數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面．
其中“以形助數(shù)”是指借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的．
“以數(shù)輔形”是指借助于數(shù)的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段，形作為目的．
【典型例題】
例3．（15南通）關(guān)于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數(shù)根都在－1和0 之間（不包括－1和0），則a的取值范圍是 ．
【解析】
【方法一】利用函數(shù)圖象“數(shù)學結(jié)合”解題
解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9，
設二次函數(shù)y＝ax2－3x－1，
∵方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數(shù)根都在－1和0之間，∴x1x2＝－1a＞0，
∴a＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2－3x－1的圖象如圖所示，
∴當x＝－1時，y＝a＋3－1＜0，即a＜－2，
∴a的取值范圍是－9＜a＜－2．
故答案為：－9＜a＜－2．
【方法二】用方程的有關(guān)的知識解題
【總結(jié)】根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，使用圖象法可以快速解決問題．
【舉一反三】
例4．（14濟寧）“如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是．
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
【解析】
【方法一】
解：方程可以化簡為x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，
【方法二】數(shù)形結(jié)合思想
解：依題意，得，畫出函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象，如圖所示．
函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b（a＜b）．
方程1－(x－a)(x－b)＝0轉(zhuǎn)化為(x－a)(x－b)＝1，
方程的兩根是拋物線y＝(x－a)(x－b)與直線y＝1的兩個交點．
由m＜n，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標為m，右側(cè)為n．
由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有m＜a；
在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，則有b＜n．
綜上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案為：m＜a＜b＜n．
【方法三】數(shù)形結(jié)合思想
解：如圖，畫出二次函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象，
∴該二次函數(shù)x軸的兩個交點坐標分別為（a，0）和（b，0）其中a＜b，
將二次函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的圖象向下平移1個單位，得到新二次函數(shù)的解析式為y1＝(x－a)(x－b)－1，
∴這時新二次函數(shù)與x軸的交點為（m，0）和（n，0）其中m＜n，
易得：m＜a＜b＜n．
故答案為：m＜a＜b＜n．
【方法四】特殊值法
解：依題意得令a＝0，b＝1，則原方程可化為1－x(x－1)＝0，即x2－x－1＝0，
【總結(jié)】方程問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象快速判斷答案．
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