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聽(tīng)一聽(tīng)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺(jué)與誤解
讀一讀：除數(shù)是兩位數(shù)的除法，簡(jiǎn)單？不簡(jiǎn)單？
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輕輕松松聽(tīng)聽(tīng)書(shū)
計(jì)算的本質(zhì)是推理
——《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》第六章
（郜舒竹著）
堅(jiān)持閱讀八分鐘
除數(shù)是兩位數(shù)的除法，
簡(jiǎn)單？不簡(jiǎn)單？
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中要求：學(xué)生在第二學(xué)段要能計(jì)算“三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)的除法”。這個(gè)內(nèi)容說(shuō)簡(jiǎn)單也挺簡(jiǎn)單的，學(xué)生基本上“一聽(tīng)就會(huì)”；說(shuō)不簡(jiǎn)單也真不簡(jiǎn)單，因?yàn)橛袑W(xué)生常?！耙蛔鼍湾e(cuò)”。我們總以為計(jì)算教學(xué)是比較容易的，其實(shí)不然。
一、教材比較分析
筆者選擇了人教版和浙教版教材，來(lái)看看這兩種教材是如何編排這部分內(nèi)容的——
人教版教材所有的例題都是純計(jì)算題，每道題都精心選擇，含有很多細(xì)膩的計(jì)算技巧，由簡(jiǎn)到難、循序漸進(jìn)。人教版教材重視練習(xí)鞏固，共有6節(jié)練習(xí)課及時(shí)跟進(jìn)，這樣的編排利于學(xué)生熟練掌握計(jì)算技能，學(xué)得扎實(shí)。但學(xué)生在近三周的時(shí)間里除了計(jì)算還是計(jì)算，他們會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意思的嗎？
浙教版教材與人教版有很大的不同：
1、除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，人教版放在“商不變性質(zhì)”之后，顯然是根據(jù)商不變性質(zhì)來(lái)計(jì)算的；但浙教版放在了三下，作為四上學(xué)習(xí)的知識(shí)鋪墊。
2、浙教版四上教材中第一節(jié)課學(xué)的是商是兩位數(shù)、沒(méi)有余數(shù)的除法（945÷45、945÷32）；而人教版把這個(gè)內(nèi)容安排得比較后邊（例6：576÷18、940÷31），并包含了有余數(shù)的情況。
3、人教版的例題是純計(jì)算題，沒(méi)有情境的介入；而浙教版有具體情境，由解決問(wèn)題為切入點(diǎn)。
最讓人疑惑的是第二個(gè)區(qū)別：商是兩位數(shù)的除法放在前面教，真的可行嗎？筆者查閱了浙教版四上的教學(xué)參考書(shū)，書(shū)中記錄了張?zhí)煨⒗蠋煹难芯?，?qǐng)見(jiàn)下面兩張表格：
首先要說(shuō)明一下64800題是怎么算出來(lái)的：被除數(shù)是所有的三位數(shù)（從100到999），共900個(gè)數(shù)；除數(shù)不包括十幾的數(shù)，21—99，并去掉了整十?dāng)?shù)，共有72個(gè)兩位數(shù)，900×72=64800。
我們可以從表中看出，無(wú)論是“首位試商”還是“四舍五入試商”，商是兩位數(shù)的除法的初商正確率均高于商是一位數(shù)的除法。張老師通過(guò)研究認(rèn)為：商是兩位數(shù)的除法相對(duì)更容易些。
那么，學(xué)生會(huì)這樣想的嗎？
二、學(xué)生學(xué)情調(diào)查
9月1日，我們對(duì)使用浙教版教材的杭州上城區(qū)某校294名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情調(diào)查，學(xué)生需要完成六道題的列豎式計(jì)算。為避免學(xué)生有思想負(fù)擔(dān)，做題可不署名，且時(shí)間不限定。
以下是測(cè)試題目與統(tǒng)計(jì)結(jié)果——
①、②兩題學(xué)生已學(xué)過(guò)，正確率超過(guò)90%是正常的；③、④、⑤是這個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，正確率相當(dāng)高了（教參要求學(xué)生經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，正確率要努力達(dá)到90%）；④、⑤兩題的正確率已經(jīng)接近90%，而第③題的正確率非常高，接近97%。說(shuō)明把商是兩位數(shù)、沒(méi)有余數(shù)（三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)）的題目放在前面教學(xué)是完全可行的。
在設(shè)計(jì)測(cè)試題時(shí)，我們已預(yù)想到多數(shù)學(xué)生會(huì)做三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)，所以又補(bǔ)充了第⑥題：四位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)（說(shuō)實(shí)話(huà)，這已經(jīng)超出了課標(biāo)的要求），我們只是想知道學(xué)生能走到哪里。六成的正確率與前面幾道題相比，是低了許多?？赡苓@樣的難度才能暴露一些問(wèn)題，引發(fā)思考。
學(xué)生會(huì)錯(cuò)在哪里呢？我們把錯(cuò)因分成兩大類(lèi)：算理不清（商的定位有問(wèn)題）、計(jì)算失誤。
算理不清——
商的定位是一個(gè)難點(diǎn)，即便是學(xué)過(guò)的除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，也有學(xué)生弄不清楚，把首商寫(xiě)在百位上。原因在于學(xué)生對(duì)算理不夠清晰。
計(jì)算失誤——
