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向你介紹我是誰
喜迎國慶
2019/10/1
大家好，我是朱樂平名師工作站“一課研究”團隊第9組的成員范長江，來自溫州市龍灣區(qū)永中第二小學(xué)，很高興與您在“一課研究”微信平臺相遇。
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本期內(nèi)容有哪些
1.數(shù)學(xué)聽書：一課研究之“‘數(shù)感’，你是什么？”
2.堅持閱讀：“小學(xué)數(shù)學(xué)三、四年級除法豎式錯誤現(xiàn)象及成因”
3輕松一刻：四舍五入
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輕輕松松聽書
20191009數(shù)感 來自一課研究 00:00 06:07
本期內(nèi)容節(jié)選自：《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》（曹培英著）
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堅持閱讀8分鐘
在學(xué)習(xí)除法的時候，我們會經(jīng)常聽家長說：“這么簡單的題目都錯了，真粗心”，作為老師，我們是否思考過家長說這句話的時候，孩子為什么錯？孩子真的是粗心嗎？為什么學(xué)生學(xué)習(xí)除法豎式計算相比加減乘更困難？常犯的除法豎式計算錯誤又主要有哪些類型呢？
一
深耕教材，理清教學(xué)內(nèi)涵特性
除法豎式那么重要嗎？立足教材是數(shù)學(xué)教育回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的源頭。本人對人教版教材在除法豎式計算教學(xué)知識點的有關(guān)教材編排、教學(xué)目標以及內(nèi)容分布進行了收集。
在課標2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中，小學(xué)階段有關(guān)除法豎式的知識在階段目標中的知識與技能目標的“數(shù)與運算”領(lǐng)域有所闡述：
從表1、2中我們可以看到，人教版將除法筆算分段納入各個年級的教學(xué)。整數(shù)、小數(shù)除法的豎式計算涉足到二至五年級，而運算方法主要在二至四年級，五年級將整數(shù)除法豎式拓展到小數(shù)部分，其運算方法依賴前期整數(shù)除法的運算法則?？梢姵ㄘQ式教學(xué)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中是非常重要的。因此，了解學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法豎式困難成為一種必要，讓學(xué)生的錯誤可見、可分析。
二
立足調(diào)查，確定學(xué)生錯誤根源
有教育專家說，“學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所犯的錯誤是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源”?；谌私贪娼滩闹嘘P(guān)于整數(shù)除法豎式的教學(xué)內(nèi)容主要安排在三、四年級，為了克服除法豎式難教、難學(xué)的現(xiàn)狀，對我校三、四年級368名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，來探索小學(xué)三、四在整數(shù)除法豎式計算過程中容易出現(xiàn)的錯誤類型以及錯誤的原因。
（一）聚焦結(jié)果，明晰錯因
三年級的題目主要以除數(shù)是一位數(shù)的內(nèi)容為主，涉及到有無余數(shù)，中間與末尾有無商“0”及被除數(shù)與部分商和除數(shù)的乘積相減時需要借位等問題。
四年級主要是除數(shù)是兩位數(shù)的除法為主（被除數(shù)仍是三位數(shù)），商仍在整數(shù)范圍，由于被除數(shù)、除數(shù)的數(shù)位有所增多，四年級整數(shù)除法豎式中涉及到的題目類型也有所增加。
