肖博數(shù)學(xué)小題專練·(十二) 圓錐曲線
一、選擇題
1.(2017·天津高考)已知雙曲線x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為
F，點(diǎn) A 在雙曲線的漸近線上，△OAF 是邊長為 2 的等邊三角形(O
為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為( )
A.
x
2
4-
y
2
12=1 B.
x
2
12-
y
2
4=1
C.
x
2
3-y
2=1 D.x
2-
y
2
3=1
答案 D
解析 由△OAF 是邊長為 2 的等邊三角形可知，c=2，
b
a=tan60°
= 3，又 c
2=a
2+b
2，聯(lián)立可得 a=1，b= 3，∴雙曲線的方程為 x
2
-
y
2
3=1。
2.已知橢圓 C：
x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)是圓 x
2+y
2-4x+3
=0 的圓心，其離心率為 3
2 ，則橢圓 C 的方程為( )
A.
x
2
4+y
2=1 B.
x
2
3+y
2=1
C.
x
2
2+y
2=1 D.
x
2
4+
y
2
3=1
答案 A
解析 由題意知圓(x-2)2+y
2=1 的圓心為(2,0)，所以 a=2，又c
2
=
3
2 ，所以 c= 3，b= 4-3=1，所以橢圓 C 的方程為x
2
4+y
2=1。
3.已知雙曲線 C：
x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，
F2，點(diǎn) M 與雙曲線 C 的焦點(diǎn)不重合，點(diǎn) M 關(guān)于 F1，F(xiàn)2的對稱點(diǎn)分別
2
為 A，B，線段 MN 的中點(diǎn)在雙曲線的右支上，若|AN|-|BN|=12，則
a=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析 如圖，設(shè) MN 的中點(diǎn)為 P?！逨1為 MA 的中點(diǎn)，F(xiàn)2為 MB
的中點(diǎn)，∴|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|，又|AN|-|BN|=12，∴|PF1|-|PF2|
=6=2a，∴a=3。故選 A。
4.設(shè) F1，F(xiàn)2 分別為橢圓x
2
4+y
2=1 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓
上，且|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，則∠F1PF2=( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
答案 D
解析 解法一：設(shè)∠F1PF2=θ，根據(jù)余弦定理|F1F2|
2=|PF1|
2+
|PF2|
2-2|PF1|·|PF2|cosθ，即 12=|PF1|
2+|PF2|
2-2|PF1|·|PF2|cosθ。由
|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，得 12=|PF1
→ |
2+|PF2
→ |
2+2|PF1
→ |·|PF2
→ |cosθ。兩式相減
得 4|PF1|·|PF2|cosθ=0，cosθ=0，θ=
π
2。
3
解法二：因為PF1
→ +PF2
→ =2PO
→ ，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，|PF1
→ +PF2
→ |=2 3，
所以|PO|= 3，又|OF1|=|OF2|= 3，所以 P，F(xiàn)1，F(xiàn)2 在以點(diǎn) O 為圓
心的圓上，且 F1F2為直徑，所以∠F1PF2=
π
2。
5.(2017·衡水中學(xué)二調(diào))設(shè)橢圓
x
2
16+
y
2
12=1 的左，右焦點(diǎn)分別為
F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在橢圓上，且滿足PF1
→ ·PF2
→ =9，則|PF1|·|PF2|的值為( )
A.8 B.10
C.12 D.15
答案 D
解析 由橢圓方程x
2
16+
y
2
12=1，可得 c
2=4，所以|F1F2|=2c=4，
而F1F2
→ =PF2
→ -PF1
→ ，所以|F1F2
→ |=|PF2
→ -PF1
→ |，兩邊同時平方，得|F1F2
→
|
2=|PF1
→ |
2-2PF1
→ ·PF2
→ +|PF2
→ |
2，所以|PF1
→ |
2+|PF2
→ |
2=|F1F2
→ |
2+2PF1
→ ·PF2
→ =
16+18=34，根據(jù)橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=8，所以 34+
2|PF1||PF2|=64，所以|PF1|·|PF2|=15。故選 D。
6.A 是拋物線 y
2=2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn) 是拋物線的焦點(diǎn)，O 為坐
