膶僖?，與大小三和弦的概念無關(guān)。由屬音、導(dǎo)音、上主音構(gòu)成了一個(gè)小三和弦，這就是小調(diào)式的屬和弦。
匯總一下：在1到2這個(gè)八度中，小調(diào)式的七個(gè)音從低到高分別為：主音（1），上主音（9/8），中音（6/5），下屬音（4/3），屬音（3/2），下中音（8/5），導(dǎo)音（9/5）。其中，主音、上主音、下屬音、屬音和大調(diào)式相同，中音、下中音和導(dǎo)音不同。這里相同和不同的原因是什么？你可以自己想想——并不是偶然的。
我們構(gòu)造的小調(diào)式，其實(shí)在音樂中叫做“自然小調(diào)”，與之并列的還有“和聲小調(diào)”和“旋律小調(diào)”。這里不展開詳述了，為簡(jiǎn)明起見，本文中“小調(diào)式”就是指“自然小調(diào)”。
6．小結(jié)
現(xiàn)在我們來把我們做過的工作歸納一下。我們找出了五種特殊的音程，分別是八度（2或1/2），純五度（3/2或2/3），純四度（4/3或3/4），大三度（5/4或4/5），小三度（6/5或5/6）。把所有“或”前面的分?jǐn)?shù)排列一下，得到（2/1）（3/2）（4/3）（5/4）（6/5），把所有“或”后面的分?jǐn)?shù)排列一下，得到（1/2）（2/3）（3/4）（4/5）（5/6）。你看到了，這是一個(gè)多么優(yōu)美的體系。這五個(gè)特定音程就是音樂中最重要的五個(gè)音程。再加上我們沒有提到過的大六度（就是大調(diào)式中主音到下中音的音程，即5/3或3/5）和小六度（就是小調(diào)式中主音到下中音的音程，即8/5或5/8），除去八度不算，以上七個(gè)音程就是八度之內(nèi)所有和諧音程的集合。在1和2之間只有兩個(gè)較簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)沒被用到，就是7/4和7/5。這兩個(gè)數(shù)很孤立，我們沒必要引入它們來破壞我們已經(jīng)很完美的體系。
如果有三個(gè)音兩兩都是和諧的，它們能組成更優(yōu)美的聲音。我們注意到，大三度和小三度“加”起來（實(shí)際上是乘起來）是純五度，就是說，兩兩音程分別是大三度、小三度、純五度的三個(gè)音符合這樣的條件。大三度在前，小三度在后的，是大三和弦。小三度在前，大三度在后的，是小三和弦。
我們注意到，還有兩組音程符合這個(gè)條件：純四度加小三度等于小六度，純四度加大三度等于大六度。再像大小三和弦那樣把兩個(gè)小音程互換位置，等于是還有四個(gè)和弦可以用來構(gòu)造調(diào)式。但是，我們知道純五度是除八度以外最和諧的音程（因?yàn)?/2和2/3是最簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)），而上面提到的四個(gè)和弦里居然都不包含純五度音程，可見用作主和弦是不完美的。我真的試了一下用它們來構(gòu)造調(diào)式（我把它們分別叫做大小六調(diào)式，小小六調(diào)式，大大六調(diào)式，小大六調(diào)式），發(fā)現(xiàn)大大六調(diào)式很像布魯斯調(diào)式。但是，這些調(diào)式用十二平均律來模擬都不是很理想。加上它們的主和弦不包含純五度音程，就算用它們構(gòu)造出了調(diào)式，也不會(huì)是像大小調(diào)式那樣主流的調(diào)式。
我們?cè)谥饕?，屬音，下屬音和大三和弦的基礎(chǔ)上，建立了大調(diào)式單音體系，在主音，屬音，下屬音和小三和弦的基礎(chǔ)上，建立了小調(diào)式單音體系。每個(gè)體系里有七個(gè)單音，分別是主音，上主音，中音，下屬音，屬音，下中音，導(dǎo)音。以及三個(gè)主要和弦，主和弦、下屬和弦和屬和弦。大調(diào)式里的三個(gè)主要和弦都是大三和弦，小調(diào)式里的三個(gè)主要和弦都是小三和弦。
以上我們的一切工作所建立的樂音體系中，單音的共振關(guān)系（即它們的頻率的倍數(shù)關(guān)系）都是精確的，我們把這個(gè)體系總稱為純律。之所以在名字中強(qiáng)調(diào)一個(gè)“純”字，是相對(duì)不那么“純”的12平均律而言的。
三、12平均律
純律的精確性是無懈可擊的，但它真的那么完美嗎？我們隨便提個(gè)問題就能讓純律陷入尷尬：比上主音（9/8）高一個(gè)純五度（乘以3/2）的音是怎樣的？這不難算，這個(gè)音的頻率是27/16?？墒窃诩兟芍形覀冋业玫竭@個(gè)怪音嗎？
看來我們得更深入地研究一下純律中各單音的音程關(guān)系。以大調(diào)式為例，我們來看看下面這張表（表1）。
