向你介紹我是誰
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大家好，我是杭州市余杭區(qū)良渚古墩路小學的張偉明，是朱樂平名師工作站“一課研究”第二十九組的學員，很榮幸在“一課研究”微信平臺中與您相遇。
本期內(nèi)容有哪些
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聽一聽：多邊形的面積教學思考
讀一讀：多邊形的面積教學例談
想一想：趣味數(shù)學——雞蛋問題
輕輕松松聽聽書
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堅持閱讀８分鐘
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（一）在數(shù)學情境的重溫中，激活知識點
激活學生腦海中的知識點是復(fù)習課展開的重要前提。教師以對學生深刻的讀懂創(chuàng)設(shè)一個個豐富的數(shù)學情境，讓學生置身于問題解決中，充分激發(fā)學生主動探索，讓數(shù)學的思考生長于數(shù)學情境與數(shù)學知識之間。教師適時捕捉有價值的生成，并以此為基礎(chǔ)引導學生在交流和思考中提升對數(shù)學本質(zhì)的認識，形成數(shù)學方法、意識、思想。
本課的導入環(huán)節(jié)，在出示了一組互相垂直的線段后，教師提問：“看著這組線段，你想到了哪些平面圖形？”，在經(jīng)歷了短暫的思考后，學生很快就想到了學過的一些平面圖形，一雙雙手都舉了起來。起點不高的問題情境，點燃了學生的學習熱情，學生插著想象的翅膀，搜尋著頭腦中已有的知識點，進而關(guān)注平面圖形的本質(zhì)屬性——互相垂直的底和高。教師則不失時機，及時讓學生計算想象出來圖形的大小，于是學生很自然的就出現(xiàn)了10×4、10×4÷2兩組算式，同時根據(jù)算式想象出了長方形、平行四邊形和三角形。在這樣的純數(shù)學情境中，學生重溫了多邊形面積的知識，教師則通過喚醒學生原有的知識經(jīng)驗，自然而然的拋出了課題——多邊形的面積復(fù)習。緊接著教師和學生帶著“面積該怎么計算，面積公式又是怎么推導出來的？”兩個問題共同瀏覽電子課本，進一步回顧了三年級以來所有多邊形面積的學習內(nèi)容。這并不是一種簡單意義上的再現(xiàn)，而是一種復(fù)習方法的指導?；仡櫴钦淼那疤?，是復(fù)習的第一步。在這一步后，復(fù)習就變的順利成章起來。
（二）在自主探究的梳理中，完善知識鏈
星星點點的知識，在問題解決情境中得到了激活，適時的梳理就顯得尤為重要。知識點在梳理中串成知識鏈，復(fù)習從點狀收攏成線狀。此時，給予學生思考的材料與時空，又進一步將復(fù)習主動權(quán)交還給學生，讓學生在動手實踐與探究中把知識點鏈接起來，從而培育學生自主整理的數(shù)學思維。
課的梳理環(huán)節(jié)，在學生回顧了電子教材，激活了原有的知識點，并在練習紙上記錄下多邊形面積的公式后，教師引導學生對圖形面積公式的推導過程進行回憶。學習材料的呈現(xiàn)給思維一個物化的載體，放手的時空讓學生更勇于參與到回憶、討論與思考中來。為了能更充分的放手與梳理，教師先讓學生跟同伴回憶面積公式的推導而后全班交流，讓學生能充分、自主探究回憶面積公式推導過程，并在與同伴、集體的交流中隱約感受到面積在推導上存在的聯(lián)系。在學生交流中輔以課件操作，真實再現(xiàn)平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積公式的推導過程，將學生置身于原有的面積公式推導情境中，讓推理有據(jù)可循。教師適時給予評價“是的，把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積，這樣就推導出了平行四邊形面積公式，那跟它有關(guān)的長方形的面積公式是怎么來的你們知道嗎？”“可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢！那同樣是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的還有？”……進一步幫助學生感受這些表面上看起來獨立的知識之間存在著的千絲萬縷的關(guān)系。學生在自主探究回憶知識中充分應(yīng)用的分類、比較、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，加深的是知識的理解，鏈接的是知識的本質(zhì)。至此，一個個散裝的知識點因為內(nèi)在的聯(lián)系慢慢聯(lián)立成了知識鏈。
