一、教學(xué)內(nèi)容
人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第62-64頁(yè)。
二、指導(dǎo)思想
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：義務(wù)階段的數(shù)學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并能進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
三、教學(xué)手段
讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)的需要，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)分析圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)，再借助學(xué)過(guò)圖形周長(zhǎng)的知識(shí)猜想圓的周長(zhǎng)與直徑到底有什么關(guān)系，在猜想的基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，并構(gòu)建出計(jì)算圓的周長(zhǎng)的公式，再進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)而體會(huì)建模的數(shù)學(xué)思想。
四、教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能：直觀認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng)，知道圓的周長(zhǎng)的含義；理解圓周率的意義，理解和掌握求圓的周長(zhǎng)的計(jì)算公式。
2．過(guò)程與方法：通過(guò)觀察、推理、分析、綜合、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷探索圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系的過(guò)程，滲透極限的思想；培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力、合作能力與創(chuàng)新精神。
3．情感態(tài)度和價(jià)值觀：通過(guò)揭示圓周率的意義及介紹古人對(duì)圓周率的研究史料，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探究的熱情，增強(qiáng)民族自豪感。
五、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)猜想、分析、推斷、實(shí)踐探究建構(gòu)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。
教學(xué)難點(diǎn)：探究建構(gòu)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系；理解圓周率的意義。
六、教學(xué)過(guò)程
?。ㄒ唬﹦?chuàng)設(shè)情境，引出猜想
教師：同學(xué)們看大屏幕，這是什么圖形？（長(zhǎng)方形）；這個(gè)呢？（正方形）；這個(gè)？（圓）
教師：這部分是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，這是正方形的周長(zhǎng)，哪部分的長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)呢？同學(xué)們，請(qǐng)你利用手中的學(xué)具，在小組內(nèi)指一指、說(shuō)一說(shuō)，哪部分是圓的周長(zhǎng)？哪一個(gè)同學(xué)能來(lái)前面說(shuō)一說(shuō)？（一同學(xué)展示）
教師：圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。（學(xué)生齊讀）
教師：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系呢？（與長(zhǎng)和寬有關(guān)系）有什么樣的關(guān)系呢？（長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是長(zhǎng)與寬的和的2倍）
教師：正方形的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系呢？（與邊長(zhǎng)有關(guān)系）周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的幾倍呢？（4倍）
教師：圓里面有長(zhǎng)嗎？（沒(méi)有）有寬嗎？（沒(méi)有）有邊長(zhǎng)嗎？（沒(méi)有）
教師：那同學(xué)們猜想一下，圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系呢？
學(xué)生知道圓的半徑（或直徑）決定圓的大小，所以學(xué)生應(yīng)該能夠猜出圓的周長(zhǎng)可能與直徑（或半徑）有關(guān)。
?。ǘ┩ㄟ^(guò)測(cè)量、計(jì)算，驗(yàn)證圓的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)關(guān)系
教師：同學(xué)們看，這個(gè)圓的直徑最大，它的周長(zhǎng)就最大；這個(gè)圓的直徑最小，它的周長(zhǎng)就最小，那圓的周長(zhǎng)與直徑有什么關(guān)系呢？長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是長(zhǎng)與寬的和的2倍，正方形的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的4倍，圓的周長(zhǎng)會(huì)是直徑的多少倍呢？
預(yù)設(shè)：
學(xué)生1：3倍；
學(xué)生2：4倍；
學(xué)生3：3到4倍之間；
學(xué)生4：我認(rèn)為是3.14倍。
教師追問(wèn)：你是從這個(gè)圖上看出來(lái)的嗎？（不是）那你是怎么知道的？（我是從書(shū)上看來(lái)的）
教師：同學(xué)們看，無(wú)論是大正方形，還是小正方形，正方形的周長(zhǎng)都是邊長(zhǎng)的4倍。那圓的周長(zhǎng)呢？無(wú)論是大圓還是小圓，圓的周長(zhǎng)都是直徑的3.14倍嗎？看來(lái)我們還得好好地研究一下圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，這節(jié)課我們就一起來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。
