例談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略
統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，究其根源在于過去的教學(xué)大綱片面強(qiáng)調(diào)古典概率的計(jì)算，過于強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)密性，而忽略了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的研究．現(xiàn)在高中新課標(biāo)明確提出了要在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法，使學(xué)生形成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度，能有效地利用統(tǒng)計(jì)分析的方法，科學(xué)合理地利用數(shù)據(jù)信息．同時(shí)，讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象，將有助于他們形成科學(xué)的世界觀與方法論[1]．然而在高中統(tǒng)計(jì)與概率中涉及隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)思想、分類思想、歸納思想等諸多數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？教學(xué)過程中又如何處理好它們之間的關(guān)系？對(duì)這些問題若沒有清楚的認(rèn)識(shí)，就會(huì)讓人有一種“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”的感覺．這樣不僅很難讓學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法，而且也不可能真正落實(shí)新課程所倡導(dǎo)的科學(xué)理念．
1 深刻領(lǐng)會(huì)隨機(jī)思想
對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，約翰·布蘭斯福特認(rèn)為：“教學(xué)要圍繞‘大概念’或‘大觀點(diǎn)’（big idea）來聯(lián)系和組織……有效的學(xué)習(xí)要求教師必須了解他們所教學(xué)科的結(jié)構(gòu)（貫穿于其中的思想），并以此作為認(rèn)知路標(biāo)來指導(dǎo)學(xué)生的作業(yè)，來評(píng)價(jià)學(xué)生的進(jìn)步．”[2]把這句話用在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)上，就是教學(xué)中必須始終抓住數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)，并圍繞這一脈絡(luò)來組織數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想網(wǎng)絡(luò)．具體到高中統(tǒng)計(jì)與概率中的教學(xué)就應(yīng)該牢牢把握隨機(jī)思想這一核心思想并圍繞這一思想來構(gòu)建數(shù)學(xué)思想網(wǎng)絡(luò)．而要深刻理解隨機(jī)思想又需要首先對(duì)隨機(jī)思想的發(fā)展脈絡(luò)有比較清晰的了解．為此，有必要對(duì)隨機(jī)思想的發(fā)展歷史進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧．
1.1 要準(zhǔn)確把握隨機(jī)思想的發(fā)展脈絡(luò)
對(duì)隨機(jī)思想的認(rèn)識(shí)要追溯到 17 世紀(jì)中葉，當(dāng)時(shí)以微積分和微分方程為主要工具的確定性數(shù)學(xué)在處理大量具有偶然因素的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)遇到了前所未有的挑戰(zhàn)．例如，在研究氣體性質(zhì)時(shí)，一方面，由于氣體分子不僅數(shù)目眾多、高速運(yùn)動(dòng)，而且還在不斷的碰撞中改變方向．如果按照經(jīng)典數(shù)學(xué)精確描述的方法，就要對(duì)每個(gè)分子列出微分方程式，而含有這么多未知量的微分方程組人們根本無法求解．而更為重要的是，在實(shí)際情況當(dāng)中，條件隨時(shí)隨地都會(huì)發(fā)生變化，還可能存在各種偶然因素的干擾，有些即使是很細(xì)微的干擾也有可能產(chǎn)生截然相反的結(jié)果．而另一方面，人們并不需要詳細(xì)知道每個(gè)分子在每一時(shí)刻和地點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，而只需要了解大量分子運(yùn)動(dòng)的總體性質(zhì)和特征——體積、溫度、壓強(qiáng)等．