（三）在對比反思的提升中，構(gòu)建知識網(wǎng)
零碎、分散的知識鏈，在學生自主梳理中得到了完善。要將教材的知識內(nèi)化為自己的知識，還需進一步提升。通過引導探尋知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生在知識點的對比與對知識鏈的反思中，將發(fā)展變化中的數(shù)學知識鏈織成知識網(wǎng)，構(gòu)建脈絡(luò)清晰的知識模塊，在進一步豐富學生的認知結(jié)構(gòu)的同時，讓學生獲得認識事物的普遍方法。
本課的提升環(huán)節(jié)，在學生把知識點鏈接起來后，教師試圖讓學生在更廣闊的空間里去比較、合作、反思。教師以“看來圖形間是有聯(lián)系的，這樣的推導關(guān)系你能用線連一連嗎？”設(shè)問，為了更有序推進思考，教師先讓學生獨立思考，然后在組內(nèi)議一議，進行全班的匯報。在分析、比較各小組知識時，學生不難發(fā)現(xiàn)：除了正方形外，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形，三角形、梯形可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形。正是因為存在這樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系（這也是教材的序），所以我們可以根據(jù)長方形面積計算公式推導出平行四邊形面積的計算方法。而這也正是下圖雙向箭頭所表示的含義。這樣，學生腦海中那些孤立、分散、無序的圖形知識點，以再現(xiàn)、整理等辦法，串成了鏈，攏成了片，織成了網(wǎng)，縱橫溝通，形成了結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識網(wǎng)。而在思維碰撞中，學生經(jīng)歷了由模糊到清晰、由割裂到聯(lián)系、由片面到全面、由感性到理性的認識過程，他們又進一步發(fā)現(xiàn)，雖然長方形是面積推導的源頭，但是平行四邊形才是圖形轉(zhuǎn)化的鼻祖，于是他們又想到知識網(wǎng)可以從平行四邊形出發(fā)，建立起基于轉(zhuǎn)化思想的知識網(wǎng)，為進一步豐富在整體中理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)學知識的邏輯性和系統(tǒng)性奠定堅實基礎(chǔ)。
（四）在解決問題的應(yīng)用中，感悟知識價值
復(fù)習課不應(yīng)只是知識的簡單再現(xiàn)。在回顧與整理的過程中，它更多承載著溝通與生長的功能。溝通和生長的關(guān)鍵點在于練習。輔以教師引導、點撥，為學生架構(gòu)起 “認知橋梁”，讓學生感悟到知識間的碰撞、觸發(fā)、再成長，從而實現(xiàn)關(guān)聯(lián)學習，促進知識的結(jié)構(gòu)化，讓學生感悟知識的價值。
本課的應(yīng)用環(huán)節(jié)，學生很快就算出長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積都是20平方厘米。教師提問：“為什么這些圖形的面積都是20平方厘米？”。通過對圖形的分析、類比、聯(lián)想，學生發(fā)現(xiàn)長方形和平行四邊形面積相等是因為同底等高；三角形的底是10厘米是平行四邊形底的2倍，高沒變，但三角形的面積要除以2，所以面積也是20平方厘米；梯形可以通過割補轉(zhuǎn)換為底是10厘米，高是4厘米的三角形。教師根據(jù)學生的成長，拖動圖形，學生開始深入觀察圖形的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯圖形本質(zhì)的同時，也讓梯形面積計算的萬能公式的發(fā)現(xiàn)成為可能。
