一、久期
1.久期
對上述公式求1階導，并處以當前的債券凈價PV0:
（1+r）MOD是麥考利久期，是以現(xiàn)值為權重計算的期限的加權平均值，作為久期的度量肯定沒問題，但是它的數學意義比較模糊。MOD是修正久期，是類似數學彈性的概念，即收益率變動X%，會大約引發(fā)凈值變動的百分比。
2.久期的性質
（1）久期的線性可加性
麥考利久期按照凈值權重是絕對線性可加的；如果忽略1/（1+r）項的差異，修正久期也是按照貼現(xiàn)值權重線性可加的。
（2）久期與收益率的關系：
收益率均位于久期公式的分子，所以收益率上升，久期會減小。這可以從兩方面去理解：1）收益率上升，遠端現(xiàn)金流的現(xiàn)值遭受了更大的下跌，所以遠端現(xiàn)金流貼現(xiàn)值權重下降，整個久期變??；2）可以從凸性去理解，凸性是-MOD的求導（公式見下文），為正數，所以利率增加MOD減小。
二、凸性&泰勒展開
1.凸性
凸性(C)描述的是收益率變化X%,引起的修正久期MOD的變化：
2.泰勒展開
根據泰勒展開：
所以對于債券來講，凈價變動的二階導逼近可以寫為：
從上式看出，久期使得價格相較收益率變化逆向變動，而凸性對應的是收益變化的平方項，所以收益率變化對應的凸性影響對價格都是正面的：即，由于凸性的存在，相比單純久期估算，收益率下行帶來的價格上漲更多；收益率上行帶來的價格下跌要更少。
3.凸性的性質
（1）凸性的線性可加性：
凸性按照凈值權重也約被認為是線性可加的。
（2）久期對凸性的影響：久期越長凸性越大
大體的結論是：對于一般的債券而言，久期越長凸性越大；對于超長久期、且現(xiàn)金流不要集中在尾部償還的債券，久期越長可能凸性會減少（可能需要是50年左右期限了）。
簡單推導：
對于單現(xiàn)金流凸性公式C：
考察期限n的變化，如何影響二階導：
經推導，上述公式的正負最終由下述公式的正負決定：
2-r(n-1)
所以，若r(n-1)<2,那么久期都是隨著n的增加而增加的。對于一般情況而言，r都是5%附近的數，即便是n=40，r(n-1)<2都基本成立。這種情況還是較少發(fā)生的，所以我們一般理解為久期越長凸性越大即可。
引出的收益率曲線理論：凸性偏差（Convexity Bias）
凸性給予了債券非常好的性質，它使債券易漲難跌。長債擁有更大的凸性，所以這就要求其在收益率上給出讓步，即給予更低的收益率，這是債券收益率曲線走平的重要原因，理論上稱為convexity bias。
關于收益曲線結構的另外兩大經典理論：1）純預期理論，講得是未來長久期債之所以收益高，是因為預期未來收益率曲線會上移，長債持有收益集中在后半段；2）純風險溢價理論，講的未來收益率曲線不變，長債的收益率偏高體現(xiàn)為風險溢價，反映為我們熟知的騎乘收益。實際上，現(xiàn)實的收益率曲線結構被上述三大因素共同決定，未來的收益率曲線很難保持不變（風險溢價理論所宣稱的），所以現(xiàn)實情況是上述理論的折中。
（3）票面利率對凸性的影響：票面利率越大，凸性越大
凸性公式中票面利率反應的現(xiàn)金流全部在分子，與凸性正相關。
（4）收益率變動對凸性的影響:收益率越大，凸性越小
凸性公式中，收益率在分母反應，與凸性負相關。
（5）負凸性（MBS）及凸性對沖（convexity hedging）
一般情況下，債券的凸性是正的（對-MOD求導），也就是說收益率上行久期會縮短，這種邊際變化是凸性防御性的關鍵性表現(xiàn)：即在收益率上行過程中，久期會不斷縮短，如果你只用一階導去逼近，是越虧越少的。
但對于住房抵押貸款這類資產，凸性是負的，即利率上行的時候久期反而會變大，投資者越虧越多：因為MBS的底層資產對應的是住房貸款，人們可以在利率下行的時候選擇提前還款并重新貸款，這樣會縮短整個MBS的久期；當利率上行的時候人們會選擇盡可能晚還款，拉長MBS的久期。
三、數值計算——直觀感受久期、凸性效應
1.對債券YTM&凈價關系形態(tài)的考察
我們來直觀感受不同期限國債的形態(tài),可得期限越長的債券彎曲程度越高,這也反映了其凸性越大的特點（根據真實現(xiàn)金流計算，見圖一）。直觀感受上來講，其實1-10年國債凸性影響都不顯著（直線相對較直）。
圖一:關鍵期限國債YTM&凈價關系圖
2.久期&凸性的運用——基點價值的估算
1）久期：久期的概念基本能理解，比如久期是8的債，那么收益上行10bps，其久期帶來的影響就是凈價下降比例80bps；2）凸性：凸性的價值相對難理解，比如30年國債，目前凸性是417，其對凈價的影響估計需要依賴，影響約為（凸性/2*dr*dr）,即對于400左右凸性的債來講，收益率變動10bps，它對債券凈價的貢獻是增加比例2bps。
凸性是二階導的性質，而收益率變化是一個很小的范圍（價格波動以萬一，即bps計算），所以很多時候一階導逼近就足夠了，凸性對沖效果并不顯顯著。
表一：10bsp變動下久期&凸性泰勒擬合效果演算
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