而對(duì)由大量成員組成，或者出現(xiàn)大量次數(shù)的事件時(shí)，人們有必要也只可能通過大量的觀察統(tǒng)計(jì)，尋找事物發(fā)展各種可能性出現(xiàn)的頻率，求出平均數(shù)值即概率，揭示統(tǒng)計(jì)性的平均規(guī)律．正是基于這一時(shí)代背景，產(chǎn)生了運(yùn)用隨機(jī)思想去處理這一類問題的想法，這就是隨機(jī)思想的最初產(chǎn)生的起源．后來，著名數(shù)學(xué)家巴斯碦和費(fèi)馬等人從研究賭博開始，運(yùn)用定量方法對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行系統(tǒng)的研究，導(dǎo)致了運(yùn)用定量數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生．此后，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力，特別是概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)在社會(huì)統(tǒng)計(jì)、天文、大地測(cè)量的誤差計(jì)算和流體動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理的研究過程中，到 19 世紀(jì)初比較完整的理論體系的形成和 19 世紀(jì)末系統(tǒng)公理體系的確立，標(biāo)志著隨機(jī)思想的發(fā)展從最初自發(fā)的萌芽階段逐漸發(fā)展到自覺的實(shí)際應(yīng)用階段直到最終形成系統(tǒng)的理論階段．
1.2 揭示隨機(jī)思想與其它數(shù)學(xué)思想方法之間的內(nèi)在聯(lián)系
在高中統(tǒng)計(jì)與概率中，隨機(jī)思想與其它一些重要數(shù)學(xué)思想如統(tǒng)計(jì)思想、分類思想、歸納思想等諸多重要數(shù)學(xué)思想之間存在著密切的聯(lián)系，準(zhǔn)確揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系不僅可以深入領(lǐng)會(huì)這些數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，而且可以深化對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的理解。
（1）隨機(jī)思想與分類、歸納等確定性數(shù)學(xué)思想．
隨機(jī)通常是指事件不可預(yù)測(cè)．具體來說，隨機(jī)包含兩方面的含義，一方面，單一事件的不確定性和不可預(yù)見性（具有偶然性）；另一方面，事件在經(jīng)歷大量數(shù)次重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性（具有必然性）[3]．雖然隨機(jī)思想是從解決現(xiàn)實(shí)世界中的不確定性問題發(fā)展起來的，但隨機(jī)思想其實(shí)不過是高維的確定性問題作低維處理的一種方式而已．比如每次擲骰子的結(jié)果，顯然應(yīng)該是其初始條件向量與過程中很多細(xì)微因素共同形成的，皆因現(xiàn)時(shí)無力探知、掌握和控制它們，這才將其（很多因素）統(tǒng)一地以一個(gè)隨機(jī)因素ξ來表示．其實(shí)，確定數(shù)學(xué)又何嘗不是如此，確定性數(shù)學(xué)模型的建立過程中也丟掉了不少“弱”因素．因此，從實(shí)踐意義上講，確定數(shù)學(xué)也應(yīng)該是隨機(jī)的．隨機(jī)數(shù)學(xué)與確定數(shù)學(xué)僅僅只是處理方法上的差別而已[4]．而從隨機(jī)思想的起源來看，它又是分類、歸納等確定性數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步發(fā)展和具體運(yùn)用．事實(shí)上，作為定量研究隨機(jī)思想的概率和統(tǒng)計(jì)方法最先起源于歸納法，概率的發(fā)展經(jīng)歷了從歸納法到概率歸納法再到概率論的發(fā)展過程，而統(tǒng)計(jì)思想則是“由局部到整體”、“由特殊上升到一般”，是歸納法在數(shù)學(xué)上的具體應(yīng)用[5]．追而溯之，歸納的過程又需要分類、特殊化、一般化等方法的綜合運(yùn)用才能實(shí)現(xiàn)．歸納首先按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將研究對(duì)象進(jìn)行分類研究，在分類基礎(chǔ)上通過特殊化方法將對(duì)某類對(duì)象的研究轉(zhuǎn)到包含該類中較小的一類對(duì)象的研究．特殊化以后還要進(jìn)一步一般化才能真正完成歸納的過程．
