作者：張?zhí)烊?/a>
物理學(xué)中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是指粒子系統(tǒng)的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律。波爾茲曼研究的是經(jīng)典粒子的統(tǒng)計(jì)行為，粒子系統(tǒng)的自由度用麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)方法來描述或計(jì)算。
不同于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)，量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律則有兩種：玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)。
圖13-1：波色和費(fèi)米
提出量子統(tǒng)計(jì)理論的這四位物理學(xué)家，其中玻色可能是很多人不甚了解的一位。玻色是印度人，他在一次有關(guān)光電效應(yīng)的講課中，因?yàn)榉噶艘粋€(gè)違反經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的“錯(cuò)誤”卻發(fā)現(xiàn)了玻色子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。物理學(xué)中以他的名子命名玻色子，這使得他在物理學(xué)界還是挺有名的。
納特·玻色（Nath Bose，1894年－1974年）出生于印度加爾各答，他的父親是一名鐵路工程師，他是七名孩子中的長(zhǎng)子。玻色在大學(xué)時(shí)曾得到幾位優(yōu)秀教師的贊賞和指點(diǎn)。他獲得數(shù)學(xué)碩士學(xué)位之后并未繼續(xù)攻讀博士，而是直接在加爾各答物理系擔(dān)任講師。后來，他又到達(dá)卡大學(xué)物理系任講師，并自學(xué)物理。
大約是在1921年，玻色講授光電效應(yīng)和黑體輻射引發(fā)的紫外災(zāi)難，他本來是想按照經(jīng)典方法分析粒子的統(tǒng)計(jì)行為，結(jié)果犯了一個(gè)類似“擲兩枚硬幣，得到“正正”概率為三分之一”的錯(cuò)誤。然而沒想到是，他的這個(gè)錯(cuò)誤卻得出了與實(shí)驗(yàn)相符合的結(jié)論，也就是不可區(qū)分的全同粒子所遵循的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
所謂“擲兩枚硬幣，‘正正’概率為三分之一”是錯(cuò)誤的，意思是說當(dāng)你擲兩枚硬幣的時(shí)候，因?yàn)槊總€(gè)硬幣都有正反兩面，實(shí)驗(yàn)結(jié)果就有四種情況：正正、正反、反正、反反。也就是說，按照經(jīng)典理論，這四種情況中的每一種發(fā)生的幾率是一樣的，即都是四分之一，但玻色所得到的結(jié)果卻是三分之一。
玻色的這個(gè)“錯(cuò)誤”之所以是“不可區(qū)分的全同粒子”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)粒子而言，它們的統(tǒng)計(jì)行為是否可以區(qū)分或不可區(qū)分是有區(qū)別的。假如兩枚硬幣不能區(qū)分誰正誰反，你擲兩枚硬幣所得到的正、反與反、正就是完全一樣的結(jié)果?！安豢蓞^(qū)分”的兩個(gè)粒子如同“量子硬幣”，它們?cè)诤暧^系統(tǒng)中總是給我們完全一模一樣的感覺。既然兩個(gè)粒子的‘正反’和‘反正’是完全一樣的，所以，當(dāng)你觀察兩個(gè)這類粒子的狀態(tài)時(shí)，所有可能發(fā)生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三種情形。
圖13-2：“可區(qū)分”和“不可區(qū)分”粒子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不一樣
