知識：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點到直線之間的距離垂線段最短；④點到圓上點共線有最值。
方法：第一步：找主動點的軌跡 ；第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡，第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值。
類型1.求軌跡解析式
例1．如圖，△ABO為等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角頂點B在第二象限．點C在y軸上移動，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點D點隨著C點的移動也在一條直線上移動，這條直線的函數(shù)表達式是_______ ．
【分析】抓住兩個特殊位置：當(dāng)BC與x軸平行時，求出D的坐標；C與原點重合時，D在y軸上，求出此時D的坐標，設(shè)所求直線解析式為y＝kx+b，將兩位置D坐標代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出所求直線解析式．
【解答】當(dāng)BC與x軸平行時，過B作BE⊥x軸，過D作DF⊥x軸，交BC于點G，如圖1所示，
∵等腰直角△ABO的O點是坐標原點，A的坐標是（﹣4，0），∴AO＝4，
∴BC＝BE＝AE＝EO＝GF＝1/2OA＝2，OF＝DG＝BG＝CG＝1/2BC＝1，DF＝DG+GF＝3，∴D坐標為（﹣1，3）；
當(dāng)C與原點O重合時，D在y軸上，
此時OD＝BE＝2，即D（0，2），
設(shè)所求直線解析式為y＝kx+b（k≠0），
將兩點坐標代入得：-k+b=3, b=2，
解得：k=-1,b=2．則這條直線解析式為y＝﹣x+2，
當(dāng)D（﹣1，1）和D（﹣2，0）
于是得到y(tǒng)＝x+2，
綜上所述：這條直線的函數(shù)表達式是y＝x+2或y＝﹣x+2．
故答案為：y＝x+2或y＝﹣x+2．
【點評】本題考查了軌跡問題，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練運用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
而本題若用一般方法求解，也不難，構(gòu)造一線三直角全等可破．
解答：
類型2.求經(jīng)過的路徑長
例2.已知：如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從點A出發(fā)，沿著A﹣B﹣C的方向以每秒鐘1個單位長度的速度勻速運動，當(dāng)點E到達點C時運動停止．聯(lián)結(jié)DE，以DE為邊作正方形DEFG．設(shè)運動的時間為x秒．
（1）如圖①，當(dāng)點E在邊AB上時，聯(lián)結(jié)CG，求證：AE＝CG；
（2）如圖②，當(dāng)點E在邊BC上時，設(shè)正方形ABCD與正方形DEFG重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）直接寫出，在點E的運動過程中，對應(yīng)的點F的運動路徑的長．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，證出∠ADE＝∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG；
（2）利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）由（1）知，當(dāng)點E在AB上時，點G在直線BC上，當(dāng)點E與B點重合時，點F的位置如圖：點F運動的路徑為BF；同理，點E在BC上時，當(dāng)點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；由勾股定理求出BD，即可得出結(jié)果．
【解答】（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG，
∴∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG．
∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC．即：∠ADE＝∠CDG．
在△ADE和△CDG中，AD=CD, ∠ADE＝∠CDG,DE=DG,
∴△ADE≌△CDG．∴AE＝CG．
（2）∵正方形ABCD的邊長為2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°．
∵動點E從點A出發(fā)，沿著A﹣B﹣C的方向以每秒鐘1個單位長度的速度勻速運動，且運動的時間為x秒．
∴EC＝4﹣x，∴y＝S△CDE＝1/2EC·CD＝1/2（4﹣x）×2＝4﹣x
∴所求函數(shù)解析式為y＝4﹣x．
自變量x的取值范圍是2≤x≤4．
（3）如圖，
當(dāng)點E在AB上時，點G在直線BC上，
當(dāng)點E與B點重合時，點F運動的路徑為BF；
同理，點E在BC上時，當(dāng)點E與C點重合時，點F運動的路徑為FG；
∵由勾股定理可求得BD＝2√2，
∴BF+FG＝2BD＝4√2，∴點F運動的路徑長為4√2．
【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
例3．在邊長為12cm的正方形ABCD中，點E從點D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點C運動，同時，點F從點C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點E達到點C時，兩點同時停止運動，連接AE、DF交于點P，設(shè)點E、F運動時間為t秒．回答下列問題：
（1）如圖1，當(dāng)t為多少時，EF的長等于4√5cm？
（2）如圖2，在點E、F運動過程中，
①求證：點A、B、F、P在同一個圓（⊙O）上；
②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
③請直接寫出問題①中，圓心O的運動的路徑長為 ______．