（2）隨機(jī)思想與統(tǒng)計(jì)、概率思想．
作為研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，概率是從數(shù)量的角度來研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，從中尋找這些隨機(jī)現(xiàn)象所服從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法研究各種隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之間的相互聯(lián)系[6]．而統(tǒng)計(jì)思想則是從一組樣本分析、判斷這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，或判定某一論斷能以多大的概率來保證其正確性，或算出發(fā)生錯(cuò)誤判斷的概率[5]．盡管隨機(jī)思想與統(tǒng)計(jì)、概率思想研究的都是隨機(jī)現(xiàn)象，但隨機(jī)思想更基本，因?yàn)闊o論是概率的研究還是統(tǒng)計(jì)的研究都必須建立在事件的發(fā)生具有隨機(jī)性這一思想前提之上，沒有隨機(jī)思想，就沒有統(tǒng)計(jì)與概率，研究大量復(fù)雜現(xiàn)象也將變成空話．而概率與統(tǒng)計(jì)思想則更深刻、更精確，是對(duì)隨機(jī)思想的量化發(fā)展．前已述及，隨機(jī)思想既具有偶然性一面，又具有必然性一面，然而必然性并不會(huì)自動(dòng)顯現(xiàn)出來，它總是隱藏在偶然現(xiàn)象背后并通過大量隨機(jī)的偶然現(xiàn)象表現(xiàn)出來，那么如何來發(fā)現(xiàn)和把握偶然現(xiàn)象背后的必然性呢？這就需要依靠統(tǒng)計(jì)和概率方法來準(zhǔn)確把握偶然現(xiàn)象背后的必然性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律和概率規(guī)律．比如拋擲一枚硬幣，究竟是正面朝上還是反面朝上通常被認(rèn)為是完全隨機(jī)的，這就是隨機(jī)思想，但這一思想通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或直覺得出來的，因此它實(shí)際上是一種經(jīng)驗(yàn)性的隨機(jī)思想．而如果通過統(tǒng)計(jì)的方法去計(jì)算出某一次試驗(yàn)中正面朝上和反面朝上的數(shù)目，再進(jìn)一步通過概率方法計(jì)算出正面朝上和反面朝上的概率，那么就可以揭示出這一試驗(yàn)背后的內(nèi)在規(guī)律——正面朝上和反面朝上的概率幾乎相等．
（3）隨機(jī)思想與等可能假設(shè)．
所謂等可能性假設(shè)，它是按照等可能性對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類以便于更好地研究問題．它是一種理想化的假設(shè)，它特別適用于復(fù)雜事件的研究，當(dāng)決定一個(gè)事件發(fā)生的原因很多，而且這些原因本身沒有主次之分，或者即使有主次之分，但這些原因?qū)Ω鞣N可能結(jié)果的作用不存在明顯的差別時(shí)，我們可以理想化地認(rèn)為各種結(jié)果的發(fā)生機(jī)會(huì)是等可能的．如拋擲一枚硬幣若干次，盡管每次拋擲時(shí)的拋擲位置、拋擲方向、拋擲速度、用力程度以及當(dāng)時(shí)的風(fēng)力、風(fēng)向都各不相同，但我們卻可以忽略各個(gè)具體試驗(yàn)的特殊條件，而把每次試驗(yàn)都看作是等可能性事件．可以說，等可能性假設(shè)在統(tǒng)計(jì)與概率的研究中有著基礎(chǔ)的重要性，這是因?yàn)闊o論是統(tǒng)計(jì)中的抽樣還是概率中的試驗(yàn)，都要以等可能性思想為前提，或者至少是在局部用到等可能性思想．統(tǒng)計(jì)中的抽樣總是要盡可能遵循隨機(jī)或等可能的原則；概率則是對(duì)“可能性”的量化，對(duì)不確定的、隨機(jī)的事件及其隨機(jī)性的度量與估計(jì)．