當(dāng)然,物理學(xué)考慮的是某種抽象的“量子硬幣”，其目的是為了說明多個(gè)“一模一樣、無法區(qū)分”的物體，與多個(gè)“可以區(qū)分”的物體所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是不一樣的。
圖13-3：玻色（后排左2）和加爾各答大學(xué)的科學(xué)家們
1920年代初，新量子論（量子力學(xué)）尚未誕生，已經(jīng)沿襲了20多年的舊量子論仍然是在經(jīng)典物理框架下做點(diǎn)量子化的修補(bǔ)工作。至于粒子的統(tǒng)計(jì)行為，當(dāng)然也仍然是波爾茲曼的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論。那時(shí)在物理學(xué)家們的腦袋中，絕對(duì)沒有所謂粒子“可區(qū)分不可區(qū)分”的概念，因?yàn)榘凑战?jīng)典理論，每一個(gè)粒子都是有軌道、可以精確跟蹤的。玻色正是想對(duì)學(xué)生講清楚黑體輻射理論與實(shí)驗(yàn)不一致的問題，才運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)來推導(dǎo)理論公式，結(jié)果他犯了如前所述的那種“錯(cuò)誤”。但這個(gè)偶然的錯(cuò)誤卻得出了與實(shí)驗(yàn)相符合的結(jié)論。
為什么數(shù)學(xué)上的錯(cuò)誤反而得到正確的物理結(jié)論？玻色立刻意識(shí)到這也許是一個(gè)“沒錯(cuò)的錯(cuò)誤”。他繼續(xù)深入思考，研究概率1/3區(qū)別于概率1/4之本質(zhì)，視乎悟出了一點(diǎn)道理。于是，他撰寫了一篇《普朗克定律與光量子假說》的論文。他在文中首次提出了經(jīng)典的麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律不適合于微觀粒子，并認(rèn)為這是因?yàn)楹Ｉげ淮_定性原理導(dǎo)致變動(dòng)構(gòu)成的影響，使得需要一種全新的統(tǒng)計(jì)方法。
然而，沒有哪一個(gè)雜志愿意發(fā)表他的論文，因?yàn)槟菚r(shí)普遍認(rèn)為玻色犯了統(tǒng)計(jì)學(xué)家看來十分低級(jí)的錯(cuò)誤。1924年，突發(fā)奇想，直接將文章寄給大名鼎鼎的愛因斯坦。
到底是科學(xué)大神，愛因斯坦收到玻色的論文之后，立刻表示支持并著手進(jìn)一步的研究。玻色的“錯(cuò)誤”之所以能得出正確結(jié)果，在于光子是一種不可區(qū)分的、后來被統(tǒng)稱為‘玻色子’的東西。愛因斯坦對(duì)此早有一些模糊的想法和思考，恰逢玻色的計(jì)算正好與他的想法不謀而合，所以他立即將這篇論文翻譯成德文，并安排將它發(fā)表在《德國(guó)物理學(xué)期刊》上。
愛因斯坦非常重視玻色的發(fā)現(xiàn)，以至于開始寫一系列論文，研究他稱之為“玻色統(tǒng)計(jì)”的東西。正因?yàn)閻垡蛩固沟呢暙I(xiàn)，如今，玻色統(tǒng)計(jì)被稱為“玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)”。在當(dāng)今，“玻愛統(tǒng)計(jì)”還是理解激光和超低溫環(huán)境下“玻色-愛因斯坦凝聚”現(xiàn)象的關(guān)鍵理論。
玻色的這一工作可以被認(rèn)為是諾獎(jiǎng)級(jí)別的，但遺憾的是，他像一顆劃過天空轉(zhuǎn)瞬即逝的彗星一樣，之后在科學(xué)上再?zèng)]有大的作為，最終與諾獎(jiǎng)無緣。1974年，80歲高齡的玻色死于加爾各答。