【分析】（1）由題意可知：DE＝t，CF＝t，則EC＝12﹣t，然后，在Rt△EFC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（2）①首先證明△ADE≌△DCF，從而可得到∠CDF＝∠DAE，然后再證明∠DAP+∠ADP＝90°，于是可證明∠APF+∠B＝180°，故此可證明點A、B、F、P共圓；
②如圖1所示：當(dāng)⊙O與CD相切時（切點為M）．連接OM，并延長MO交AB與點N．則AN＝6，ON＝12﹣r，OA＝r，然后由勾股定理列方程求解即可；當(dāng)AB為⊙O的直徑時，⊙O與AD、BC都相切，從而可得到此時t的值；由于點A和點B均在⊙O上，故此不存在AB與⊙O相切的情況；
③點O運動的軌跡為△ACB的中位線，從而可求得點O運動的路徑．
【解答】（1）由題意可知：DE＝t，CF＝t，∴EC＝12﹣t．
由勾股定理可知：CE2+CF2＝EF2，
∴（12﹣t）2+t2＝（4-√5）2，解得：t＝4或t＝8．
∴當(dāng)t為4或8時，EF的長等于4√5．
（2）①由題意可知：DE＝CF．
∵ABCD為正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠FCD．
在△ADE和△DCF中，DE=CF, ∠ADC＝∠FCD,AD=DC，
∴△ADE≌△DCF．∴∠CDF＝∠DAE．
∵∠CDF+∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠ADP＝90°，∴∠APF＝90°，∴∠APF+∠B＝180°，
∴點A、B、F、P在同一個圓（⊙O）上．
②如圖1所示：當(dāng)⊙O與CD相切時（切點為M）．連接OM，并延長MO交AB與點N．
∵DC與⊙O相切，∴OM⊥DC，
∴ON⊥AB，∴AN＝1/2AB＝6．
設(shè)⊙O的半徑為r，則ON＝12﹣r，在Rt△AON中，由勾股定理得：62+（12﹣r）2＝r2，解得r＝7.5．∴AF＝15．
在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF＝9．∴CF＝3，即t＝3秒．
當(dāng)點F與點B重合時，AB為⊙O的直徑，⊙O與BC、AD均相切，此時t＝12．
∵點A和點B均在⊙O上，
∴不存在AB與⊙O相切的情況．
綜上所述，當(dāng)t＝3或t＝12時，⊙O與正方形的一邊相切．
③∵點O為AF的中點，點F在CB上移動，
∴點O運動的路徑為△ACB中AC和AB兩邊中點連線．
∴點O運動的路徑＝1/2BC＝6cm．故答案為：6cm．
【點評】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、切線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．
類型3.求最值問題
例4.如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)，點B為y軸正半軸上一動點，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值_________.
分析：點B為主動點，點C為從動點，根據(jù)瓜豆原理，BA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到CA，主動點B的軌跡是y軸的正半軸，則從動點C的運動軌跡為y軸正半軸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后的射線，我們可以用特殊位置來考慮．當(dāng)OC⊥點C軌跡所在射線時，OC最短．當(dāng)然，我們也可以構(gòu)造手拉手模型，將OC邊轉(zhuǎn)化，詳細過程請見方法2．
解答：方法一:
方法二:
例5．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點E、F分別從點D和點C出發(fā)，沿著射線DA、射線CD運動，且DE＝CF，直線AF、直線BE交于H點．
（1）當(dāng)點E從點D向點A運動的過程中：
①求證：AF⊥BE；
②在圖中畫出點H運動路徑并求出點H運動的路徑長；
（2）在整個運動過程中：
①線段DH長度的最小值為_______ ．
②線段DH長度的最大值為________- ．
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明△ABE≌△DAF，得到∠ABE＝∠DAF，根據(jù)垂直的定義證明即可；
②根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑畫出點H運動路徑，根據(jù)弧長公式求出點H運動的路徑長；
（2）①根據(jù)勾股定理求出PD，根據(jù)點與圓的最小距離求出DH長度的最小值；
②與①類似，求出DH長度的最大值．
【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，又DE＝CF，∴AE＝DF，
在△ABE和△DAF中，AB=AD, ∠BAE＝∠ADF，AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，又∠BAH+∠DAF＝90°，
∴∠BAH+∠ABE＝90°，即∠AHB＝90°，∴AF⊥BE；
②∵∠AHB＝90°，
∴點H運動路徑是以AB為直徑的圓的一部分，如圖1所示：
∴點H運動的路徑長為：90π×2／180=π；
（2）①設(shè)AB的中點為P，連接PD，當(dāng)點H在PD設(shè)時，DH最小，
由題意得，AP＝2，AD＝4，由勾股定理得，PD＝2√5，
則DH長度的最小值為：2√5﹣2，故答案為：2√5﹣2cm；
②由①可知，DH長度的最大值為2√5+2，
故答案為：2√5+2cm．
【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、軌跡問題、最大值和最小值的確定，掌握正方形的性質(zhì)、圓的概念是解題的關(guān)鍵．
綜述所示，我們可以歸納提煉上述解題思想方法：第一步：找主動點的軌跡 ；第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡，第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值。以上方法，我們在解題時，如果遇見同類問題時，可以考慮應(yīng)用這些思想方法。
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