隨機(jī)思想與等可能性假設(shè)之間又存在著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系主要表現(xiàn)為隨機(jī)思想與等可能性假設(shè)之間既對(duì)立又統(tǒng)一．一方面，這兩者之間存在著差別，隨機(jī)思想是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中大量隨機(jī)現(xiàn)象的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，而等可能假設(shè)則是人們?yōu)榱搜芯繂栴}方便所做的一種理想化假設(shè)．前者是一種規(guī)律性認(rèn)識(shí)，其正確性已經(jīng)被大家所公認(rèn)；而后者只是一種假設(shè)，其正確性有待檢驗(yàn)．另一方面，這兩者之間又存在統(tǒng)一性，隨機(jī)思想是研究隨機(jī)現(xiàn)象的立足點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)，而等可能假設(shè)則是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一種具體方法，它是隨機(jī)思想在研究隨機(jī)現(xiàn)象過程中的具體運(yùn)用．沒有等可能假設(shè)，隨機(jī)思想就只能是空想，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行定量研究就成為一句空話．事實(shí)上，隨機(jī)往往總會(huì)表現(xiàn)為一定程度的等可能性，如果不存在絲毫的等可能性，那么這樣的隨機(jī)又怎么能稱得上隨機(jī)呢？同樣，沒有隨機(jī)思想，等可能假設(shè)也就成了無源之水，無本之木．比如剛才所提到的拋擲硬幣的試驗(yàn)，盡管我們都知道并不存在真正意義上的等可能事件，但我們卻可以在不影響結(jié)果正確性的前提下假定每次試驗(yàn)都是等可能的，為什么呢？其根本原因就在于我們有隨機(jī)思想這一思想基礎(chǔ)，否則我們就無法進(jìn)行哪怕是最簡(jiǎn)單的研究．
2 進(jìn)一步揭示其它重要數(shù)學(xué)思想及其內(nèi)在聯(lián)系
在高中統(tǒng)計(jì)與概率中不僅涉及很多重要數(shù)學(xué)思想方法，而且這些數(shù)學(xué)思想方法之間還存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，廓清這些數(shù)學(xué)思想方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅有助于我們準(zhǔn)確把握各種數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，而且有助于我們更好地改進(jìn)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)，這里擇其精要略作分析．
2.1 統(tǒng)計(jì)與概率及分類思想
分類思想是一種非常重要的思想方法．恩格斯說：“無數(shù)雜亂的認(rèn)識(shí)資料得到清理，它們有了頭緒，有了分類，彼此之間有了因果聯(lián)系……知識(shí)變成了科學(xué)．”[7]可以說，對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)是以系統(tǒng)分類為起點(diǎn)，這是自然科學(xué)進(jìn)行理論思維的前提．任何處理大量經(jīng)驗(yàn)材料的科學(xué)研究，都離不開科學(xué)的分類，否則就如墮煙海，無從下手．統(tǒng)計(jì)與概率的研究也不例外，在高中統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，分類思想方法對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的研究有著基礎(chǔ)的重要性，深入領(lǐng)會(huì)分類思想方法是靈活運(yùn)用其它各種思想方法的前提．統(tǒng)計(jì)與概率中所涉及的許多問題（隨機(jī)現(xiàn)象）最后往往都要通過分類思想方法轉(zhuǎn)化為確定性問題；比如高中概率的古典概率問題的計(jì)算需要應(yīng)用排列與組合，而排列與組合方法又離不開分類方法．特別是對(duì)于一些比較復(fù)雜的概率問題，由于試驗(yàn)的復(fù)雜性和條件的特殊性，試驗(yàn)結(jié)果往往不是等可能出現(xiàn)的，因此，一般很難運(yùn)用統(tǒng)一的方法進(jìn)行處理，這時(shí)常常要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)（通常以等可能性作為標(biāo)準(zhǔn)），采用一定的方法（如按照試驗(yàn)條件或某個(gè)典型特征）將試驗(yàn)結(jié)果分成若干個(gè)便于計(jì)算的類來進(jìn)行計(jì)算．再比如統(tǒng)計(jì)中的分層抽樣問題的計(jì)算也需要運(yùn)用分類方法．這是因?yàn)樵谝恍┚唧w的抽樣過程中，從總體上來看各個(gè)樣本之間并不具有等可能性，而在某個(gè)局部卻可能是等可能的或者可以近似地看作是等可能的，這時(shí)可以通過分類方法將總體分成若干個(gè)部分，使得在每一部分內(nèi)樣本之間又是等可能的，這樣就可以對(duì)每一個(gè)具體部分進(jìn)行分別抽樣．
2.2 概率思想與歸納思想