教師：那么現(xiàn)在就從我們身邊的圓開(kāi)始研究吧。要想知道你身邊的這個(gè)圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍的話，你有什么辦法？
預(yù)設(shè)：
學(xué)生1：我可以先求出圓的周長(zhǎng)，然后再去除以它的直徑，就能得到圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍了。
教師追問(wèn)：怎樣求圓的周長(zhǎng)？（量出來(lái)就可以了）現(xiàn)在同學(xué)們就按照他的方法在小組內(nèi)進(jìn)行研究。
小組合作，探究新知。
要解決的問(wèn)題：圓的周長(zhǎng)是直徑的多少倍？
要求：（1）利用工具測(cè)量手中圓的周長(zhǎng)和直徑（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
?。?）完成任務(wù)的小組把結(jié)果填入學(xué)習(xí)記錄單中。
教師：同學(xué)們是用什么方法測(cè)量的？（繞繩法和滾動(dòng)法）
學(xué)生進(jìn)行小組展示。
教師小結(jié)：這幾種方法都是把圓周長(zhǎng)這條曲線變成了直線段，都可以概括為“化曲為直”。
教師：我們用先測(cè)量后計(jì)算的方法，算出了這些大小不同的圓的周長(zhǎng)和直徑之間的倍數(shù)關(guān)系。觀察這些數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（圓的周長(zhǎng)都是直徑的3倍多；都不一樣）有正好等于3.14倍的嗎？（沒(méi)有）為什么呢？
預(yù)設(shè)：
學(xué)生1：我認(rèn)為測(cè)量圓的周長(zhǎng)的時(shí)候，繩子是松的，而繩子伸直時(shí)是撐緊的，繩子有拉力。
學(xué)生2：我認(rèn)為圓在滾動(dòng)時(shí)，圓有可能在原地打轉(zhuǎn)，測(cè)量有誤差。
教師：很好，與測(cè)量工具有關(guān)。測(cè)量時(shí)，誤差是不可避免的。用測(cè)量的方法來(lái)研究圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系是不準(zhǔn)確的，我們還得采用另外的方法來(lái)研究。
?。ㄈ┯脦缀螆D形的方法探究圓的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)關(guān)系
1．圓的周長(zhǎng)小于直徑的幾倍呢？
教師：畫(huà)一個(gè)圓，外面給它穿上一件“外套”——正方形，同學(xué)們判斷一下，正方形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)，誰(shuí)的長(zhǎng)？（正方形的周長(zhǎng)長(zhǎng)）這里正方形的周長(zhǎng)等于圓的直徑的幾倍呢？（4倍）那圓的周長(zhǎng)與直徑的4倍有什么關(guān)系呢？（圓的周長(zhǎng)小于直徑的4倍）圓的周長(zhǎng)小于直徑的4倍，范圍是不是太大了？看能不能縮小范圍，猜想圓的周長(zhǎng)大于直徑的幾倍呢？
2．圓的周長(zhǎng)大于直徑的幾倍呢？
教師：我們?cè)趫A的內(nèi)部畫(huà)一個(gè)最大的正六邊形，同學(xué)們能從這個(gè)圖形中得到圓的周長(zhǎng)大于直徑的幾倍呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出活動(dòng)記錄單，共同探究。正六邊形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)比較，誰(shuí)長(zhǎng)呢？（圓的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些）正六邊形的周長(zhǎng)是直徑的幾倍呢？（3倍）圓的周長(zhǎng)和直徑的3倍誰(shuí)大呢？（圓的周長(zhǎng)大于直徑的3倍）這樣，我們就得到了如下結(jié)論：直徑的3倍＜圓的周長(zhǎng)＜直徑的4倍。
3．圓的周長(zhǎng)到底是直徑的幾倍呢？
教師：我這兒的圓的外面作了一個(gè)正方形，里面作了一個(gè)正六邊形，得出了上述的結(jié)論。你那兒的圓只要用這樣的方法，也能得到相同的結(jié)論。在這個(gè)過(guò)程中，有沒(méi)有測(cè)量？（沒(méi)有）所以不存在誤差，這樣我們得出了圓的周長(zhǎng)是直徑的倍數(shù)的范圍，那么你還有什么問(wèn)題呢？（3—4之間有許許多多的數(shù)，到底是幾倍呢？）到這兒，我們沒(méi)有算出圓的周長(zhǎng)到底是直徑的多少倍，實(shí)際上呢，用我們現(xiàn)在的知識(shí)能夠算到這個(gè)范圍已經(jīng)很了不起了，如果我們具備了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，那么我們就會(huì)按照這樣的方法，縮小包圍圈，接近目標(biāo)，就可以繼續(xù)往下算了。
?。ㄋ模┝私饪茖W(xué)家們是怎樣研究“圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系”的
1．了解劉徽的“割圓術(shù)”，滲透極限的思想（課件）
2300年前，古希臘的數(shù)學(xué)家亞里士多德用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形，從兩個(gè)方向上同時(shí)逼近圓，算出了圓的周長(zhǎng)大約是直徑的3.14倍多一些；到了1700年前，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽采用“割圓術(shù)”一直計(jì)算到圓內(nèi)接正192邊形，得到圓的周長(zhǎng)大約是直徑的3.1416倍左右。
2．祖沖之的貢獻(xiàn)（課件）
又過(guò)了200年，我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之算出了圓的周長(zhǎng)大于直徑的3.1415926倍，小于直徑的3.1415927倍，這個(gè)數(shù)精確到了小數(shù)點(diǎn)后面七位，這在當(dāng)時(shí)世界上是非常了不起的。他的這項(xiàng)偉大成就比歐洲數(shù)學(xué)家的計(jì)算結(jié)果至少要早1000年。為紀(jì)念這位偉大的古代數(shù)學(xué)家，人們將月球背面的一座環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，把小行星1888命名為“祖沖之小行星”。
