關(guān)鍵詞 極值點(diǎn);導(dǎo)數(shù);變式;探究
在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題中,近年來興起了一類與函數(shù)的極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題.這類問題,題面上看起來極為相似,但解題過程卻變化多端,方法飄忽不定,困擾了不少師生,本文筆者專門對此類問題進(jìn)行論述,以期對解決這類問題有所幫助,現(xiàn)分析如下.
例1 (2017年高考江蘇卷壓軸題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a＞0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).
(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明：b2＞3a;
(3)若f(x),f′(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于
解析 (1)由題意可知
當(dāng)x=
列表如下：
故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2.所以a＞3.綜上,b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式
(2)證明：由于 (1)知,
(3)由(1)知,
從而
所以f(x)與f′(x)所有極值之和
所以
點(diǎn)評 本題第三問由于涉及到的字母比較多,問題比較棘手,但消參思想是解決多變量多字母問題的利器.在通過細(xì)致的觀察后,發(fā)現(xiàn)以參數(shù)a為主元進(jìn)行消參較為方便,在化簡后,可通過構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)問題的求解.
例2(廣東省惠州市2018屆高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2lnx(其中a是實(shí)數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè)
解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
令g(x)=2x2-ax+2,Δ =a2-16,對稱軸
1)當(dāng)Δ =a2-16≤ 0,即-4≤ a≤ 4時(shí),f′(x)≥ 0,于是,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.
2)當(dāng)Δ=a2-16＞0,即a＜-4或a＞4時(shí),
①若a＜-4,則f′(x)＞0恒成立,于是,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間.
②若a＞4,令f′(x)=0,得
當(dāng)x ∈ (0,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f′(x)＞ 0,當(dāng) x∈ (x1,x2)時(shí),f′(x)＜ 0.于是,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x1)和(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2).綜上所述：當(dāng)a≤4時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)a＞4時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x1)和(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2).
(2)由 (1)知,若 f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則 a＞ 4,且
令
恒成立,所以h(x)在
故f(x1)-f(x2)的取值范圍為
點(diǎn)評 通過觀察,發(fā)現(xiàn)f(x1)-f(x2)的表達(dá)式中,參數(shù)a出現(xiàn)的次數(shù)較少,且相對較為孤立,以a為主元顯然不合適.結(jié)合x1x2=1,發(fā)現(xiàn)以x1還是x2為主元進(jìn)行消參,難度基本是一樣的.因此本題以x1或x2為主元進(jìn)行消參都是可以的,讀者可嘗試以x2為主元進(jìn)行解答.
例3 (江西省上饒市2017屆一模)已知函數(shù)f(x)=lnx+mx(m為常數(shù)).
(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)
解析 (1)f′(x)=
(2)由
由已知x2+mx+1=0有兩個(gè)互異實(shí)根x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=1,因?yàn)閤1,x2(x1＜x2)是h(x)的兩個(gè)零點(diǎn),故
由②-①得：
因?yàn)?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>
將
所以
所以
則
點(diǎn)評 本題無論是以哪個(gè)字母為主元,都難于進(jìn)行.但在嘗試消去參數(shù)a,并通過細(xì)致的觀察與實(shí)施對數(shù)運(yùn)算后,發(fā)現(xiàn)若以
例4設(shè)函數(shù)
(1)求a的取值范圍;
(2)若 x1∈ (0,1)且 x2∈ (1,+∞).求證：f(x2)-
解析 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).求導(dǎo)函數(shù)得 f′(x)=
(2)證明：由f′(x)＞ 0,可得 0＜ x＜ α 或x＞ β;由f′(x)＜ 0,可得α＜x＜ 1或1＜ x＜ β.所以f(x)在 (0,α)上單調(diào)遞增,在 (α,1)上單調(diào)遞減,在 (1,β)上單調(diào)遞減,在(β,+∞)上單調(diào)遞增.由x1∈ (0,1),可得
設(shè)
點(diǎn)評 本題難以直接建立各個(gè)字母之間的關(guān)系,因?yàn)閤1,x2不是極值點(diǎn).但在通過數(shù)形結(jié)合后發(fā)現(xiàn),可通過函數(shù)的單調(diào)性,利用放縮法轉(zhuǎn)化為含極值點(diǎn)與參數(shù)的不等式的證明,化歸與轉(zhuǎn)化為與例2相類似的與極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題.
通過以上四例的分析,我們發(fā)現(xiàn),與極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題,表面上看起來極為相似,但是解題的方向卻各不相同,如何運(yùn)用消參思想的是成功解決這類問題的鑰匙.概括起來主要有上述四種情況,到底是哪一種情形,對所求或所證的不等式的觀察是解題的起點(diǎn),消參方向的把握是解題的關(guān)鍵,如何消參是解題的難點(diǎn).消參后通過構(gòu)造函數(shù)求解是成功解題的保證.主要的解題步驟可歸納為如下幾點(diǎn)：
1.通過求導(dǎo),建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系(通常借助韋達(dá)定理),并確定極值點(diǎn)的大致范圍;
2.通過計(jì)算,簡化所求不等式或所證不等式;
3.化簡后,根據(jù)消參的難度確定以哪個(gè)字母為主元消參,確立解題方向;
4.構(gòu)造函數(shù)求得取值范圍或證得不等式.
這樣,通過深入的變式探究,我們很好地解決了這類與極值點(diǎn)相關(guān)的問題,使得這類問題的解決深入人心,在提高分析與解決問題的同時(shí),也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),使學(xué)生們在題海中解脫出來,也能對我們的教學(xué)給予一些啟示.
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