（2018·濱州）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為P（x，y）的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）且與x軸相切于點(diǎn)B．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求⊙P的半徑；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，請(qǐng)判斷此函數(shù)圖象的形狀，并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象；
（3）請(qǐng)類比圓的定義（圖可以看成是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合），給（2）中所得函數(shù)圖象進(jìn)行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到 點(diǎn)A 的距離等于到 x軸 的距離的所有點(diǎn)的集合．
（4）當(dāng)⊙P的半徑為1時(shí)，若⊙P與以上（2）中所得函數(shù)圖象相交于點(diǎn)C、D，其中交點(diǎn)D（m，n）在點(diǎn)C的右側(cè)，請(qǐng)利用圖②，求cos∠APD的大?。?/p>
【答案】
解：（1）由x=2，得到P（2，y），
連接AP，PB，
∵圓P與x軸相切，
∴PB⊥x軸，即PB=y，
由AP=PB，得到√((1-2)2+(2-y)2 )=y，
解得：y=5/4，
則圓P的半徑為5/4；
備注：利用切線的性質(zhì)建立等量關(guān)系即可。
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：y=1/4（x﹣1）2+1，即圖象為開口向上的拋物線，
畫出函數(shù)圖象，如圖②所示；
備注：由特殊到一般，依然利用切線的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解。
（3）給（2）中所得函數(shù)圖象進(jìn)行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到點(diǎn)A的距離等于到x軸的距離的所有點(diǎn)的集合；
備注：由圓切線的性質(zhì)易得，點(diǎn)P為到定點(diǎn)A的距離與到定直線（x軸）的距離相等的點(diǎn)的軌跡，也就是拋物線。
拋物線的幾何特征解決幾何最值問題
（4）
【方法一】
連接CD，連接AP并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F，CD與AF交于點(diǎn)E，
由對(duì)稱性及切線的性質(zhì)可得：CD⊥AF，
設(shè)PE=a，則有EF=a+1，ED=√(1-a2 )，
∴D坐標(biāo)為（1+√(1-a2 )，a+1），
代入拋物線解析式得：a+1=1/4（1﹣a2）+1，
解得：a=﹣2+√5或a=﹣2﹣√5（舍去），即PE=﹣2+√5，
在Rt△PED中，PE=√5﹣2，PD=1，
則cos∠APD=PE/PD=√5﹣2．
【方法二】
由于半徑為1，因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=1，易得x=1，那么易得⊙P的方程為
（x-1）2+（y-1）2=1，
聯(lián)立拋物線的解析式y(tǒng)=1/4（x﹣1）2+1，得
y2+2y-4=0，
y1=－1+√5，y2=－1-√5（舍去），
所以EF=－1+√5，PE=－2+√5，
則cos∠APD=PE/PD=√5﹣2．
備注：方法一利用的是傳統(tǒng)的方法設(shè)未知數(shù)求求點(diǎn)坐標(biāo)；方法二是利用圓的方程，為高中的知識(shí)，不需要初中的同學(xué)掌握。不過圓的方程不難理解，因?yàn)閳A的方程表示的是平面內(nèi)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)（a，b）的距離等于半徑r的點(diǎn)的集合，即方程為：
（x-a）2+（y-b）2=r2。
聯(lián)立兩個(gè)方程求交點(diǎn)即可。
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