祖沖之算出了周長(zhǎng)是直徑的多少倍了嗎？（沒(méi)有）在接下來(lái)的一千多年的時(shí)間里，有無(wú)數(shù)的科學(xué)家，有中國(guó)、和外國(guó)的，有的甚至付出了畢生的精力來(lái)研究圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系。這個(gè)事呢，直到13年前，也就是2002年，有一個(gè)人說(shuō)終于算出了周長(zhǎng)是直徑的多少倍了，大家想不想知道這個(gè)算了兩千多年才算出來(lái)的數(shù)呢？（想）我們一起來(lái)看一下圓的周長(zhǎng)是直徑的多少倍。3.14159265……這個(gè)人把這個(gè)數(shù)算到了小數(shù)點(diǎn)后面12411億位，什么概念呢？如果用1秒鐘讀一位數(shù)的話，那么這個(gè)數(shù)就能讀四萬(wàn)年，那么長(zhǎng)的一個(gè)數(shù)，這個(gè)人說(shuō)他還沒(méi)有算完呢，那么你說(shuō)會(huì)是一個(gè)什么樣的數(shù)呢？（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）無(wú)限是什么意思呢？（無(wú)限是小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)永遠(yuǎn)也算不完，讀不完的）不循環(huán)呢？（小數(shù)位數(shù)沒(méi)有規(guī)律）所以說(shuō)，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，想不想知道這個(gè)人是誰(shuí)呢？是電腦，計(jì)算機(jī)，只有電腦才能算出來(lái)這么大數(shù)位的數(shù)。
3．圓周率的由來(lái)
人類花了幾千年的時(shí)間，無(wú)數(shù)科學(xué)家花費(fèi)了畢生的精力，最后終于達(dá)成了一個(gè)共識(shí)，那就是無(wú)論是大圓還是小圓，它的周長(zhǎng)除以直徑，都得到一個(gè)固定的數(shù)3.1415926……這個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，這個(gè)數(shù)我們給它起了一個(gè)名字叫圓周率，用π來(lái)表示，為了計(jì)算方便，一般取π≈3.14，公式：周長(zhǎng)÷直徑=圓周率，用字母表示C÷d=π，那么請(qǐng)問(wèn)能不能用自己的話說(shuō)一說(shuō)什么叫圓周率呢？
教師：現(xiàn)在你們對(duì)圓周率有什么想法？
預(yù)設(shè)：
學(xué)生1：我認(rèn)為圓周率太神奇了，竟然能算到12411億位還沒(méi)有算完！
學(xué)生2：我認(rèn)為還有一個(gè)神奇的地方，圓周率算到第12411億位，竟然沒(méi)有一個(gè)循環(huán)節(jié)！
4．圓周率的計(jì)算對(duì)人類科學(xué)的推動(dòng)作用
用π的值不僅可以計(jì)算圓的周長(zhǎng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展，還可以測(cè)試或檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)的性能，特別是運(yùn)算速度與計(jì)算過(guò)程的穩(wěn)定性。培養(yǎng)人的記憶力和做事嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的態(tài)度，還可以衡量一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)水平，在研究過(guò)程中產(chǎn)生了很多新的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)人們不斷探索。
?。ㄎ澹┙?gòu)公式模型
根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，請(qǐng)同學(xué)們一起說(shuō)一說(shuō)。
板書(shū)：圓的周長(zhǎng)=直徑×圓周率。用字母表示為C=πd或C=2πr。
?。?yīng)用構(gòu)建，解決問(wèn)題
教師：如果已知直徑，怎樣求圓的周長(zhǎng)？如果已知半徑，怎樣求圓的周長(zhǎng)？要求圓的周長(zhǎng)，需要知道哪些條件？
1．教師出示教材第64頁(yè)例1。
2．鐵環(huán)的半徑是0.25米，滾動(dòng)一周前進(jìn)多少米？說(shuō)一說(shuō)你是怎樣算的。
?。ㄆ撸┱n堂總結(jié)
教師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)你有什么想法嗎？
預(yù)設(shè)：
學(xué)生1：祖沖之太偉大了，太了不起了，是我們的驕傲，我們中國(guó)人比外國(guó)人有智慧；
學(xué)生2：我認(rèn)為我們應(yīng)該學(xué)習(xí)祖沖之刻苦拼搏的精神。
七、教學(xué)反思
“教無(wú)定法”，數(shù)學(xué)課不一定每節(jié)課都要按照“復(fù)習(xí)、新授、練習(xí)”的模式。數(shù)學(xué)課的模式應(yīng)該是促進(jìn)教師的教學(xué)，而不是束縛教師的手腳。就《圓的周長(zhǎng)》一課來(lái)說(shuō)，學(xué)生只要知道了周長(zhǎng)是直徑的幾倍，用這個(gè)倍數(shù)乘直徑就能夠計(jì)算周長(zhǎng)了。用周長(zhǎng)公式解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)思維含量已經(jīng)不大了，知道公式，對(duì)號(hào)入座，套用公式就可以了。數(shù)學(xué)教學(xué)如果想發(fā)展學(xué)生的能力，是不應(yīng)該把大量的時(shí)間用在練習(xí)上面的，要抓住一切發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的點(diǎn)。圓周率的歷史及探索方法蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)思想、方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，激發(fā)學(xué)生的情感，因此把教學(xué)重點(diǎn)放在感受圓周率意義的教學(xué)上。