根據(jù)知識點的不同，將兩個年級分別根據(jù)相應(yīng)內(nèi)容設(shè)計題目，兩個年級測查的題目總量一樣，都是24道題目。
根據(jù)測查結(jié)果，四年級的錯題數(shù)量要明顯多于三年級的錯題數(shù)量。
（二）錯因歸類，辯析成因
1.三年級錯題分析
從表3來看學(xué)生錯誤情況，有余數(shù)的題目錯誤率高于沒有余數(shù)的題目；從表6來看，三年級計算錯題主要集中在“0”的處理上。在相關(guān)商有商零的兩類錯誤題數(shù)96題，占到總錯題128題的75%，尤其是商中間有零的除法占到總錯題數(shù)的61.7%。測查結(jié)果顯示，如果被除數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字均為除數(shù)的倍數(shù)，學(xué)生的錯誤相對較少。如：903÷3，學(xué)生知道商的十位有“0”，有時會忽略；654÷6這類沒有余數(shù)，相較于932÷9有余數(shù)的錯誤率較低（見表3）。
2.四年級錯題分析
（1）除數(shù)的特征對題目錯誤率的影響
四年級的除法豎式計算內(nèi)容將除數(shù)從一位數(shù)擴充到了兩位數(shù)，并從整十數(shù)逐步過渡到一般的兩位數(shù)。
從運算法則上來講，除數(shù)是整十數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法類似，試商時只需考慮除數(shù)的十位數(shù)字就可以了，此類題目在難易程度上要比除數(shù)是一般兩位數(shù)的題目要簡單。但從測試的結(jié)果來看，卻并非如此。
如下表所示，在四年級的題目中，除數(shù)為整十數(shù)的除法總錯題數(shù)是152道，平均每題有約11人出錯，對于除數(shù)是一般兩位數(shù)的題目，總錯題數(shù)是96道，平均每題有約10人出錯，兩類題目的平均錯題數(shù)相差近1題。這個結(jié)果與最初的預(yù)期是不同的。
仔細分析學(xué)生錯誤原因，主要在于其第一類題目（t1.3-t1.6）錯誤率相對較低。該類題目雖然除數(shù)為一般兩位數(shù)，但是商為一位數(shù)，且余數(shù)為零。在學(xué)生已知余數(shù)為零的情況下，試商時可以綜合考慮除數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字。首先根據(jù)除數(shù)的十位數(shù)字確定商的范圍，接下來就只要滿足讓商與除數(shù)的個位數(shù)字相乘的結(jié)果等于被除數(shù)的個位數(shù)字就可以了，這反而在無形之中降低了題目的難度。因此雖然同為除數(shù)是一般兩位數(shù)的除法，t1.3-t1.6的錯題數(shù)相對較少。
在除數(shù)為整十數(shù)的題目中，該類題目與其他除數(shù)為整十數(shù)題目的不同之處在于其被除數(shù)、除數(shù)的個位數(shù)字均為零，并且余數(shù)的個位數(shù)字也是零。由于學(xué)生在解題時已經(jīng)學(xué)過了商不變的性質(zhì)，在做題時將被除數(shù)和除數(shù)同時縮小相同倍數(shù)以求得商，但是余數(shù)的末尾又往往不寫零，從而造成計算出錯。因此雖然該類題目錯誤率較高，但是與除數(shù)為一般兩位數(shù)的題目錯誤原因不同，學(xué)生的困難不在試商，而在于對商不變性質(zhì)的理解上。
（2）試商問題
T2.11這道題的錯誤率遠遠高于其它的題目，從下圖可知學(xué)生的錯誤主要在試商。商小了的錯誤在除法豎式計算中是極普遍的錯誤。
關(guān)于學(xué)生試商問題，本人也對所有錯題進行了一次統(tǒng)計，結(jié)果如預(yù)期。
對于商是兩位數(shù)的除法，運算的法則是一般按照四舍五入法，把除數(shù)看成和它接近的整十數(shù)來試商。用四舍的方法試商，除數(shù)看小了，商容易偏大，要把商調(diào)小用五入的方法試商，除數(shù)看大了，商容易偏小，要把商調(diào)大。學(xué)生在解題時往往是按照法則操作，做到這里，運算過程己經(jīng)“完畢”，對于結(jié)果合理性的判斷和驗證常常被學(xué)生忽略，因此導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤。這類錯誤通常發(fā)生在除數(shù)的個位數(shù)字較大的情況下。