接著，教師拋出更高層次的問題：“像這樣，面積和高都不變的圖形還有嗎？”。學生創(chuàng)造力迸發(fā)，創(chuàng)造了多種不同形狀的等積梯形。教師捕捉學生創(chuàng)造出的上底是1，下底為9的梯形，讓學生想像圖形的形狀，追問：“上底還能再小一點嗎？”。從整數(shù)自然就拓展成了小數(shù)，進一步逼近學生頭腦中的梯形。繼續(xù)追問“上底能不能繼續(xù)小下去，直到…”打破梯形面積公式只能計算梯形的定勢，又溝了通梯形與三角形的內(nèi)在聯(lián)系，豐富梯形的教學內(nèi)涵。配合特定板書，學生很快又繼續(xù)運動想象，聯(lián)系了梯形與平行四邊形，然而這并不是終點，孩子們在運動得到倒立的三角形后驚喜發(fā)現(xiàn)：“此時的梯形已經(jīng)變成了三角形，又因為b=0梯形的面積公式就變成了ah÷2，而這就是三角形的面積公式?！表樌沓烧碌?，他們又得到了平行四邊形的面積公式的另類推導。學生在練習中發(fā)現(xiàn)知識網(wǎng)還可以以梯形為源頭，結(jié)成一張基于計算公式的新網(wǎng)。在這樣的練習題里，學生解決問題從靜態(tài)的基本圖形組成分析上升到基于關(guān)系去分析圖形之間的要素結(jié)構(gòu)與等積變換，有效實現(xiàn)了知識間的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)化。
后記：復(fù)習課的類思考
古語有云：“溫故而知新”，道出了多邊形面積復(fù)習的真諦。教師在復(fù)習課上不應(yīng)只是給知識，給練習，更應(yīng)在一個相對民主的環(huán)境中師生共同求通，求構(gòu)，求悟。
求通，即激活知識、疏通整理。如前文復(fù)習策略（一）（二）兩點所述，基于學生的學習素材，給學生一個低起點的解決問題沃土，讓學生置身于問題解決的情境中，激活知識點，如知識點之間的時間間隔比較長，教材的重溫也非常的必要。有了知識點的適時喚醒，借助于物化的學習材料如學習單、圖、表等讓學生在自主探索與合作交流中，把具有內(nèi)在聯(lián)系的知識點串成知識鏈。求通是以通達的知識節(jié)為求構(gòu)的知識網(wǎng)奠定基礎(chǔ)。
求構(gòu)，即對比提升、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)。如前文復(fù)習策略（三）所述，有了通達的知識節(jié)，還需要以能串聯(lián)起整個單元學習的內(nèi)核如教材學習的序、轉(zhuǎn)化思想等為立足點，進一步引導學生探尋知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生在通達的知識點的對比與對知識鏈的反思中，將發(fā)展變化中的知識鏈以思維導圖的形式結(jié)成知識網(wǎng)，構(gòu)建脈絡(luò)清晰的知識模塊。這種結(jié)構(gòu)化的思維導圖，不僅僅是知識脈絡(luò)的構(gòu)建，更是學生思維方式上的構(gòu)建。求構(gòu)是以結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)促成知識價值的深度感悟。
求悟，即鞏固應(yīng)用、感悟價值。如前文復(fù)習策略（四）所述，有了求構(gòu)的知識網(wǎng)，還需要指向于知識網(wǎng)中每個或者某個節(jié)下知識點的應(yīng)用練習，多以凸顯核心價值的簡單應(yīng)用為主，即既能體現(xiàn)知識點的鞏固，又能以變式促成價值的感悟。當然這樣的習題需要教師平時對學生典型問題的關(guān)注與對教材的深度挖掘?；谥R網(wǎng)下的結(jié)構(gòu)性應(yīng)用，更能以一種超脫的姿態(tài)助力學生在廣度、深度的悟得。
總之，雖復(fù)習課萬法，教亦無定法，但唯有從關(guān)注學生的復(fù)習結(jié)果中脫離出來，到關(guān)注知識網(wǎng)絡(luò)的合理構(gòu)建與關(guān)系的自然求聯(lián)，進而關(guān)注他們在復(fù)習過程中表現(xiàn)出來的一般能力的全面發(fā)展，乃至數(shù)學思維的習得，才是作為新時期的數(shù)學教育工作者的我們持續(xù)研究的方向。
本文部分觀點發(fā)表于2019年12月《小學數(shù)學教學月刊》
趣味數(shù)學——雞蛋問題
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雞蛋問題
一個基督教徒提一籃雞蛋來到市場。商人問他：“你有多少個雞蛋？”基督教徒回答到：“先生，我不記得有多少個雞蛋，只記得我在裝雞蛋時，如果每次往籃里放2個，那么就余1個；每次放3個，也余1個；每次放4個，還余1個；每次放6個，還余1個；每次放7個，剛好一個不剩，究竟有多少個雞蛋，您自己去算吧！”
本題出自1612年出版的《趣味算題集》
答案：雞蛋數(shù)量為49、133、217、301、385、469、553、637、721……，注：原算題集中答案為721
你若盛開 蝴蝶自來
審核人：徐大彬 彭應(yīng)奎
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