歸納法與概率之間存在著非常密切的聯(lián)系，早在亞里士多德時(shí)代，人們就已經(jīng)對(duì)歸納方法有了非常深入的了解和認(rèn)識(shí)，而概率方法的真正被承認(rèn)是在中世紀(jì)以后的事，而且是由于歸納方法和實(shí)驗(yàn)方法在實(shí)踐中遇到了困難才逐漸被人們所注意和重視，歸納法中的概率歸納推理（它是根據(jù)一類事件中部分事件出現(xiàn)的概率，推出該類所有事件出現(xiàn)的概率的不完全歸納推理）[8]，就是歸納法發(fā)展到極致，是從歸納法向概率法發(fā)展的標(biāo)志，概率歸納推理是由部分到全體的推理，它的特點(diǎn)是對(duì)可能性的大小作數(shù)量方面的估計(jì)．它的結(jié)論超出了前提所斷定的范圍，因而是或然的．從某種程度上來說，歸納是一種特殊的概率，概率方法是歸納法的自然推廣，概率是歸納法發(fā)展到一定程度的必然產(chǎn)物．概率方法本身是對(duì)大量隨機(jī)事件和隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的一種歸納，它是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的結(jié)果的歸納，它并不關(guān)心事件發(fā)生的具體過程；而歸納法不僅關(guān)注事件發(fā)生的結(jié)果，它還關(guān)注事件發(fā)生的具體過程，它承認(rèn)事件發(fā)生過程中的規(guī)律性，并以此為基礎(chǔ)來研究事件發(fā)生過程中的規(guī)律性．它主要適用于少變量因果關(guān)系的簡(jiǎn)單事件所決定的問題，而概率方法則主要適用于多變量因果關(guān)系的復(fù)雜事件所決定的問題．從歸納法到概率方法反映了人們的認(rèn)識(shí)從確定性走向不確定性的一種歷史必然．
2.3 統(tǒng)計(jì)思想與特殊化思想
所謂特殊化思想方法，它是將研究對(duì)象或問題從一般狀態(tài)轉(zhuǎn)化為特殊狀態(tài)進(jìn)行考察和研究的一種思想方法．波利亞曾說過：“特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小子集或僅僅一個(gè)對(duì)象．”特殊化思想方法的哲學(xué)基礎(chǔ)是矛盾的普遍性寓于特殊性之中．而數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法是通過對(duì)樣本的研究來把握總體內(nèi)在規(guī)律的一種研究方法，換句話說，統(tǒng)計(jì)是通過對(duì)特殊事物的認(rèn)識(shí)來把握一般性規(guī)律．因此，從某種意義上來說，數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法是一種特殊化思想方法．若將這兩種數(shù)學(xué)思想方法作一比較則可以發(fā)現(xiàn)，前者主要處理確定性問題，它更側(cè)重過程和對(duì)具體方法的把握；而后者則主要研究隨機(jī)現(xiàn)象，它更強(qiáng)調(diào)對(duì)結(jié)果和整體思想的把握．事實(shí)上，數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法并不局限在具體的方法層次，它主要是從思想層次來把握，可以說數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法是一種真正意義上的特殊化思想方法，它是特殊化思想方法發(fā)展的高級(jí)階段．如果把通常意義上的特殊化思想方法說成是一種狹義的特殊化思想方法，那么統(tǒng)計(jì)思想就是一種廣義的特殊化思想方法．
3 啟 示
3.1 把握數(shù)學(xué)思想發(fā)展脈絡(luò)有助于恰當(dāng)把握教學(xué)的起點(diǎn)
把握數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)，有助于及時(shí)了解學(xué)生隨機(jī)思想發(fā)展的具體階段，并為確定統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)起點(diǎn)找到科學(xué)依據(jù)．事實(shí)上，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中常常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)谏形磳W(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率之前頭腦中就存在一些有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的潛觀念，這些概念中有些本身是錯(cuò)誤觀念，如果在教學(xué)前教師對(duì)學(xué)生頭腦中的這些潛觀念沒有很好的了解，那么在進(jìn)行教學(xué)時(shí)可能會(huì)無的放矢，甚至?xí)卤豆Π耄热?，有些學(xué)生，尤其是年級(jí)小的學(xué)生往往依據(jù)自己的直覺或自己的信念考慮問題，在進(jìn)行拋骰子的試驗(yàn)中，他們或強(qiáng)調(diào)拋擲方法決定拋擲結(jié)果，或堅(jiān)持說世界上沒有不公平的骰子．有些學(xué)生甚至在面對(duì)的證據(jù)充分顯示某一骰子很可能有偏向的時(shí)候，也還是不愿接受該骰子是不公平的這一說法[9]．對(duì)于這種現(xiàn)象，最好的辦法就是在新內(nèi)容的教學(xué)之前采取措施消除、避免和糾正學(xué)生頭腦中已有的錯(cuò)誤觀念．