我們可以從上面的錯(cuò)誤中，看出計(jì)算題的數(shù)據(jù)對(duì)學(xué)生的影響還是很大的（98乘幾的口算要求過(guò)高，而學(xué)生又不愿意打草稿），乘錯(cuò)、減錯(cuò)、除錯(cuò)都有。有意思的是，如果除數(shù)和商的乘積與被除數(shù)的個(gè)位相同，有學(xué)生會(huì)不顧事實(shí)（即便檢查出原來(lái)算錯(cuò)了），作出余數(shù)為0的誤判。（見(jiàn)最后一圖）
三、對(duì)教學(xué)的啟示
學(xué)生的學(xué)情調(diào)查對(duì)教學(xué)有什么啟示呢？
1、算理的理解比算法的記憶更重要
在除數(shù)是兩位數(shù)的除法的教學(xué)中，一定要強(qiáng)調(diào)算理，也就是要強(qiáng)調(diào)商的定位。我們?cè)谡n堂上常常對(duì)“口訣”念念不忘，比如：“除數(shù)是兩位，先看前兩位（被除數(shù)），兩位不夠看三位，除到哪位商哪位。”也許，對(duì)能力較弱的學(xué)生有一定用處，但“計(jì)算的本質(zhì)是推理”（郜舒竹語(yǔ)），而不是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地記住算法。
2、正確認(rèn)識(shí)學(xué)生的遷移能力
何為“正確認(rèn)識(shí)”？即不輕視、不高估。不輕視學(xué)生的遷移能力，教師才能相信學(xué)生自己可以嘗試計(jì)算，可以討論存在的問(wèn)題。能否將學(xué)習(xí)內(nèi)容合理整合，壓縮練習(xí)題量與練習(xí)時(shí)間，真正做到精練、橋練，課內(nèi)減負(fù)。
我們也不可高估學(xué)生的遷移能力，適當(dāng)補(bǔ)充一些四位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)的題（比如1260÷12），對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)例加以分析討論，不可完全放手。
3、重視計(jì)算的基礎(chǔ)訓(xùn)練
要重視兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，這個(gè)過(guò)程可以貫穿在整個(gè)三年級(jí)，不要追求速度，只強(qiáng)調(diào)正確率，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可引導(dǎo)其從高位算起。無(wú)論是除數(shù)是兩位數(shù)的除法，還是兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，這都是重要的計(jì)算技能。
如何強(qiáng)調(diào)算理？
浙教版教材是用問(wèn)題情境引入的，把計(jì)算與實(shí)際生活中的路程、速度、時(shí)間的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起。
在出示并解讀了問(wèn)題后，可由學(xué)生獨(dú)立列式并嘗試計(jì)算。但在討論交流時(shí)，一定要重點(diǎn)問(wèn)學(xué)生：“2”為什么寫(xiě)在商的十位上？我們希望學(xué)生能明白，第一步算“94÷45”，這里的“94”代表的是“94個(gè)十”，94個(gè)十除以45，最多得到2個(gè)十，所以“2”要寫(xiě)在商的十位上。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)中的學(xué)生回答會(huì)更多樣更精彩，有學(xué)生說(shuō)：“如果2寫(xiě)在商的百位上，就是200，200×45=9000，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于945了?！?/p>
另外，教師可追問(wèn)：豎式中的“90”、“45”是怎么來(lái)的，希望學(xué)生明白：“90”是“2個(gè)十乘45得到的90個(gè)十，只是省略了個(gè)位的0”，“45”是“1乘45得到的?！?/p>
如何進(jìn)一步提升思維含量？
讓學(xué)生比較兩個(gè)部分積的大小，進(jìn)一步明細(xì)每個(gè)部分積是怎么來(lái)的。
當(dāng)除法豎式中一個(gè)具體的數(shù)都沒(méi)有時(shí)，學(xué)生來(lái)判斷兩個(gè)部分積A與B誰(shuí)大，就變成一個(gè)抽象的問(wèn)題了。學(xué)生要通過(guò)推理來(lái)得到正確的答案。上圖中學(xué)生的回答思路非常清晰，表達(dá)也很棒。
四、其他的話(huà)
除數(shù)是兩位數(shù)的除法（三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)），可以說(shuō)是整數(shù)除法中最難的學(xué)習(xí)內(nèi)容了。學(xué)生掌握算法并不難，算法“一聽(tīng)就會(huì)”，但真做起來(lái)很容易出錯(cuò)。但反復(fù)操練又容易引起學(xué)生的反感，所以，如何讓計(jì)算課變得有意思是非常重要的。而讓學(xué)生感到“有意思”，就得有一些思維上的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生“跳一跳”能夠“摘得到”。
在斯苗兒老師看來(lái)，計(jì)算教學(xué)不急于介入情境，避免干擾；學(xué)生要掌握“通法”，而不是具體的計(jì)算技巧。她建議：讓老師和學(xué)生們各找十道容易錯(cuò)的題目，然后花一點(diǎn)時(shí)間來(lái)討論，為什么這些題容易錯(cuò)？學(xué)生再對(duì)照老師的題，看看與自己找的題有沒(méi)有不一樣的地方？把算理弄清楚后，練習(xí)時(shí)就采取競(jìng)賽的方式，每天評(píng)出“計(jì)算小能手”，張榜激勵(lì)。無(wú)論如何，教師要考慮的是：如何在保證教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，讓學(xué)生保持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
讓學(xué)生樂(lè)學(xué)、會(huì)學(xué)，是每一個(gè)老師應(yīng)該思考并努力實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。
你若盛開(kāi) 蝴蝶自來(lái)
審核人：孫旻晗 施嬌娥
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