雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
一、直線型運(yùn)動(dòng)
1．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4 cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC方向移動(dòng)，以AD為邊作等邊△ADE。如圖①，在點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始移動(dòng)至點(diǎn)C的過(guò)程中，求點(diǎn)E移動(dòng)的路徑長(zhǎng)．
分析：要求點(diǎn)E移動(dòng)的路徑長(zhǎng)，首先要確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡。連結(jié)CE，如圖②,
易證△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60° ，因?yàn)椤?/span>ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始移動(dòng)至點(diǎn)C的過(guò)程中,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)點(diǎn)C且平行于AB的一條線段，確定了軌跡，再確定起始與終止位置就可求出路徑長(zhǎng)．答案：4
2．已知AB=10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_____．
分析：延長(zhǎng)AC、BD相交于點(diǎn)E，
因?yàn)椤?/span>A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四邊形CPDE是平行四邊形，連結(jié)EP，所以EP、CD互相平分，因?yàn)辄c(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，所以EG=PG，所以點(diǎn)G是EP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是△EAB的中位線MN．答案：5
雙動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，第二動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如果是直線型，通?？梢哉业降诙?dòng)點(diǎn)所在直線與已知直線的位置關(guān)系如平行、垂直等，或者是某一條特殊的直線（或直線上的一部分）如中位線、角平分線等．
請(qǐng)您思考
試一試：1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB－BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，以DE為邊作正方形DEFG（點(diǎn)D、E、F、G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校O(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x 秒．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：點(diǎn)G在直線BC上；（2）直接寫(xiě)出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
答案：
答案：C
二、圓（圓?。┬瓦\(yùn)動(dòng)
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_____．
分析：本題中，要求點(diǎn)P到邊AB距離的最小值，先要確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．因?yàn)?/span>FP=FC=2，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓?。ㄈ鐖D），過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，以F為圓心的弧與FQ的交點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P．
答案： 6/5
這是動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧的一種類型，動(dòng)點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓（或一段?。?/span>
2. 如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為H，連結(jié)DH，若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是_______．
分析：要求線段DH長(zhǎng)度的最小值，先要確定動(dòng)點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡。在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠AHB=90°，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑的半圓，題目轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)之間的最小距離的問(wèn)題（如圖），連結(jié)點(diǎn)D和AB中點(diǎn)O，與半圓O交于點(diǎn)H，此時(shí)DH長(zhǎng)度最?。?/span>
答案：
這一類動(dòng)點(diǎn)滿足與定線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且為直角頂點(diǎn)，則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定線段為直徑的圓（或圓?。Ｓ商厥獾揭话?，如果動(dòng)點(diǎn)與定線段構(gòu)成的三角形中，以動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角度確定，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以定線段為弦的圓（或圓?。?
3. 如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，以O為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（ ?。?/span>
分析：這題看似動(dòng)點(diǎn)很多，其實(shí)點(diǎn)A、B、C可看成是同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是第二動(dòng)點(diǎn)，要求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，先要確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。因?yàn)樗倪呅?/span>OABC是正方形，所以∠AOC=90°，所以∠AFC=45°，因?yàn)?/span>EF是直徑，所以∠EAF=90°，∠APF=45°，∠EPF=135°，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以EF為弦且該弦所對(duì)的一個(gè)圓周角為135°的一段圓弧（如圖）。求出這段圓弧所對(duì)圓心角以及所在圓半徑便可解決問(wèn)題．
答案：A.
由此可見(jiàn)，定線段和動(dòng)點(diǎn)組成的三角形中，如果以動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角度是定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓（或一段圓弧）．
試一試1.如圖，已知等邊△ABC 的邊長(zhǎng)為 8，以 AB 為直徑的圓交 BC 于點(diǎn) F。已 C 為圓心，CF 長(zhǎng)為半徑作圖，D 是⊙C 上一動(dòng)點(diǎn)，E 為 BD 的中點(diǎn)，當(dāng) AE 最大時(shí)，BD 的長(zhǎng)為（ ）
答案：B
2．如圖，已知A、C是半徑為2的⊙O上的兩動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊在⊙O內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠C=90°，連接OB，則OB的最小值為_(kāi)______．
答案：
三、在函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)
答案：B.
上題雙動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題中，第二動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為某函數(shù)的圖像（或一部分），我們可以用設(shè)坐標(biāo)的辦法，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再找兩坐標(biāo)之間存在的函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)函數(shù)關(guān)系式在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中固定不變．本文以反比例函數(shù)為例，除了設(shè)坐標(biāo)，有時(shí)也可利用面積的轉(zhuǎn)化求得函數(shù)關(guān)系式．
練習(xí)題
答案：1． B 2． y= -3/x(x>0)
最值問(wèn)題
聯(lián)系客服