3.2 把握數(shù)學(xué)思想發(fā)展網(wǎng)絡(luò)有助于選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法
把握數(shù)學(xué)思想網(wǎng)絡(luò)還有助于我們對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率中的數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)整體的、明晰的認(rèn)識(shí)，有助于我們從宏觀上準(zhǔn)確把握這些數(shù)學(xué)思想方法究竟體現(xiàn)在哪些章節(jié)、體現(xiàn)到什么程度，在具體教學(xué)中如何螺旋上升．同時(shí)，還有助于我們進(jìn)一步弄清每一數(shù)學(xué)事實(shí)背后各體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法、體現(xiàn)到什么程度，在具體教學(xué)中應(yīng)該滲透還是介紹、抑或突出，從而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法．比如，如果我們知道統(tǒng)計(jì)和概率是對(duì)隨機(jī)思想的發(fā)展和量化，而且知道學(xué)生在義務(wù)教育階段就形成了豐富的隨機(jī)思想，那么我們?cè)诟咧薪y(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中就應(yīng)該采取自上而下的教學(xué)方法，讓學(xué)生的隨機(jī)思想由經(jīng)驗(yàn)上升到理性，而且可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)情境來促進(jìn)學(xué)生頭腦中經(jīng)驗(yàn)的隨機(jī)思想向量化的隨機(jī)思想——統(tǒng)計(jì)與概率思想發(fā)展．
3.3 構(gòu)建數(shù)學(xué)思想網(wǎng)絡(luò)使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀與世界觀
無論是隨機(jī)思想還是統(tǒng)計(jì)與概率思想都是以現(xiàn)實(shí)世界中的不確定現(xiàn)象作為其研究對(duì)象，構(gòu)建數(shù)學(xué)思想網(wǎng)絡(luò)有助于學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)這些數(shù)學(xué)思想，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)運(yùn)用這些思想去處理和解決現(xiàn)實(shí)世界中的不確定性問題，盡快實(shí)現(xiàn)從形式思維向辯證思維的過渡，最終形成正確的數(shù)學(xué)觀和世界觀．比如，深入領(lǐng)會(huì)隨機(jī)思想可以使我們改變單純強(qiáng)調(diào)確定性的錯(cuò)誤傾向，深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更好地把握確定性與隨機(jī)性之間的統(tǒng)一，認(rèn)識(shí)到隨機(jī)問題不過是高維的確定性問題作低維處理的一種方法而已．再比如，深入領(lǐng)會(huì)等可能性思想，不僅是理解和掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)，而且有助于我們深化對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)世界既具有確定性的一面，同時(shí)還具有不確定性的一面，進(jìn)而形成在確定性與不確定性的辯證統(tǒng)一中來把握現(xiàn)實(shí)世界的、正確的認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度．同時(shí)，還有助于我們形成公平、公正、平等的世界觀，進(jìn)而促使我們更好地認(rèn)識(shí)世界和改造世界。
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