光子是不可區(qū)分的。在量子力學(xué)中，對(duì)于這種互相不可區(qū)分的、一模一樣的粒子叫做“全同粒子”，也就是質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的粒子。在宏觀世界中，可能不存在完全一模一樣的東西，你即使看起來一模一樣，它們也是可以被區(qū)分的。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，即使兩個(gè)全同粒子，它們運(yùn)動(dòng)的軌道也不會(huì)相同，追蹤它們不同的軌道就可以區(qū)分它們。而按照量子力學(xué)理論，微觀世界里粒子遵循不確定性原理，沒有固定的軌道，因而無法將它們區(qū)分開來。量子力學(xué)中有兩種類型的全同粒子：玻色子和費(fèi)米子——以玻色和費(fèi)米這兩位物理學(xué)家的名字分別命名的粒子，它們服從兩種不同的量子統(tǒng)計(jì)規(guī)律。
不可區(qū)分的全同粒子不能用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算它們的存在狀態(tài)，而應(yīng)該用量子統(tǒng)計(jì)。如圖13-2a所示，對(duì)于兩個(gè)經(jīng)典粒子而言，出現(xiàn)兩個(gè)正面（HH）的概率是1/4；但光子這樣的出現(xiàn)兩個(gè)正面（HH）的概率是1/3（圖13-2b），你就不能按照經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法來計(jì)算或描述它的統(tǒng)計(jì)行為。
費(fèi)米子雖然也是全同粒子，但費(fèi)米子與玻色子相比較是有區(qū)別的（圖13-2c）。費(fèi)米子是符合泡利不相容原理的全同粒子，比如電子，根據(jù)泡利不相容原理，兩個(gè)電子不能處于同樣的狀態(tài)。如果仍然以擲兩個(gè)硬幣模擬電子的行為，費(fèi)米統(tǒng)計(jì)可以說明費(fèi)米子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有何特別之處。因?yàn)閮蓚€(gè)‘費(fèi)米子硬幣’不可能處于完全相同的狀態(tài)，所以四種可能情形中的HH和TT都不成立，只能是唯一的HT。因此，對(duì)于兩個(gè)費(fèi)米子系統(tǒng)，出現(xiàn)HT的概率是1，出現(xiàn)其它狀態(tài)的概率是0。
最早研究費(fèi)米子統(tǒng)計(jì)規(guī)律的是美籍意大利裔物理學(xué)家恩里科·費(fèi)米（Enrico Fermi，1901年－1954年）。他是一位非常著名的物理學(xué)家，物理領(lǐng)域以命名的物理概念或?qū)ο笥泻芏?，諸如費(fèi)米子、費(fèi)米面、費(fèi)米-狄拉克方程、費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)、費(fèi)米實(shí)驗(yàn)室、費(fèi)米悖論......，還有100號(hào)化學(xué)元素“鐨”、美國(guó)芝加哥著名的費(fèi)米實(shí)驗(yàn)室、芝加哥大學(xué)的費(fèi)米研究院，等等。但費(fèi)米一生處事低調(diào)，淡泊名利。
圖13-4：費(fèi)米和位于美國(guó)伊利諾伊州的費(fèi)米國(guó)家實(shí)驗(yàn)室
費(fèi)米（Enrico Fermi，1901-1954）在美國(guó)芝加哥大學(xué)任物理學(xué)教授，他首創(chuàng)β衰變的定量理論，設(shè)計(jì)并建造了世界上第一臺(tái)可控核反應(yīng)堆。他對(duì)理論物理和實(shí)驗(yàn)物理均做出了重大貢獻(xiàn)，被稱為現(xiàn)代物理學(xué)的最后一位通才。1938年，費(fèi)米被授予諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
費(fèi)米的科學(xué)深涯又一次應(yīng)了中國(guó)人的一句老話：大智若愚。他是家中的老么，童年時(shí)身材瘦小，也不愛說話，看上去似乎不夠聰明。事實(shí)上，他10歲的時(shí)候就能獨(dú)立理解表示圓的公式X2+Y2=R2。18歲那年，他的一篇《聲音的特性》論文引起了物理學(xué)權(quán)威們的關(guān)注。1929年，費(fèi)米未滿30歲就成為意大利最年輕的科學(xué)院院士。