在一個(gè)八度的七個(gè)相鄰音程中，有3個(gè)9/8，2個(gè)10/9，2個(gè)16/15。而9/8和10/9是比較接近的，我們先把它們都叫做“大音程”（共5個(gè)），把16/15叫“小音程”。大音程和小音程的數(shù)量關(guān)系如何呢？我們看到小音程的平方是256/225，這個(gè)數(shù)值又和大音程比較接近，也就是說一個(gè)大音程大致等于兩個(gè)小音程“相加”（實(shí)際上是相乘），即一個(gè)大音程大致可以分成兩個(gè)相等的小音程。如果我們把五個(gè)大音程都分成兩個(gè)小音程，那么一個(gè)八度中共有12個(gè)小音程。如果我們真的把一個(gè)八度平均分成12個(gè)小音程，那么產(chǎn)生的12個(gè)音的頻率將成為一個(gè)等比數(shù)列（再次注意音程是倍數(shù)關(guān)系）。并且，在所有的八度中形成了一個(gè)統(tǒng)一的連續(xù)的等比數(shù)列。回過頭來我們?cè)倌闷渲械?個(gè)相應(yīng)的音來模擬純律的7個(gè)音，就等于把純律“嵌入”到這個(gè)等比數(shù)列當(dāng)中去了。
這樣做無疑是要產(chǎn)生誤差的，因?yàn)榇笠舫滩⒉痪_等于兩個(gè)小音程的平方，小音程也并不精確等于一個(gè)八度的12分之一（即開12次方）。因而我們已經(jīng)得到的純五度、純四度、大小三度等等特定音程都要重新定值，不再是精確的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)近似值。比如，小三度（6/5）就得定義成均分后的小音程的3倍（實(shí)際上是3次方），大三度（5/4）就得定義成均分后的小音程的4倍（實(shí)際上是4次方）等等。
“夠了夠了，”你大概會(huì)說，“我們辛辛苦苦建立的純律體系已經(jīng)被扭曲得不像話了。我們做出了這么大的犧牲，能得到什么呢？”
只要能得到一件事，就已經(jīng)值得了。這件事就是：這個(gè)新體系中的任何一個(gè)音，在加上或減去純五、純四、大小三度、大小六度之后，所得到的音一定還在這個(gè)體系中。也就是說，如果我們把單音看成元素，把加減特定音程看成運(yùn)算，把體系看成集合的話，我們這個(gè)新集合對(duì)于這些重要運(yùn)算是封閉的！并且，不要以為這個(gè)集合有多龐大，從某種意義上說該集合的元素?cái)?shù)只有12個(gè)（從音樂的角度來看，相差八度的兩個(gè)音的性質(zhì)是一樣的）。
這件事是純律望塵莫及的，我們剛才只是把上主音抬高一個(gè)純五度，得到的音就不知道在哪里了。
這個(gè)封閉性質(zhì)意味著：
1．轉(zhuǎn)調(diào)成為可能，可以任意轉(zhuǎn)調(diào)而無須增加新的音。
2．任何一個(gè)音都可以成為大小三和弦以及別的和弦的根音，組成這些和弦的音全部在12個(gè)音之內(nèi)。
3．鍵盤樂器和品格樂器（如吉他，琵琶，口琴等）成為可能。否則像這樣的樂器只能彈一個(gè)調(diào)，如果歌唱家覺得鋼琴師的伴奏調(diào)太低了，他得去換架鋼琴來。
4．體系是平均的，每一個(gè)音都是等價(jià)的，沒有誰多或少什么特殊性質(zhì)。任何音都可以做任何調(diào)式的主音（或?qū)僖艋螂S便什么音）。
5．……
好了，先不用忙著列舉這些，我們還沒有算過以這個(gè)平均律來模擬純律的誤差有多大。畢竟純律是音樂的基礎(chǔ)，誤差要是太大了這個(gè)平均律是沒法用的，我們只是空歡喜一場(chǎng)。
要把八度音程（即2倍）平均分成12份，每一份基本音程的值應(yīng)該是2開12次方（這樣12個(gè)基本音程乘起來才等于2）。2開12次方是1.0595。這相當(dāng)于前面所說的小音程。大音程等于小音程的平方，即1.1225。
現(xiàn)在驗(yàn)算一下主要特定音程的模擬效果（其中，被模擬成幾個(gè)基本音程，模擬值就等于1.0595乘幾次方）（表2）：
我們看到最重要的音程純五度和純四度的誤差只有千分之一。其它最大的誤差也不超過百分之一。這樣的模擬效果應(yīng)該是讓人滿意的。按理說在完成了這個(gè)驗(yàn)證之后，這個(gè)平均律已經(jīng)可以成立了?？墒菫榱苏疹櫮憧赡艽嬖诘膹?qiáng)迫癥，我們還是把純律大小調(diào)式七個(gè)音的“嵌入”工作實(shí)際做一下（表3）。
上表平均律中序號(hào)為n的相對(duì)頻率，等于1.0595乘n次方。最高誤差是小調(diào)式的導(dǎo)音，略微超過百分之一。我猜之所以和聲小調(diào)（即在小調(diào)式里以#5代替5）比較好聽，跟這點(diǎn)可能有些關(guān)系。