標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|=4 時，∠OFA=120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是( )
A.x=-1 B.y=-1
C.x=-2 D.y=-2
答案 A
解析 過 A 向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為 B，準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 D。
因為∠OFA=120°，所以△ABF 為等邊三角形，∠DBF=30°，從而 p=
|DF|=2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=-1。故選 A。
7.(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線 C：y
2=4x 的焦點(diǎn) F，且斜率為 3的
直線交 C 于點(diǎn) M(M 在 x 軸的上方)，l 為 C 的準(zhǔn)線，點(diǎn) N 在 l 上且
4
MN⊥l，則 M 到直線 NF 的距離為( )
A. 5 B.2 2
C.2 3 D.3 3
答案 C
解析 由題意知 F(1,0)，直線 FM 的方程為 y= 3(x-1)，與 y
2
=4x 聯(lián)立得 y
2-
4
3
y-4=0，因為 M 在 x 軸上方，解得 M 的縱坐標(biāo)
為 2 3，則 M(3,2 3)。由 l：x=-1，MN⊥l 得 N(-1，2 3)，所以
直線 NF 的方程為 y=- 3x+ 3，點(diǎn) M 到 NF 的距離 d=
|2 3+3 3- 3|
2 =2 3，故選 C。
8.(2017·湖南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)
和上頂點(diǎn)分別為 A，B，左焦點(diǎn)為 F。以原點(diǎn) O 為圓心的圓與直線 BF
相切，且該圓與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) C，過點(diǎn) C 的直線交橢圓于 M，
N 兩點(diǎn)。若四邊形 FAMN 是平行四邊形，則該橢圓的離心率為( )
A.
3
5
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
答案 A
解析 ∵圓 O 與直線 BF 相切，∴圓 O 的半徑為bc
a ，即|OC|=
bc
a ，
∵四邊形 FAMN 是平行四邊形，∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為
?
?
?
?
?
?
?
? a+c
2 ，
bc
a
，代入橢
圓方程得
(a+c)
2
4a
2 +
c
2b
2
a
2b
2=1，∴5e
2+2e-3=0，又 0
3
5。故
選 A。
5
9.(2017·吉林市高考數(shù)學(xué)二模)已知雙曲線 C1：
x
2
4-y
2=1，雙曲
線 C2：
x
2
a
2-
y
2
b
2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，M 是雙曲線
C2的一條漸近線上的點(diǎn)，且 OM⊥MF2，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 S△OMF2=
16，且雙曲線 C1，C2 的離心率相同，則雙曲線 C2 的實軸長是( )
A.32 B.16
C.8 D.4
答案 B
解析 雙曲線 C1：
x
2
4-y
2=1 的離心率為 5
2 ，設(shè) F2(c,0)，雙曲線
C2 一條漸近線方程為 y=
b
a
x，可得|F2M|=
bc
a
2+b
2
=b，即有|OM|=
c
2-b
2=a，由 S△OMF2=16，可得1
2
ab=16，即 ab=32，又 a
2+b
2=
c
2，且c
a=
5
2 ，解得 a=8，b=4，c=4 5，即有雙曲線的實軸長為 16。
故選 B。
10.已知拋物線 y
2=8x 的準(zhǔn)線與雙曲線x
2
a
2-
y
2
16=1(a>0)相交于 A，
B 兩點(diǎn)，點(diǎn) F 為拋物線的焦點(diǎn)，△ABF 為直角三角形，則雙曲線的離
心率為( )
A.3 B.2
C. 6 D. 3
答案 A
解析 由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=-2，代入雙曲線方程
得 y=±
4
a
· 4-a
2，不妨設(shè) A
?
?
?
?
?
? -2，
4
a
· 4-a
2 ，∵△ABF 是等腰直角三
角形，∴
4
a
· 4-a
2=4，得 a= 2，∴雙曲線的離心率為 e=
c
a=
a
2+16
a
6
=
18
2
=3，故選 A。
11.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè) A，B 是橢圓 C：
x
2
3+
y
2
m=1 長軸的兩個端
點(diǎn)，若 C 上存在點(diǎn) M 滿足∠AMB=120°，則 m 的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[9，+∞) B.(0， 3]∪[9，+∞)
C.(0,1]∪[4，+∞) D.(0， 3]∪[4，+∞)
答案 A
解析 依題意得，
??