費(fèi)米之所以被吸收為意大利科學(xué)院院士，就在于他在25歲時(shí)就發(fā)現(xiàn)了費(fèi)米子遵循的量子統(tǒng)計(jì)。1926年，費(fèi)米和狄拉克各自獨(dú)立地分別發(fā)表了有關(guān)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)術(shù)論文。這兩位科學(xué)家都很低調(diào)和謙虛。狄拉克稱此項(xiàng)研究是費(fèi)米完成的，他如同愛因斯坦稱“玻色統(tǒng)計(jì)”一樣，他稱其為“費(fèi)米統(tǒng)計(jì)”，并將對(duì)應(yīng)的粒子稱為“費(fèi)米子”。
不同微觀粒子的全同性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是有所不同的。它們的不同根源在于粒子本身的自旋以及自旋導(dǎo)致的不同對(duì)稱性。玻色子是自旋為整數(shù)的粒子，比如光子的自旋為1。兩個(gè)玻色子的波函數(shù)是交換對(duì)稱的，即當(dāng)兩個(gè)玻色子的角色互相交換之后，描述它們的統(tǒng)計(jì)行為的波函數(shù)是不變的。費(fèi)米子粒子的自旋為半整數(shù)，例如電子的自旋是1/2。由兩個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)的波函數(shù)是交換反對(duì)稱的，即當(dāng)兩個(gè)費(fèi)米子的角色互相交換之后，系統(tǒng)總的波函數(shù)只改變符號(hào)（見圖13-5）。
費(fèi)米子系統(tǒng)反對(duì)稱的波函數(shù)與泡利不相容原理有關(guān)——所有費(fèi)米子都遵循泡利不相容原理。因此，原子中任意兩個(gè)電子不能處在相同的量子態(tài)，而是在原子中分層排列（見圖13-5中的左邊二圖）。我們所熟悉的化學(xué)元素周期律也是在這個(gè)理論的基礎(chǔ)上才最終確定的。
圖13-5：玻色子和費(fèi)米子的不同特性源于不同的自旋波函數(shù)
在光學(xué)、凝聚態(tài)物理學(xué)等領(lǐng)域，玻色子和費(fèi)米子的統(tǒng)計(jì)行為是科學(xué)家們理解物理現(xiàn)象的法寶。玻色子喜歡同居一室，它們都拼命擠到能量最低的狀態(tài)。比如，光子是玻色子，許多光子可以處于相同的能級(jí)，所以玻色統(tǒng)計(jì)可以解釋激光這種超強(qiáng)度的光束；電子是費(fèi)米子，在材料的導(dǎo)電性中多有相關(guān)描述。原子是復(fù)合粒子，復(fù)合粒子的情況要復(fù)雜一點(diǎn)。對(duì)于復(fù)合粒子來說，如果被統(tǒng)計(jì)的系統(tǒng)是由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成，則為費(fèi)米子；若是由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成，則是玻色子。例如在接近絕對(duì)零度的超低溫環(huán)境下，所有的原子運(yùn)動(dòng)是玻色子特性，因而這種低溫狀態(tài)下的原子都是玻色子，它們會(huì)突然‘凝聚’在一起產(chǎn)生一些平常物質(zhì)中觀察不到的有趣現(xiàn)象（比如‘超流體’現(xiàn)象）——稱為“玻色-愛因斯坦凝聚”。
費(fèi)米的夫人是猶太人。費(fèi)米獲得諾貝爾獎(jiǎng)的那一年，意大利的墨索里尼開始逮捕和迫害猶太人。費(fèi)米便利用到瑞典領(lǐng)獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，舉家逃到了美國(guó)，并一直在哥倫比亞大學(xué)任教。1941年底，在愛因斯坦等人的提議下，美國(guó)政府決定啟動(dòng)名為“曼哈頓”的原子彈研制計(jì)劃，費(fèi)米成為主要的參與者之一。
費(fèi)米在科研生涯的最后幾年，還是從事高能物理的研究。可惜天妒英才，正值事業(yè)巔峰期的費(fèi)米在食道癌和胃癌的雙重打擊下，于1954年11月28日逝世于芝加哥的家中，時(shí)年僅僅53歲。
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