三
尋因本質(zhì)，把握課堂教學(xué)方向
研究的目的是為了更好地把握課堂，本研究采用調(diào)查研究的實證方法，了解xx學(xué)校三、四年級學(xué)生對整數(shù)除法豎式理解的現(xiàn)狀及錯誤成因。綜合上面的錯誤，思考三、四年級的主要錯因與教學(xué)建議：
（一）主要錯誤原因
1.學(xué)生在被除數(shù)各個數(shù)位上與除數(shù)的關(guān)系上的困難
三年級試卷中除數(shù)是一位數(shù)、被除數(shù)是兩位數(shù)或三位數(shù)題目的錯誤進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)各位數(shù)字均是除數(shù)倍數(shù)的題目相比同類其他題目錯誤率較低。
盡管兩題同為兩位數(shù)除以一位數(shù)、余數(shù)為零的除法，但是學(xué)生在實際解題的過程中思維的過程有很大差異，這也就造成了被除數(shù)各位數(shù)字不全為除數(shù)倍數(shù)的題目錯題數(shù)更多。
2.學(xué)生在確定商上的困難
總共2208道題，學(xué)生總錯題數(shù)356題，錯題率約為16%，其中，主要錯誤在商的中間與末尾商零的題目與商的首位數(shù)字寫錯。
①商的首位數(shù)字寫錯位置
在四年級的全部題目中，容易出現(xiàn)該類錯誤的題目多為除數(shù)為整十數(shù)即除數(shù)末尾有零的除法。
②商中間或末尾沒寫零
題目中的錯題雖然沒有寫零，但是可以明顯地看出學(xué)生在豎式運算的過程中，明確地知道被除數(shù)的十位數(shù)字是不夠的，或者個位上還有數(shù)字，因此在商的十位或個位數(shù)字上留出了位置。學(xué)生在十位或末尾沒有寫零主要是商不變性質(zhì)的理解不夠。
（二）對教學(xué)的啟示
1.小學(xué)生解題的過程易受先前學(xué)習(xí)影響
學(xué)習(xí)新知識時，是新知識體系的建立過程，同時也是對舊知識體系的顛覆或補充的過程。從計算過程來看，學(xué)生先將被除數(shù)、除數(shù)同時擴大倍，使除數(shù)變成整數(shù)，然后從被除數(shù)的末尾開始除起，并最終得到了結(jié)果。這一點，顯然是從乘法豎式的計算方法而來的，學(xué)生的己有經(jīng)驗對新的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了消極影響。
2.學(xué)生思維的靈活性有待增強
在學(xué)生熟練掌握了除法的計算法則之后，計算的過程就不再像以前那樣，學(xué)生不會在頭腦中“分小棒”了，而只是不斷重復(fù)著試商，相乘、相減、落數(shù)、試商、相乘、相減……”這個不斷循環(huán)往復(fù)的過程?！霸谶@個階段學(xué)生已經(jīng)到了運算技能的自動化階段，獲得了運算的速度和較高的正確率，但是逐步失去了對該行為的意識控制。在這個過程中，學(xué)生的思維要不斷在上述幾個步驟之間調(diào)整，進行不同的運算。對于小學(xué)生來講，思維的靈活性發(fā)展還不夠完善，往往兼顧了一個特點就會忽略另一方面的特征，難免出現(xiàn)錯誤。
總之，除法豎式計算是思維訓(xùn)練的好素材,了解了學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的類型與原因，需要教師在教學(xué)中對學(xué)生的錯誤予以恰當?shù)某C正。
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輕松一刻：四舍五入
仔仔興高采烈地從學(xué)校里回來，問媽媽：“爸爸呢？”媽媽看到仔仔興奮的樣子，奇怪地問：“爸爸在家，你找爸爸做什么？”“我向爸爸要5角錢?！?“為什么？”媽媽問道。“在考數(shù)學(xué)以前，爸爸對我說‘如果考了100分，就給我1元錢，考80分給8角?！裉?，我數(shù)學(xué)考了45分?！弊凶谢卮鹫f。媽媽吃驚地問：“什么！數(shù)學(xué)才考45分？”仔仔得意地說：“是呀，數(shù)學(xué)上要4舍5入，因此，爸爸必須付5角錢?！?/p>
審核人：桂云、張明明
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