?
?
? 3
m
≥tan
∠AMB
2 ，
0
或
?
?
?
?
? m
3
≥tan
∠AMB
2 ，
m>3，
所以
?
?
?
3
m
≥tan60°
0
或
?
?
?
?
? m
3
≥tan60°，
m>3，
解得 0
12.(2017·南昌一模)拋物線 y
2=8x 的焦點(diǎn)為 F，設(shè) A(x1，y1)，
B(x2，y2)是拋物線上的兩個動點(diǎn)，若 x1+x2+4=
2 3
3
|AB|，則∠AFB
的最大值為( )
7
A.
π
3
B.
3π
4
C.
5π
6
D.
2π
3
答案 D
解析 由拋物線的定義可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又 x1+x2
+4=
2 3
3
|AB|，得|AF|+|BF|=
2 3
3
|AB|，所以|AB|=
3
2
(|AF|+|BF|)。所
以 cos∠AFB=
|AF|
2+|BF|
2-|AB|
2
2|AF|·|BF| =
|AF|
2+|BF|
2-?
?
?
?
?
3 ?
2
(|AF|+|BF|)
2
2|AF|·|BF| =
1
4
|AF|
2+
1
4
|BF|
2-
3
2
|AF|·|BF|
2|AF|·|BF| =
1
8?
?
?
?
?
|AF| ?
|BF|+
|BF|
|AF| -
3
4≥
1
8×2
|AF|
|BF|
·
|BF|
|AF|
-
3
4=-
1
2，而 0<∠AFB<π，所以∠AFB 的最大值為2π
3 。
二、填空題
13.(2017·北京高考)若雙曲線 x
2-
y
2
m=1 的離心率為 3，則實數(shù)
m=________。
答案 2
解析 由雙曲線方程 x
2-
y
2
m=1 得 a
2=1，則 a=1。∵c
2=a
2+b
2
=1+m，∴c= m+1?！鄀=
c
a=
m+1
1 = 3。∴m=2。
14.已知橢圓x
2
a
2+y
2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) F1
關(guān)于直線 y=-x 的對稱點(diǎn) P 仍在橢圓上，則△PF1F2 的周長為
________。
8
答案 2 2+2
解析 橢圓左焦點(diǎn) F1(-c,0)關(guān)于直線 y=-x 的對稱點(diǎn) P(0，c)
仍在橢圓上，則 c=b=1，a= 2，則△PF1F2的周長為 2a+2c=2 2+
2。
15.(2017·武漢高三調(diào)研)已知拋物線 Γ：y
2=8x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)
線與 x 軸的交點(diǎn)為 K，點(diǎn) P 在 Γ 上且|PK|= 2|PF|，則△PKF 的面積
為________。
答案 8
解析 由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(-2,0)，過 P 作 PM 垂直于準(zhǔn)線，
則|PM|=|PF|，又|PK|= 2|PF|，∴|PM|=|MK|=|PF|，∴PF⊥x 軸，△
PFK 的高等于|PF|，所以|PF|=|KF|=4，S△PFK=
1
2
|PF|·|KF|=
1
2×4×4
=8。
16.橢圓 C：
x
2
a
2+
y
2
b
2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F，雙曲線 x
2-
y
2
3=1
的一條漸近線與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，且 AF⊥BF，則橢圓 C 的離
心率為________。
答案 3-1
解析 不妨取雙曲線 x
2-
y
2
3=1 的一條漸近線的方程為 y= 3x，
則∠AOF=60°。記橢圓 C 的左焦點(diǎn)為 F1(-c,0)，依題意得四邊形
AFBF1為矩形，|OA|=|OB|=|OF|=|OF1|=c，所以△AFO 是正三角形，
所以|AF|=c，|AF1|= 3c，則橢圓 C 的離心率為 e=
c
a=
2c
2a=
|FF1|
|AF|+|AF1|
=
2c
c+ 3c
= 3-1。
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