因?yàn)檫@個(gè)體系是把一個(gè)八度平均分成12份得到的，所以叫做12平均律。這12個(gè)音中任意相鄰兩個(gè)音的音程是1.0595即2開12次方，我們把這個(gè)音程叫做一個(gè)半音。半音是12平均律中音程的基本單位。兩個(gè)半音加起來是一個(gè)全音，全音的音程是1.1225，這是1.0595的平方，也就是2開6次方。
在12平均律中幾乎所有的概念都需要重新定義：
純五度音程等于1.4983，純四度音程等于1.3348，大三度音程等于1.2599， 小三度音程等于1.1892，大六度音程等于1.6818，小六度音程等于1.5874。
可參見表2。這些特定音程不再是分?jǐn)?shù)了。
相鄰音程關(guān)系為大三度-小三度的和弦稱為大三和弦，相鄰音程關(guān)系為小三度-大三度的和弦稱為小三和弦。這個(gè)定義字面上看和純律是一樣的，但因?yàn)榇笕群托∪鹊亩x改變了，所以大小三和弦的定義實(shí)際上也改變了。
七個(gè)音的相鄰音程關(guān)系符合下表（表4）的叫做大調(diào)式。
七個(gè)音的相鄰音程關(guān)系符合下表（表5）的叫做小調(diào)式。
七個(gè)音的定義事實(shí)上也改變了，比如我們說某個(gè)音的屬音，不再指頻率為那個(gè)音的3/2的音，而是指頻率為那個(gè)音的1.4983倍的音。
在重要概念中只有八度的概念完全沒變。
另外，我們還可以定義一些新的概念：
兩個(gè)音的音程是半音的，這個(gè)音程叫小二度。如中音和下屬音相差小二度。
兩個(gè)音的音程是全音的，這個(gè)音程叫大二度。如下屬音和屬音相差大二度。
回頭看看表1我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在純律中是難以定義大二度的，因?yàn)橛?/8和10/9兩種音程和大二度都差不多。小二度和大二度都不是和諧音程。
為方便起見人們還給一系列固定音高的音起了名字，叫作音名，見下表（表6）。
一共12個(gè)音名，相鄰音名的音程是半音，相差八度的音名是相同的。這相當(dāng)于一個(gè)固定的標(biāo)尺，而調(diào)式的關(guān)系相當(dāng)于一個(gè)游標(biāo)，上面每一個(gè)音都可以作為調(diào)式的主音，無論哪個(gè)音做主音，該調(diào)式所需的音都在這個(gè)表內(nèi)。舉例如下。
現(xiàn)在，如果我們把A作為小調(diào)式的主音，則該小調(diào)式的七個(gè)音分別為：
以A為主音的小調(diào)式，稱為A小調(diào)。
如果我們把C作為大調(diào)式的主音，則該大調(diào)式的七個(gè)音分別為：
以C為主音的大調(diào)式，稱為C大調(diào)。大調(diào)式的七個(gè)音另有一個(gè)昵稱，叫做唱名，分別讀作：do（主音）re（上主音）mi（中音）fa（下屬音）sol（屬音）la（下中音）si（導(dǎo)音）分別寫作1、2、3、4、5、6、7。
我們注意到，如果一個(gè)小調(diào)式的主音，比另一個(gè)大調(diào)式的主音低一個(gè)小三度，也就是說這個(gè)小調(diào)式以這個(gè)大調(diào)式的下中音（6,la）為主音，或者說這個(gè)大調(diào)式以這個(gè)小調(diào)式的中音為主音，那么這兩個(gè)調(diào)式所用到的七個(gè)音是完全相同的。我們把這樣的一對(duì)大小調(diào)式稱為關(guān)系調(diào)式。比如，上面提到的C大調(diào)和A小調(diào)就是關(guān)系調(diào)式。
我們看到la si do re mi fa sol 這七個(gè)音也可以構(gòu)成一個(gè)小調(diào)式，角色分別為la（主音）ti（上主音）do（中音）re（下屬音）mi（屬音）fa（下中音）so（導(dǎo)音）這樣我們索性把小調(diào)式的七個(gè)音賦予同樣的昵稱，不過主音是la而不是do。這樣唱名之間有了大小調(diào)式統(tǒng)一的音程關(guān)系如下：
do全re全mi半fa全so全la全ti半do
注意唱名和音名的本質(zhì)是不同的。音名表示固定音高的音，相當(dāng)于固定標(biāo)尺。唱名表示相對(duì)音高，相當(dāng)于游標(biāo)。你給出中音A來，我就知道它是440Hz，但你給出la，在我不知道這是什么調(diào)的時(shí)候，我不知道它有多高。事實(shí)上A可以做la，B又何嘗不可以？
至此，我們從數(shù)學(xué)和物理學(xué)出發(fā)建立音樂體系的工作已經(jīng)基本上完成了。對(duì)于這個(gè)體系的進(jìn)一步完善的工作，已經(jīng)是純音樂范疇的事了。
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